大學(xué)先修微積分課程中如何提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)*

廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630) 周正華

《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》(簡稱《意見》)頒布后，“核心素養(yǎng)”一詞迅速成為熱詞.高中課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組，按照內(nèi)涵、價值和表現(xiàn)的框架，給出的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.[1](以下簡稱“六核”).本文以華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(以下簡稱“華附”)大學(xué)先修微積分課程中“極限”章節(jié)的教學(xué)為例，依托核心素養(yǎng)的相關(guān)理論，提出在大學(xué)先修微積分課程中如何提升核心素養(yǎng).

一．課程簡介

華附從2014年起開設(shè)大學(xué)先修實(shí)驗(yàn)班(以下簡稱大先班)，迄今已經(jīng)舉辦了四年之久，在此期間，共有兩屆(2017 屆和2018 屆)畢業(yè)生.第一屆大先班共40 位同學(xué)，一個行政班，從第二屆起，每屆有兩個班，共80 人，到目前，累計參與有超過360 位同學(xué).在大先班的培養(yǎng)模式中，除國家必修課程外，還要求完成四門以上大學(xué)先修課程，其中，大學(xué)先修微積分(以下簡稱大先微積分)課程是重要的組成部分，也是參與學(xué)生最多、影響力最大的大學(xué)先修課程.華附的大先班所用教材是由高等教育出版社出版的《大學(xué)先修課程微積分》，主編是清華大學(xué)的扈志明老師.

從2014年起，華附成立大先微積分備課組，備課組成員全部是本校教師，同時也是大先班的數(shù)學(xué)任課教師，每個年級有兩位教師，共四位教師.課程從高一第一個學(xué)期期中考試后開始，到高二下學(xué)期期末考試前完成，每周三個課時，時間是每周四下午三點(diǎn)二十分鐘到五點(diǎn)二十分鐘，共計約200個課時.這門課程主要是面向?qū)?shù)學(xué)學(xué)有余力，有興趣、有能力、基礎(chǔ)扎實(shí)的高中學(xué)生，目標(biāo)是挖掘?qū)W生潛力，提高自學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生的高等數(shù)學(xué)視野.

二．理論基礎(chǔ)

核心素養(yǎng)是學(xué)生適應(yīng)終身發(fā)展和社會需要的必備品格和關(guān)鍵能力，是國家立德樹人教育目標(biāo)的具體化，突出強(qiáng)調(diào)個人修養(yǎng)、社會關(guān)愛、家國情懷.已有研究包括核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、核心素養(yǎng)體系與教育的關(guān)系、核心素養(yǎng)的國際比較等多個方面.核心素養(yǎng)培養(yǎng)的著力點(diǎn)在“育人”，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和教學(xué)的變革緊密聯(lián)系.高中課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組，按照內(nèi)涵、價值和表現(xiàn)的框架，給出的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.[1](以下簡稱“六核”.)

三.實(shí)踐過程

1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程.主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征.數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.

例1 連續(xù)復(fù)利問題：正常計息情況下的最大利息?

如果將一年等分成n個計息周期，且前面的利息均不取出，讓它獲取新的利息，那么一年后我們得到的錢數(shù)是我們將分期n變得越來越大，一年后，我們得到的錢將如何變化呢? 我們假定r=0.05.

n 1 10 20 40 70 100 200...(y=1+r)nn 1.05 1.05114 1.05121 1.05124 1.05125 1.05126 1.05127...

從表中我們可以看出，隨著n的不斷增大，實(shí)際收益卻趨近一個穩(wěn)定值(約為1.0513)，那么這個穩(wěn)定值和r=0.05有什么關(guān)系呢? 這里就聯(lián)系到了無理數(shù)e.而這個過程中，舍去實(shí)際問題中的物理等屬性，利用計息周期n和實(shí)際收益y的關(guān)系，得出當(dāng)n →∞，y →穩(wěn)定值1.0512，這個穩(wěn)定值就是它的極限值.整個過程中利用了函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，最終得出反應(yīng)問題實(shí)質(zhì)的極限的概念.而n →∞，y →1.0513 反應(yīng)了極限概念的數(shù)學(xué)本質(zhì).如果進(jìn)一步用無理數(shù)e的定義，就會發(fā)現(xiàn)e0.05≈1.0513，即無窮折現(xiàn)問題與無理數(shù)e的關(guān)系.

2.邏輯推理：邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹推理和合情推理.

例2 從數(shù)列極限的定義到函數(shù)極限的定義

已知：若{an}是一個數(shù)列，A是一個常數(shù).若對于任意的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得對滿足n＞N的所有n，都有|an-A|＜ε成立，則稱A是數(shù)列{an}的極限.

在數(shù)列極限已經(jīng)掌握的情況下，怎樣定義函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限呢?

數(shù)列{an}極限f(x)在x0 處的極限所有n 一切x存在正整數(shù)N 存在δ＞0n →+∞x →x0滿足n＞N 的所有n 滿足0＜|x-x0|＜δ 的所有x|an-a|＜ε|f(x)-A|＜ε

以上就是一個很經(jīng)典的類比推理的過程.它完全符合核心素養(yǎng)定義邏輯推理的過程，而且對應(yīng)關(guān)系明確，結(jié)論正確.

3.數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.

例3 無理數(shù)π的討論

常數(shù)π是我們經(jīng)常使用的，它是圓的周長與直徑的比.但是，我學(xué)生對于的值又知道些什么呢? 這里，我們采用數(shù)學(xué)建模的思想，把一個圓均分成一些小扇形，用剪刀剪開，將小扇形顛倒交錯擺放，這樣我們就可以得到一個近似的矩形，如圖1：

圖1

當(dāng)我們把圓等分成n等分時，我們得到圓的內(nèi)接正2n+1邊形的面積是：由二倍角公式可以依次算出得出n取某些值時Sn的結(jié)果，該結(jié)果逼近無理數(shù)π.

以上這個過程就是數(shù)學(xué)建模的過程，用圓的內(nèi)接多邊形的面積來表達(dá)問題，用三角函數(shù)的知識和逼近的思想來解釋無理數(shù)π.

4.直觀想象：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系;構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).

例4 極限

當(dāng)x →0 時，sinx →0，這是一個型的極限問題.這里，借助幾何直觀來理解.

如圖2：設(shè)圓的半徑為1，當(dāng)x ∈時，S△OAB＜S扇形OAB＜S△OAC，所 以從而即又由夾逼定理，得

圖2

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想是非常重要的思想方法，在大先微積分課程中，同樣可以借用幾何圖形進(jìn)行直觀想象，尤其在多元函數(shù)積分中，是解決各類問題的思維基礎(chǔ).

5.數(shù)學(xué)運(yùn)算：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.數(shù)學(xué)運(yùn)算是計算機(jī)解決問題的基礎(chǔ).在數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;能有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題;能夠通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣;形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

例5 計算極限

以上求解過程中，使用了中學(xué)階段二次根式中的分母無理化和二次三項式的因式分解等方法，使得化簡后的分子分母有公因式可以約分，從而將型轉(zhuǎn)化成連續(xù)函數(shù)在x=2處的極限問題.

在中學(xué)階段，數(shù)學(xué)運(yùn)算是中學(xué)生最為重要的數(shù)學(xué)能力之一，也是教師們在平時教學(xué)中較難幫學(xué)生解決的問題，在大先微積分課程中，同樣存在著很多對運(yùn)算要求高的內(nèi)容，例如求極限和積分的運(yùn)算，通過這個內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以起到提升中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

6.數(shù)據(jù)分析：數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷，形成知識的過程.主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型對信息進(jìn)行分析、推斷，獲得結(jié)論.數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，已經(jīng)深入到現(xiàn)代社會生活和科學(xué)研究的各個方面.在數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠提升數(shù)據(jù)處理的能力，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗(yàn).

例6 從數(shù)值上理解

()n ()n n 1+1n 1+1n n 1 2 10 2.59374 2 2.25 100 2.70481 3 2.37037 1000 2.71692 4 2.44141 10000 2.71815 5 2.48832 100000 2.71827 6 2.52163 1000000 2.71828 7 2.5465 10000000 2.71828

四．小結(jié)

在大先微積分課程的學(xué)習(xí)中，還有很多課例同核心素養(yǎng)息息相關(guān).學(xué)生通過一段時間的學(xué)習(xí)，不僅能了解高等數(shù)學(xué)的入門知識，還能在學(xué)習(xí)的過程中，不斷提升自身的核心素養(yǎng).作為一線教師，要進(jìn)一步深化對核心素養(yǎng)的認(rèn)識水平，不斷提升自己的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，同時還要加強(qiáng)大學(xué)微積分課程的再學(xué)習(xí)，準(zhǔn)備好必須的知識儲備.學(xué)生核心素養(yǎng)的培育依賴于教師對核心素養(yǎng)的理解程度.只有教師深刻理解了核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，才能將課程理念與教學(xué)實(shí)踐深度融合，發(fā)揮核心素養(yǎng)在學(xué)科教育中整體育人的效果.要密切關(guān)注核心素養(yǎng)的理論研究，強(qiáng)調(diào)相關(guān)教育理論在大學(xué)先修課程設(shè)計中的專業(yè)先導(dǎo)和方向引領(lǐng)，加強(qiáng)其在教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用.