Ginzburg-Landau 方程組弱解的整體吸引子

熊春燕, 陳淑紅

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建漳州363000）

本文主要研究Feshbach 共振附近BCS-BEC 跨越中的Ginzburg-Landau 理論：

方程組 （1）-（4） 描述的是費(fèi)米子-玻色子模型中Feshbach 共振附近費(fèi)米子氣體超流中的BCS-BEC跨越現(xiàn)象.

費(fèi)米子-玻色子模型由于它的特殊性，吸引了廣大學(xué)者的關(guān)注和研究.1987 年，桑建平等[1]對(duì)相互作用的玻色子-費(fèi)米子模型進(jìn)行了微觀研究， 然后給出了與試驗(yàn)符合很好的EU 基態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)的理論計(jì)算譜.1992 年，人們發(fā)現(xiàn)了 BCS-BEC 跨越現(xiàn)象，Drechsler M 等[2]和 Sa de Melo C A R 等[3]對(duì)費(fèi)米子-玻色子模型中Feshbach 共振附近費(fèi)米子氣體超流進(jìn)行研究.Ginzburg-Landau 理論對(duì)于費(fèi)米子氣體超流研究起了很重要的作用，黃琨[4]采用路經(jīng)積分方法建立了描述勢(shì)阱中的費(fèi)米子氣體在整個(gè)BCS-BEC 跨越的不依賴(lài)于時(shí)間的Ginzburg-Landau 理論.Machida 和Koyama[5]從費(fèi)米子-玻色子模型出發(fā)，對(duì)Feshbach 共振附近的超流體費(fèi)米子氣體構(gòu)造了一個(gè)依賴(lài)時(shí)間的Ginzburg-Landau 理論.證明了與時(shí)間相關(guān)的Ginzburg-Landau 方程（TDGL）中的耦合系除BEC 極限外是復(fù)數(shù).復(fù)雜的TDGL 方程既描述了阻尼，又描述了傳播動(dòng)力學(xué)，從而在Feshbach 共振附近產(chǎn)生了非常豐富的現(xiàn)象.關(guān)于它的數(shù)學(xué)框架，在BCS-BEC 跨越附近考慮了超流體費(fèi)米子氣體的TDGL 方程.陳淑紅[6-8]，藍(lán)麗紅[9]對(duì)該方程組柯西問(wèn)題、穩(wěn)態(tài)解、古典解及整體解的存在性等進(jìn)行研究.但該方程組胡整體吸引子未被討論，故本文考慮研究該方程組弱解的吸引子并得到定理1.

定理1 設(shè)（△，φ）為初邊值問(wèn)題(1)-(4)的整體弱解U＞0，b0，c＞0，m＞0，，g＞0，且 N=3，△0（x）∈H1,2（）, φ0（x）∈H1,2（）, 設(shè)△＋gφ=g1＋ig2，φ=φ1＋iφ2，則當(dāng)弱解（△，φ）滿(mǎn)足下列三個(gè)條件之一時(shí)：1）g1=φ1=0； 2）g2=φ2=0； 3），且初邊值問(wèn)題(1)-(4)存在整體吸引子A,且算子A 滿(mǎn)足：

(a)StA=A 對(duì)于 t∈R+成立；

這里 E=H1,2（）×H1,2（），｛St，t0｝是由方程(1)-(4)產(chǎn)生的半群算子,

1 引理

引理1[10]若函數(shù)μ 滿(mǎn)足

引理 2[10]若 1＜p＜∞，對(duì)任意函數(shù)，有如下等式成立則對(duì)邊界的外法向量n，，有

2 先驗(yàn)估計(jì)

這一部分，我們主要建立初邊值問(wèn)題（1）-（4）的先驗(yàn)估計(jì).首先，我們將方程組（1）-（4）改寫(xiě)為（5）-（8），即

現(xiàn)在我們考慮（5）-（8）式的先驗(yàn)估計(jì).首先,我們來(lái)證明弱解的L2-模有界，即

由邊值條件（8），poincare'不等式以及Young 不等式得

由已知條件和Gronwall 不等式得:

可推出

定理3 在定理2 的條件下， 令 poincare' 系數(shù)則存在常數(shù) c3＜0，c4＞0，滿(mǎn)足

由引理2 可得

結(jié)合(12)(13)式和Young 不等式以及Poincare 不等式，

從而（14）可轉(zhuǎn)化為

由已知條件和Gronwall 不等式可知

結(jié)合（15）（17）可得

由Gronwall 不等式可知

則可推出

定理4 假設(shè) N=3,在定理3 的條件下,問(wèn)題(5)-(8)的解滿(mǎn)足

證明 由定理2、3 可得

當(dāng)N=3 時(shí)，利用Sobolev 嵌入定理并結(jié)合poincare'不等式，得

由定理 3 及(20)可知

其中 c11是與 t 無(wú)關(guān)的常數(shù).

在(22)式中，結(jié)合(20)(21)(23)以及定理2 和定理3 的結(jié)果取充分小,則

其中 c13是與 t 無(wú)關(guān)的常數(shù)，即

由已知條件和Gronwall 不等式得

3 整體吸引子的存在性

引理 8[11]讓 E 是一個(gè) Banach 空間， u 為未知函數(shù)，且 u=u（t），｛St，t0｝是一個(gè)半群算子， St：E→E，St·S =St+，S0=I，其中I 為恒等算子，而且半群算子St滿(mǎn)足下列條件：

1）半群算子St在E 中一致有界，即對(duì)一切R0 存在常數(shù) C（R）,使得當(dāng)時(shí)，

2）在E 中存在有界吸收集合B0,即對(duì)任意有界吸收集合BE, 存在 T，使得當(dāng) tT 時(shí)，有 StBB0.

3）當(dāng) t＞0 時(shí)，St為全連續(xù)算子，則半群St具有緊的整體吸引子.

最后我們利用引理8，結(jié)合定理2-4 證明本文中的主要結(jié)論定理1.

定理 1 的證明 在定理 1 的假設(shè)條件下，方程滿(mǎn)足（1）-（4）存在半群算子｛St，t0｝，因此建立Banach空間且 St：E→E.利用定理2-3 結(jié)論并假設(shè)BE 屬于球可得

其中 K1，K2是常數(shù).意味著St在 E 中一致有界，則引理8 中的條件1)滿(mǎn)足.

其次，從定理2-4 的結(jié)果，我們可以得到

最后，當(dāng) t＞0 時(shí),

故 t＞0 時(shí),St為全連續(xù)算子，引理8 中條件3)滿(mǎn)足.

綜上所述，半群算子St具有緊的整體吸引子定理得證.