交角不對中轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為研究

李自剛　李明　江俊

摘要： 考慮轉(zhuǎn)子交角不對中和質(zhì)量不平衡等因素，研究了在滑動軸承支承下柔性轉(zhuǎn)子-軸承耦合系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為。首先，基于轉(zhuǎn)子間交角不對中的約束關(guān)系，利用第二類Lagrange方程推導(dǎo)了具有交角不對中故障的柔性多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動微分方程。采用數(shù)值方法，分析系統(tǒng)的非線性振動特性，例如，系統(tǒng)的軸心軌跡、響應(yīng)頻譜和最大Lyapunov 指數(shù)等。結(jié)果表明：在較低轉(zhuǎn)速時，系統(tǒng)主要呈現(xiàn)出與轉(zhuǎn)速同步的周期運動特性。隨著轉(zhuǎn)速的提高，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在某些參數(shù)下出現(xiàn)分叉、跳躍以及混沌等非線性現(xiàn)象。最后討論了交角不對中量以及質(zhì)量不平衡對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。

關(guān)鍵詞： 非線性動力學(xué); 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng); 交角不對中; 分叉與混沌; 質(zhì)量不平衡

中圖分類號： O322; O347.6; TH113.1 文獻標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2019）03-0509-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.03.016

引 言

轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)是旋轉(zhuǎn)機械的核心組成部分。在實際系統(tǒng)中，由于加工精度、安裝誤差等原因，相鄰轉(zhuǎn)子的軸線往往存在不對中現(xiàn)象，即使對中良好的轉(zhuǎn)子也會在其頻繁啟停過程中產(chǎn)生位置偏離。轉(zhuǎn)子不對中能夠引起機組的劇烈振動和異常響聲，已成為機械故障最為重要的原因之一，如在大型發(fā)電機組中，不對中常常引起軸的撓曲變形、油膜失穩(wěn)以及轉(zhuǎn)子與定子間的碰磨等故障，危害很大[1-4]。文獻[2]通過對實際機組的故障診斷，指出引起系統(tǒng)振動超標(biāo)的根本原因是發(fā)電機-勵磁機聯(lián)軸器不對中。在文獻[3-4]中，作者以實際發(fā)電機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，分別研究了具有平行不對中和軸承不對中故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)行為，揭示了該類系統(tǒng)的一些非線性振動特征。然而，工程中往往也存在轉(zhuǎn)子間的幾何關(guān)系為交角不對中的故障形式。因此研究在滑動軸承支承下具有交角不對中約束的多轉(zhuǎn)子-軸承耦合系統(tǒng)的非線性振動特性及其參數(shù)影響對系統(tǒng)的動力學(xué)設(shè)計、安裝以及運行中的故障診斷具有重要意義。

關(guān)于交角不對中的研究最早可以追述到上個世紀70年代，但對此引起廣泛關(guān)注的大約始于80，90年代。近10年來，隨著國民經(jīng)濟和國防工業(yè)的快速發(fā)展，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)趨于大型、高速、重載，而轉(zhuǎn)子與定子之間的間隙卻在相對縮小，轉(zhuǎn)子不對中所引起的振動也就變得更加嚴重，這要求轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)設(shè)計更為精確合理。文獻[5]利用有限元法分析了一個簡化的不對中轉(zhuǎn)子模型，并指出二倍頻分量是這類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特征頻率;文獻[6]中，作者通過分析聯(lián)軸節(jié)的變形和受力，研究了交角不對中軸系的扭振特征。文獻[7-8]利用數(shù)值方法分別研究了由球鉸聯(lián)軸器和柔性聯(lián)軸器連接的兩個剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性，并分析了角度不對中量和軸承剛度等因素對系統(tǒng)的動力學(xué)特性的影響，取得了一些重要的研究成果;文獻[9]則采用Lagrange方法分析了2個支承在線性化滑動軸承上的剛性Jeffcott 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性，其中不對中效應(yīng)主要體現(xiàn)在系統(tǒng)的彈性力上，而在系統(tǒng)的動態(tài)力中未予以考慮。近年來，一些學(xué)者則更加關(guān)注于振動信號中的諧波響應(yīng)。文獻[10]通過分析軸心軌跡和頻譜圖的特點，揭示了不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一些非線性動力學(xué)行為;文獻[11-12]則考慮了2個轉(zhuǎn)子間的連接剛度，建立了剛性多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)不對中模型，研究表明當(dāng)轉(zhuǎn)角不對中時，系統(tǒng)的振動主要以工頻為主，同時存在著組合頻率成分;文獻[13]從實驗角度對雙跨轉(zhuǎn)子的不對中和不平衡耦合問題進行了試驗研究。文獻[14]采用隨機理論分析了在非線性支承下剛性轉(zhuǎn)子的角不對中問題。

以上關(guān)于交角不對中的研究中，所分析的機械結(jié)構(gòu)大多表現(xiàn)為轉(zhuǎn)子與軸承同時具有不對中，或允許較大角補償?shù)娜嵝月?lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。例如，文獻[15]建立了含萬向鉸偏斜旋轉(zhuǎn)軸的橫向振動模型，該結(jié)構(gòu)允許較大的角不對中量。而對于軸承對中良好，但轉(zhuǎn)子交角不對中的情況研究還比較少（軸承不對中便于調(diào)節(jié)，轉(zhuǎn)子不對中則不便）。由于滑動軸承間隙限制和長度效應(yīng)的影響，這種不對中情況不能允許轉(zhuǎn)子間有過大的角位移，但其對整個系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響卻是不能忽視的。本文考慮了質(zhì)量不平衡等因素后，重點探討了轉(zhuǎn)子間具有交角不對中約束的柔性轉(zhuǎn)子-軸承耦合系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為。并深入分析了在不同轉(zhuǎn)速下交角不對中量以及質(zhì)量不平衡對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，為該類轉(zhuǎn)子的故障檢測和在線監(jiān)測提供理論依據(jù)。

1 具有交角不對中故障的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動力學(xué)模型

1.1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型

圖1為具有交角不對中故障的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)示意圖。其中兩轉(zhuǎn)子間通過剛性聯(lián)軸器相連，并且在運動過程中保持大小不變的角不對中量α;m，M分別為軸頸和轉(zhuǎn)子本體的集中質(zhì)量;xi，yi為集中質(zhì)量點在坐標(biāo)系oxy下的坐標(biāo);k為轉(zhuǎn)軸剛度;a為圓盤的質(zhì)量偏心;Ω為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速;t為時間。為方便問題的討論，現(xiàn)作如下基本假設(shè)：（1） 轉(zhuǎn)子間交角不對中量為微量;（2） 聯(lián)軸器兩端的相鄰軸承之間距離相對較小，不發(fā)生形變;（3） 2圓盤在轉(zhuǎn)軸的中間且近似地認為作平面渦動。

2.2 轉(zhuǎn)速對交角不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響

圖3為采用4-5階變步長Runge-Kutta法經(jīng)過充分衰減后求得的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不對中軸承處的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分叉圖。從圖中能夠看出，對于對中情況（α=0），系統(tǒng)響應(yīng)在整個轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)始終保持周期運動。于此對比，微小不對中時（α=0.001 rad），系統(tǒng)在亞臨界和超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)出一系列的分叉現(xiàn)象和混沌振蕩。在無量綱轉(zhuǎn)速ω≈2.45時系統(tǒng)通過倍周期分叉進入混沌運動狀態(tài)，此時轉(zhuǎn)子的橫向振動幅值較大;隨著轉(zhuǎn)速的提高，在線性共振區(qū)附近系統(tǒng)的混沌運動消失并重新回到周期軌道;而在ω≈4.40時轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)出現(xiàn)準周期分叉，其中，當(dāng)ω≈4.80時，系統(tǒng)的振幅迅速增大，直至最后碰到軸承內(nèi)圈。圖4為其對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)曲線。由圖4可見，轉(zhuǎn)子響應(yīng)分叉圖與最大Lyapunov指數(shù)曲線圖在周期運動、準周期運動和混沌運動的描述上一一對應(yīng)，但在轉(zhuǎn)子響應(yīng)分叉圖難以區(qū)分開的準周期運動和混沌運動，在最大Lyapunov指數(shù)曲線圖上則可以清楚區(qū)分開。

圖5為在不同轉(zhuǎn)速時交角不對中對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)頻率和軌跡的影響。由圖可見，在圖中的各轉(zhuǎn)速下對中轉(zhuǎn)子均以工頻振動為主，呈現(xiàn)出周期運動特征，其軸心軌跡為一橢圓形，且幅值較小。對比來看，當(dāng)不對中量α=0.001 rad時，在亞臨界轉(zhuǎn)速ω=2.0下其響應(yīng)的Poincaré截面上呈現(xiàn)出1條封閉的曲線，表明系統(tǒng)在該轉(zhuǎn)速下作準周期運動。從軌跡圖上可見，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在1個環(huán)域內(nèi)作較為復(fù)雜的準周期振蕩，頻域上主要表現(xiàn)為工頻及其倍頻分量;另外在0.423倍工頻等處有明顯的離散譜峰，這是由于不對中導(dǎo)致滑動軸承的油膜壓力分配改變，從而可能誘發(fā)油膜渦動[1]。當(dāng)ω=2.5時，轉(zhuǎn)子的軸心軌跡較為凌亂，頻域內(nèi)出現(xiàn)連續(xù)譜成分，Poincaré截面上呈現(xiàn)出無規(guī)則的點集，并且在該轉(zhuǎn)速下最大Lyapunov指數(shù)為0.0060，表明系統(tǒng)已進入混沌運動。在臨界轉(zhuǎn)速附近ω=4.2時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)雖返回為周期1運動，但其軸心軌跡為明顯的“月牙形”，且在某些位置曲率半徑較大，頻譜圖中2倍頻成分突出，這些正是交角不對中故障具有的典型特征[5，10]。并且此時最大Lyapunov指數(shù)為-0.0059。當(dāng)轉(zhuǎn)子處于超臨界ω=4.7時，系統(tǒng)經(jīng)歷分叉再次進入非周期運動。頻譜中相互不可公約的諧波分量出現(xiàn)，在該轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)響應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)趨近于0，這些特征充分說明此時系統(tǒng)處于準周期狀態(tài)。

2.3 不對中量對交角不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響

圖6為交角不對中轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在不同轉(zhuǎn)速下隨不對中量變化的分叉圖。從圖中可以看出，在較低轉(zhuǎn)速ω=2.0時，對于微小角不對中量，系統(tǒng)能夠保持在周期1運動。但隨著不對中量的逐漸增大，在α=0.0006 rad附近，轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)開始出現(xiàn)準周期運動，其渦動軌跡明顯增大。而在超臨界轉(zhuǎn)速ω=4.5下，隨著不對中量的增大，系統(tǒng)的動力學(xué)行為表現(xiàn)的非常復(fù)雜，在α=0.0008 rad時直接從周期運動過渡到混沌振蕩。

為了進一步研究不對中量對系統(tǒng)非線性振動特性的影響，分析了在不同交角不對中量時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅隨轉(zhuǎn)速變化曲線。圖7中當(dāng)交角不對中量α=0時，即為對中情況下，系統(tǒng)的運動較為平穩(wěn)，其振動幅度較小。然而不對中量的增大使轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)趨于復(fù)雜，出現(xiàn)明顯的跳躍現(xiàn)象。對比圖3可以看出，這種幅值跳躍現(xiàn)象是由于交角不對中故障而引起的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)定性行為改變（解的數(shù)量變化）。而對于較大不對中量α=0.0010 rad時，隨著轉(zhuǎn)速的增加轉(zhuǎn)子的振幅迅速增大，最終碰到軸承內(nèi)圈。

2.4 質(zhì)量偏心對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響

下面主要討論質(zhì)量偏心變化對系統(tǒng)響應(yīng)的影響情況。圖8（a）和（b）分別為當(dāng)無量綱轉(zhuǎn)速ω=2.00和ω=4.50時，交角不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨質(zhì)量偏心變化的分叉圖。從圖8（a）可以看出，隨著質(zhì)量偏心的增加，作用在轉(zhuǎn)子上的不平衡激勵增大，轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)振動中出現(xiàn)明顯的倍周期分叉現(xiàn)象。在不平衡量A≈0.10時，2倍周期中的每一個分支分別出現(xiàn)準周期分叉，形成“肺”狀的兩片孤立區(qū)域，此時轉(zhuǎn)子的振動幅度較大。從圖8（b）中可見，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量不平衡能夠引起系統(tǒng)的周期分叉，在A=0.125時其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)經(jīng)歷短暫的準周期振蕩后，出現(xiàn)周期6運動，這預(yù)示著系統(tǒng)的運動將變得非常復(fù)雜。

圖9為在具有微小不對中量α=0.0005 rad時，不同質(zhì)量偏心下軸頸中心橫向振動的幅頻特性曲線。經(jīng)過對比能夠看出，質(zhì)量偏心是影響系統(tǒng)振動特性的重要因素。在低轉(zhuǎn)速時，較大的偏心量能夠使得轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)響應(yīng)出現(xiàn)明顯的幅值跳躍等非線性振動現(xiàn)象。然而值得注意的是，在較高轉(zhuǎn)速時減小質(zhì)量不平衡量使得靠近聯(lián)軸器的軸承處振動狀態(tài)并未改善，反而增大了轉(zhuǎn)子的振動幅度。文獻[18]中通過實際機組的測試數(shù)據(jù)同樣反映了這種趨勢。

3 結(jié) 論

考慮了質(zhì)量不平衡等因素后，重點討論了轉(zhuǎn)子間具有交角不對中約束的柔性轉(zhuǎn)子-軸承耦合系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為。首先，根據(jù)描述交角不對中的約束關(guān)系，利用第二類Lagrange方程建立了具有交角不對中故障的柔性多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型。理論分析表明，交角不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是1個具有強非線性特征的10自由度非自治系統(tǒng)。采用數(shù)值方法重點分析了不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)行為，并深入討論了在不同轉(zhuǎn)速下交角不對中量和質(zhì)量不平衡對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，主要結(jié)論如下：

1）嵌入了非定常完整約束的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)使得兩轉(zhuǎn)子間的位移通過角不對中量相互耦合，其耦合程度與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速密切相關(guān)。同時由于油膜間隙和長度效應(yīng)的影響，該約束影響軸頸內(nèi)油膜壓力重新分配，使得非線性油膜力與角不對中量α以及sin（Ωt）， cos（Ωt）相關(guān)，進而引起系統(tǒng)的復(fù)雜運動。

2）在較低轉(zhuǎn)速時，系統(tǒng)主要呈現(xiàn)出與轉(zhuǎn)速同步的周期運動特性。隨著轉(zhuǎn)速的提高，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在某些參數(shù)下出現(xiàn)分叉、跳躍以及混沌等非線性現(xiàn)象。

3）系統(tǒng)的徑向振動出現(xiàn)明顯的工頻和倍頻成分，并且在某些轉(zhuǎn)速和不對中量下可能出現(xiàn)高次和低次諧波分量，軸心軌跡呈現(xiàn)“香蕉”型。

4）交角不對中能夠引起系統(tǒng)失穩(wěn)，使轉(zhuǎn)子的橫向振幅增大，因此在實際系統(tǒng)中， 應(yīng)該嚴格控制轉(zhuǎn)子間的角不對中量。

5）在一定轉(zhuǎn)速下，隨著質(zhì)量偏心的增加，作用在轉(zhuǎn)子上的不平衡激勵增大，轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)振動中出現(xiàn)明顯的倍周期分叉以及振幅跳躍現(xiàn)象。

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Abstract： The non-linear dynamical behaviors caused by the faults of angular misalignment and mass unbalance of the journal bearing supported flexible rotor-bearing system are investigated in this paper. Firstly， the motion equation of the rotor system is derived by the second class Lagrange method with the effects of the motion relation between the two rotors， in which a rheonomic holonomic constraint characterized by the angular misalignment is embedded. Then its nonlinear vibration features， such as the frequency spectra， rotor orbit and Poincaré section， and the largest Lyapunov exponent under different conditions are primarily analyzed based on numerical techniques. The results reveal that the vibration of the rotor system are synchronous at low speed， while as the rotating speed increase， some non-linear characteristics such as jumping， period-doubling and chaotic motions will occur. Furthermore， the parameter analysis for the effects of angular misalignment and mass unbalance is also discussed.

Key words： nonlinear dynamics; rotor-bearing systems; angular misalignment; bifurcation and chaos; mass unbalance

作者簡介： 李自剛 （1986-），男，講師。電話： （029）85583131; E-mail： lzghsfy@hotmail.com