核心素養(yǎng)下的教學(xué)探微
——從一題多解管窺初中數(shù)學(xué)教學(xué)

江蘇省江陰市徐霞客中學(xué)(210000) 顧定偉

江蘇省啟東市南苑中學(xué)(210000) 李衛(wèi)星

題目呈現(xiàn)直線與反比例函數(shù)分別交于兩點AB，交坐標(biāo)軸分別為DC，求證AD=BC.

圖1

分析現(xiàn)狀大部分學(xué)生看不懂此題目的題意，無從下手，得分基本為3 分.

教學(xué)準(zhǔn)備

學(xué)法順應(yīng)天性，自然生成.

學(xué)生怎么想就怎么做，走一步算一步，摸著石頭過河，充分激發(fā)自己的潛能.

教法宏觀駕控，微觀收口.

教師要有謀篇布局的意識，對教學(xué)更有一種意境和長遠(yuǎn)眼光，精心打磨每個細(xì)節(jié)，推敲每個環(huán)節(jié).

教學(xué)策略

初始想法是思維的開端.

1 純代數(shù)法

咬定青山不放松，自然過渡.

課堂傳真

很多學(xué)生自然想到求出坐標(biāo)證明如圖所示只需證到x1=CF或DE=y2即可，列出方程化簡得kx2+bx- m=0，解得那么CF=CO-OF.

圖2

學(xué)生在此望而卻步，不敢越雷池半步，此時應(yīng)鼓勵學(xué)生大膽想，老師可以說：“老師也是這么想的.”讓其有認(rèn)同感，并給足時間，讓學(xué)生充分思考.“你肯定行! ”激勵學(xué)生做下去.

這樣學(xué)生有了信心，更有成就感.及時評價：“解法很煩，計算量較大，解出此題要有對求根公式，二次根式的化簡已有相當(dāng)?shù)乃剑隳茉诖撕喕幌?，還有其他想法? ”引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考.這樣采取前否后肯的贊美方式，激勵學(xué)生繼續(xù)探究.

圖3

要計算兩根比較麻煩又有根發(fā)生關(guān)系聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系，即kx2+bx-m=0，由根與系數(shù)關(guān)系得由圖像得x2+得x1=x3.

學(xué)生可能字母設(shè)重復(fù)，犯形式主義錯誤，可能不會解，被形式所嚇倒，不敢相信自己的想法，認(rèn)為徒勞無獲.此時應(yīng)鼓勵學(xué)生大膽地想，大膽設(shè)，大膽地解，大膽暴露，把冰冷的錯誤，變成火熱的思考，讓其開花結(jié)果，即使解錯也無妨，鼓其志氣，煉其意志，推進(jìn)思維向縱深發(fā)展.這里需要呵護(hù)學(xué)生思維的嫩芽，無論其是主枝還是側(cè)枝，都需要老師的滋養(yǎng)，尤其要關(guān)注差生.教師要注意因勢利導(dǎo)，若不行，進(jìn)行適當(dāng)?shù)陌鍟瑥亩媒?

圖4

圖5

設(shè)計理念學(xué)生冥思苦想而不得其解，一經(jīng)提示就恍然大悟，問題到底出在哪里?“不是做不到，而是想不到”的現(xiàn)象，正是數(shù)學(xué)素養(yǎng)低、數(shù)學(xué)能力差的表現(xiàn).改變這種狀態(tài)，要讓學(xué)生不僅能做而且會想，唯一的辦法是放手讓學(xué)生自己先想、先做，老師在如何想、如何做上加強(qiáng)引導(dǎo).這就需要限制課堂容量，放慢教學(xué)節(jié)奏，給學(xué)生“悟”的時間，給學(xué)生說出自己想法的機(jī)會.思維變換在于引導(dǎo)和捕捉生成資源.

2 解析法

無功而返，圍魏救趙.

課堂傳真

當(dāng)發(fā)現(xiàn)解方程沒有收獲時，很多學(xué)生望而卻步了，不敢解，于是學(xué)生變換角度，想到設(shè)點坐標(biāo).這里涉及到設(shè)什么，如何設(shè)置，多設(shè)還是少設(shè)，選擇哪個函數(shù)，哪個更吻合學(xué)生想法，讓學(xué)生經(jīng)歷這一沖突過程.設(shè)好以后，需要解決什么問題，如何體現(xiàn)坐標(biāo)，把代數(shù)內(nèi)容幾何化，學(xué)生經(jīng)過轉(zhuǎn)化后，又發(fā)現(xiàn)圖形具備特殊的什么圖形，這里需要學(xué)生慢慢地體會，靜靜地嘗試，慢慢地感悟，需要時間的打磨，需要蓄勢.

從直觀上看發(fā)現(xiàn)三個平行四邊形，而證明平行四邊形矛盾的交點就是CD//EF，而證明CD//EF可以想到證明斜率相等，順應(yīng)學(xué)生思維，不要封死.學(xué)生在設(shè)直線解析式再次遇到選擇，容易出錯，這需要把學(xué)生潛在錯誤危機(jī)暴露出來，展示曝光后辨析，以錯糾錯.同時學(xué)生面對含多字母的方程，心理上產(chǎn)生畏懼，又不知道如何解，如何消未知數(shù)，適當(dāng)點撥，通過這一環(huán)節(jié)考驗，對字母代表數(shù)，消元思想進(jìn)一步加深.

設(shè)直線的解析式CD:y=px+q，相減得p=同理可設(shè)直線的解析式CD:y=px+q，相減得可證的直線平行從而得解.

這里需要空間，需要學(xué)生經(jīng)歷幾次沖突，幾次抉擇，隨思維變化，感悟數(shù)學(xué)思想的存在.此時忌諱上課的行云流水，快刀斬亂麻，會把學(xué)生稍縱即逝的思維之花扼殺在萌芽狀態(tài).學(xué)生思維經(jīng)歷挫折，思維更顯成熟，更經(jīng)得起考驗.同時不同層級的學(xué)生，不同的思維方式會產(chǎn)生不同的輔助線方法，產(chǎn)生殊途同歸的效果，同時相互比較，同步鞏固提高.上述兩種圖形體現(xiàn)不同學(xué)生的不同習(xí)慣、不同基礎(chǔ)、不同水平.

真正的學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷“感知——感悟——知識”的過程.

設(shè)計理念能為學(xué)生著想的老師就是高素質(zhì)的老師——什么叫“為學(xué)生著想”? 慢下來，給學(xué)生“悟”的時間和空間，“慢”就是快! 應(yīng)加強(qiáng)動手、思考和感悟的實踐，培養(yǎng)學(xué)生渴求知識的感覺.

思維提升在于思辨.

3 幾何法

順勢而下，拋磚引玉.

課堂傳真

發(fā)現(xiàn)證明相等就是證明平行，證明平行K相等這是唯一的路嗎? 一石激起千層浪，讓學(xué)生思考后討論，反比例經(jīng)常用的性質(zhì)是什么? 學(xué)生經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)只需證明面積相等，而選擇好哪兩個三角形，是比較難的，底是誰，第三個頂點是誰? 為什么選擇這兩個?

學(xué)生思考：上述提及的代數(shù)，那么必然有幾何與之對應(yīng)，所以同樣作垂線，因為反比例函數(shù)的最大特征就是所構(gòu)面積相等，所以將面積表示出來，顯然S四邊形EAHF=S四邊形HGIB，發(fā)現(xiàn)就這樣無法表示出DA=BC，所以得要將其轉(zhuǎn)換或者找外援，圖中有什么看上去相等的線段呢? 發(fā)現(xiàn)矩形FHGO很“可疑”，多多嘗試，連接FG發(fā)現(xiàn)得出了兩個圖形像什么? 發(fā)現(xiàn)貌似是倆平行四邊形，若是平行四邊形則DA=FG=BC，由求證出發(fā)這肯定是平行四邊形，可問題是如何證明.這又像以前做過的求證想象的平行一致，所以這肯定能解出，既然已經(jīng)利用了面積，那么就咬定青山不放松再從面積轉(zhuǎn)換，平行聯(lián)想由什么證明，角顯然不可能，面積和平行有何關(guān)系，面積是由底*高得的，當(dāng)?shù)叵嗟葧r那么兩直線便平行了，所以求證到了平行四邊形，所以可看到黎明的曙光DA=BC.

凡事都有對立雙方，所以反過來看也可以.當(dāng)有了這基本的平行知識，發(fā)現(xiàn)易證EI平行DC也同樣利用倆平行四邊形，求證出邊相等，最后全等.S△EAF=S△AEO=S△BFE=S△BFO=即證到平行.

圖6

圖7

剛才證明平行容易相等K相等，K相等是唯一的路嗎?

從思維的封閉走到開放，解決思維定勢.有效拓寬學(xué)生思維路徑.這是一種捷徑，對于大多數(shù)同學(xué)很難掌握，簡單易懂，迅速秒殺題目，若不及時追問，會來的快，去的也快，對學(xué)生怎樣理解他，需要讓學(xué)生思考為什么這樣想，想的必然性是什么? 為什么添垂線，為什么想到面積，順其自然，突兀?又如何銜接? 同時對應(yīng)不同的圖形，讓學(xué)生自己感悟不同圖形帶來的效果.哪一種更符合自己的習(xí)慣.逐步從程序解法到關(guān)系解法過渡.

設(shè)計理念教學(xué)中應(yīng)多問“你是怎么想的? ”“你是怎么想到的? ”“還有別的想法嗎? ”少問“是不是? ”“對不對? ”更不要“我已經(jīng)給大家準(zhǔn)備好了，下面開始算吧! ”通過技巧訓(xùn)練迅速提高分?jǐn)?shù)，與通過思維訓(xùn)練全面提升能力，是兩個完全不同的追求!

思維深化在于知識合成.

4 幾何代數(shù)結(jié)合

順藤摸瓜，柳暗花明.

課堂傳真

你能從剛才圖形還能發(fā)現(xiàn)什么基本的圖形，你能寫出來嗎?

圖8

圖9

圖10

解好后請思考一下問題，你是怎么想的，為什么這么想，這種解法的共性是什么，它需要我們掌握什么，繼續(xù)延伸是什么? 還會怎么考察?

學(xué)生思考：用了面積，那么就有其他的方法，初中貫穿最大的幾何法就是相似，發(fā)現(xiàn)圖中有許許多多的三角形相似，“相似是個好東西! ”圖中用相似也可以解決，但是這條還是那條，看得眼花，所以有代數(shù)形式簡略化，用abcd等等的形式.再通過最基本的圖形面積相等與多次相似求證出.

設(shè)計理念調(diào)動學(xué)生的所有感官參與學(xué)習(xí)，通過實際問題分析和實際操作獲得感性材料，進(jìn)行適當(dāng)整理，歸納出數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系的特征，逐漸抽象成數(shù)模型，滲透建模思想，這對培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與深刻性有極大的作用.

在同步練習(xí)中得到鞏固，換湯不換藥，思維同化.

題目解答完成，但并不表示真正的掌握，只是停留在形式上，學(xué)生并不完全理解，最簡單最直接的做法是通過同步練習(xí)達(dá)到鞏固的效果.

直線與反比例函數(shù)分別交于兩點AB，交坐標(biāo)軸分別為DC，求證AD=BC.

圖11

圖12

直線AD:y=-2x+n交反比例與AD兩點，交坐標(biāo)軸與BC兩點，AC-CD=5，求直線解析式.

生成轉(zhuǎn)移，發(fā)展思維.沖出重圍，拓展延伸.

已 知：如 圖13，⊙O是 等 腰Rt△ABC的外接圓，點D是弧AC上的一點，BD交AC于點E，若BC=4，AD=這AE的長是( )

A.3 B.2 C.1 D.1.2

圖13

常見困惑

單用勾股定理，獨木難支：

圖14

圖15

相似求解，一針見血：△DEA相似于△CEB，

教后反思：關(guān)注學(xué)生心理，注重思維發(fā)展

初一到初三學(xué)生處于青春期，他們的認(rèn)知水平，思維方式和社會經(jīng)驗屬于半成熟狀態(tài)，不可避免成人感與半成熟之間的矛盾，成人感使得獨立意識強(qiáng)烈，精神上要求擺脫成人，要求有獨立的自主權(quán)決定權(quán)，事實上，面對許多復(fù)雜的問題和困惑時，他們需要得到成人的理解、支持和保護(hù).同時青春期心里的閉鎖性又把他們的內(nèi)心世界封閉起來，不向成人袒露，認(rèn)為成人不理解他們，對成人不信任.他們倍感孤獨，希望與他人溝通，得到理解，這種開放胸懷的愿望促使他們很愿意與同齡人或自己可信賴的人吐露心聲.同時青春期表現(xiàn)成人式的果敢和能干，獲得成功就會享受超越一般的優(yōu)越感與成就感，若遇到挫折則產(chǎn)生自暴自棄的挫折感.思維形式已擺脫具體內(nèi)容的束縛，已經(jīng)具備抽象邏輯推理能力，屬于發(fā)展階段.這些要求教師關(guān)注學(xué)生心理，注重思維發(fā)展.

教師的贊賞藝術(shù)

學(xué)生怎么想，就怎么引，啟而不發(fā)，適當(dāng)講解，當(dāng)學(xué)生想到有代數(shù)解方程的手段時，盡管繁做起來繁瑣，但有想法總比沒想法好，而且是學(xué)生最直接最直觀的想法，要呵護(hù)學(xué)生的自尊心和成就感，當(dāng)學(xué)生解得方程繁瑣，給以理解，老師可以說：我也是這么想的，肯定他們的想法.應(yīng)用好贊賞，充分調(diào)動期待效應(yīng)，順利得解，是不是解得煩了，有沒有好的辦法，反比例函數(shù)最容易想到什么? 我發(fā)現(xiàn)有一位同學(xué)是這樣想的，發(fā)揮學(xué)生獨立意識，讓其展現(xiàn)解法，利用心理學(xué)的鯰魚效應(yīng)，產(chǎn)生競爭，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)想.當(dāng)學(xué)生再次想不出，百思不得其解，讓其相互交流，敞開心扉，互述困惑，心理得到補(bǔ)償.當(dāng)方法多時，學(xué)生部分不能理解，及時停住，以避免心理學(xué)超限反應(yīng)的副作用.

教師的示弱藝術(shù)

很多教師居高臨下，滔滔不絕，講了諸多做法，但是收效甚微.教師講的時候更應(yīng)體現(xiàn)自己解題的笨拙之處，笨拙更符合學(xué)生的思路，讓學(xué)生體會解題的艱辛，與學(xué)生感同身受，深挖學(xué)生思維障礙之處，從愚鈍之處看出可取之處，不足之處，從人際溝通來講，上行，下行，平行三種溝通，以學(xué)生的視角審視問題，老師也是這么想，學(xué)生也是這么想，得到共鳴，縮短思維差異，更利于教學(xué).比如想到解方程，老師也害怕，解不出，想設(shè)未知數(shù)，不知道設(shè)什么好，想到面積不知道用哪個面積好? 發(fā)現(xiàn)動點還不知在哪里運動? 若老師講解時故意或真的出現(xiàn)遲鈍或不能解決的問題，及時拋給學(xué)生，此時學(xué)生會出現(xiàn)好奇激動，學(xué)生會爭先恐后表現(xiàn)，符合心理盈虧理論.譬如分式方程，算術(shù)平方根，高等問題，極大地調(diào)動了學(xué)生參與的積極性.

教師的聆聽藝術(shù)

當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯誤時，不要一棍子打死，要俯下身子去聆聽，聆聽是一種藝術(shù)，更是一種美德，更是一種水平，聆聽要關(guān)注學(xué)生的的眼神，是信任還是疑惑? 洞察學(xué)生的肢體語言，是傾斜還是側(cè)身，還是防偽，讓學(xué)生把所思所想講出來，及時示意.預(yù)設(shè)與生成兩個孿生姐妹，好的預(yù)設(shè)才有精彩的生成，及時捕捉學(xué)生思維的火花，幾何與代數(shù)方法順序可以不講，但可相通，互為支撐，注重思維形成的過程.考慮到學(xué)生思維的發(fā)展的不平衡性、階段性、連續(xù)性和差異性，本題從代數(shù)解方程，進(jìn)一步優(yōu)化成根與系數(shù)解決問題，再從數(shù)變成形幾何直觀解決，再次形數(shù)結(jié)合解決問題，符合學(xué)生思維發(fā)展特點，兼顧不同層次的學(xué)生.方法不在多，在于學(xué)生接受.方法不多而在于方法體系的形成，通過讓學(xué)生解題形成代數(shù)幾何解析的解決問題的意識.逐步拓寬學(xué)生的思維，同時促使思維向縱深發(fā)展.

教師的評價藝術(shù)

分階段讓學(xué)生對題目進(jìn)行評價，加強(qiáng)一般觀念的指導(dǎo)作用.

對每產(chǎn)生一種解法或產(chǎn)生困惑讓不同層次學(xué)生及時點評，本解法所用的知識點是什么? 怎么解，簡略復(fù)述過程，你的困惑在哪里? 你把條件復(fù)述一下，為什么這樣解? 你怎么想到的，你那個條件不能利用? 這個解法應(yīng)用哪些知識，如何應(yīng)用，還可以想到什么? 課堂讓不同類型學(xué)生進(jìn)行反思，進(jìn)行比較，讓學(xué)生自己感悟理解的不同程度，促進(jìn)他們從程序解法，到關(guān)系型解法到應(yīng)用性解法的慢慢提升.不同解法出現(xiàn)后，讓學(xué)生對比解法之間的關(guān)系，進(jìn)行系統(tǒng)反思，讓學(xué)生同化順應(yīng)，促成方法體系的構(gòu)建，提升思想性.通過具體事例，具體做法的歸納概括，讓學(xué)生自主探究、交流，給學(xué)生表達(dá)的機(jī)會，從表達(dá)中把握學(xué)生的思維過程，捕捉生成性教學(xué)資源，并用“你是怎么想的? ”“你是怎么想到的? ”“能把你的想法說得更清楚一些嗎? ”等促進(jìn)思考，逐步培養(yǎng)學(xué)生用概念解釋數(shù)學(xué)對象、通過歸納發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的能力與習(xí)慣，是促使學(xué)生深層次參與課堂教學(xué)的有力舉措.要把實質(zhì)性的歸納機(jī)會留給學(xué)生，例如具體實例共同特征的歸納就應(yīng)該讓學(xué)生完成．

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，作為數(shù)學(xué)老師，就是讓學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)知識體系的過程中培養(yǎng)正確的思維方式.用智商備課，用情商上課，互為一體，相輔相成，作為一名初中數(shù)學(xué)教師，任重而道遠(yuǎn).