上證50ETF期權(quán)隱含波動(dòng)率曲面的非參數(shù)擬合

摘?要：在Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型中，波動(dòng)率是假設(shè)在期權(quán)存續(xù)期內(nèi)保持不變的，而通過對我國上海證券交易所的50ETF期權(quán)合約交易數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，其隱含波動(dòng)率有著明顯的微笑表現(xiàn)。因此，本文根據(jù)BS隱含波動(dòng)率函數(shù)對上證50ETF期權(quán)進(jìn)行了非參數(shù)擬合，通過所建立的隱含波動(dòng)率曲面發(fā)現(xiàn)了其具有的波動(dòng)率微笑特征，這為未來期權(quán)價(jià)格的預(yù)測模型的建立奠定了基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：上證50ETF期權(quán);期權(quán)定價(jià);隱含波動(dòng)率曲面;非參數(shù)擬合

中圖分類號：F83文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-4428（2019）06-0137-02

一、 引言

2015年2月9日，上證50ETF期權(quán)在我國上海證券交易所開始交易，A股迎來了股票期權(quán)時(shí)代。目前，我國的期權(quán)主要有場內(nèi)期權(quán)以及場外期權(quán)，相對于場外期權(quán)來說，場內(nèi)期權(quán)由政府監(jiān)管和行業(yè)自律來保障其交易，具有集中交易、標(biāo)準(zhǔn)化合約以及高流動(dòng)性、交易量大等特點(diǎn)，因此對場內(nèi)期權(quán)合約進(jìn)行波動(dòng)率曲面建模對投資組合的風(fēng)險(xiǎn)管理有著重要的意義。

在金融產(chǎn)品的交易市場中，波動(dòng)率通常被作為衡量投資風(fēng)險(xiǎn)程度大小的指標(biāo)，一般來說，波動(dòng)率越大，風(fēng)險(xiǎn)程度越高。Black and Scholes（1973）提出的BS期權(quán)定價(jià)模型，可應(yīng)用于對無紅利支付的歐式期權(quán)定價(jià)中，以看漲期權(quán)定價(jià)公式為例：

其中，C為是看漲期權(quán)價(jià)格，S為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，K為期權(quán)的行權(quán)價(jià)格，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，τ 為剩余有效時(shí)間，σ為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率的波動(dòng)率，Nd1、Nd2為累計(jì)正態(tài)分布概率函數(shù)。該定價(jià)公式給出了期權(quán)價(jià)格C與5個(gè)參數(shù)（S，K，τ，r，σ）之間的關(guān)系，隱含波動(dòng)率即是將從市場上得到的期權(quán)價(jià)格代入該模型中反推得到的波動(dòng)率。本文考慮采用多項(xiàng)式擬合方法對上證50ETF期權(quán)的數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，并根據(jù)隱含波動(dòng)率、行權(quán)價(jià)格以及期限三者之間的關(guān)系建立隱含波動(dòng)率曲面。

二、 數(shù)據(jù)的描述和處理

根據(jù)BS定價(jià)公式可得出看漲期權(quán)隱含波動(dòng)率的函數(shù)，即：

其中，Ci為從市場上觀察到的上證50ETF期權(quán)合約的價(jià)格，σi為隱含波動(dòng)率。本文選取了2019年3月1日上證50ETF的交易數(shù)據(jù)，在這一天有存續(xù)期為21天、56天、119天和210天的期權(quán)報(bào)價(jià)數(shù)據(jù)，當(dāng)日標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S為2.802，將當(dāng)天的中債國債收益率曲線作為無風(fēng)險(xiǎn)利率曲線，得到r為1.8491%，代入上式并得到隱含波動(dòng)率的散點(diǎn)分布圖，如圖1所示：

由圖1可以看出，在每個(gè)存續(xù)期時(shí)，波動(dòng)率曲線的分布有著明顯的微笑特征。

本文基于上述的市場交易樣本數(shù)據(jù)，根據(jù)上證50ETF期權(quán)的不同行權(quán)價(jià)格進(jìn)行多項(xiàng)式插值形成隱含波動(dòng)率曲線，并對不同的到期時(shí)間再進(jìn)行插值形成隱含波動(dòng)率曲面。

三、 隱含波動(dòng)率曲線的擬合

在非參數(shù)估計(jì)中，將離散的數(shù)據(jù)以光滑的函數(shù)表示的方法有很多，如線性光滑、基函數(shù)展開和局部多項(xiàng)式擬合等，本文采用多項(xiàng)式擬合方法來擬合在每個(gè)存續(xù)期時(shí)期權(quán)的隱含波動(dòng)率曲線。

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)中已有的期權(quán)合約價(jià)格和行權(quán)價(jià)格以及到期時(shí)間，采用牛頓二分法在BS期權(quán)定價(jià)模型中進(jìn)行迭代，得到對應(yīng)的隱含波動(dòng)率，并采用二次多項(xiàng)式擬合構(gòu)建波動(dòng)率微笑曲線，如圖2所示：

由圖2可知，在固定的存續(xù)期下，隨著執(zhí)行價(jià)格的不斷增大，期權(quán)的隱含波動(dòng)率先減小后增大，且在平值期權(quán)附近有最小值;其次，隨著到期時(shí)間的臨近，期權(quán)的隱含波動(dòng)率增大，這說明在即將到達(dá)期權(quán)執(zhí)行時(shí)間時(shí)，期權(quán)的交易越活躍;最后，對于合約期限較短的樣本合約，其隱含波動(dòng)率曲線呈現(xiàn)出更加明顯的波動(dòng)率微笑特征，而合約期限較長的樣本，隱含波動(dòng)率曲線趨于平緩。

四、 隱含波動(dòng)率曲面的擬合

基于上述已得到的隱含波動(dòng)率曲線，再對四個(gè)存續(xù)期進(jìn)行多項(xiàng)式插值并擬合，便可得到觀測日下的上證50ETF看漲期權(quán)的隱含波動(dòng)率曲面，如圖3所示：

如圖3所示，由通過多項(xiàng)式擬合對上證50ETF期權(quán)建立的隱含波動(dòng)率曲面可知，在觀察日2019年3月1日，樣本數(shù)據(jù)的隱含波動(dòng)率和行權(quán)價(jià)格有著明顯的波動(dòng)率微笑特征，此外，當(dāng)期權(quán)合約臨近到期時(shí)，其微笑程度更明顯，波動(dòng)率曲線更為陡峭，而當(dāng)?shù)狡跁r(shí)間較遠(yuǎn)時(shí)，期權(quán)的波動(dòng)率曲線更為平緩。

五、 結(jié)論和展望

本文通過對觀察日交易市場上的實(shí)際期權(quán)合約數(shù)據(jù)，構(gòu)建出了隱含波動(dòng)率曲線以及曲面模型，發(fā)現(xiàn)了50ETF期權(quán)市場中存在著較為顯著的隱含波動(dòng)率微笑現(xiàn)象，且對于存續(xù)期較短的期權(quán)合約更為明顯。

首先，本文在構(gòu)建上證50ETF期權(quán)的波動(dòng)率微笑及波動(dòng)率曲面模型時(shí)，主要采用的是非參數(shù)方法中的插值法。而通常來說，非參數(shù)法雖然靈活性更高，能夠針對較為復(fù)雜的隱含波動(dòng)率曲面建模，但它的應(yīng)用需要較為嚴(yán)格的條件，例如期權(quán)的價(jià)格設(shè)定需要滿足無套利條件。且非參數(shù)法無充足的理論基礎(chǔ)支持，對于數(shù)量較少的樣本數(shù)據(jù)，在采用非參數(shù)法構(gòu)建隱含波動(dòng)率曲線時(shí)，在邊界區(qū)域往往會產(chǎn)生較大的估計(jì)誤差，因此采用非參數(shù)法估計(jì)隱含波動(dòng)率曲面，存在較大的局限性。

其次，本文選取的觀察日中，50ETF期權(quán)合約只有四種合約到期時(shí)間，樣本的數(shù)據(jù)較少，且行權(quán)價(jià)格的范圍也較小，建立的模型缺乏較高的精度。

最后，隨著50ETF期權(quán)市場的發(fā)展，隱含波動(dòng)率也會受到投資者的構(gòu)成和市場交易環(huán)境的影響，因此應(yīng)建立一個(gè)更全方面、更具適用性的隱含波動(dòng)率模型。

參考文獻(xiàn)：

[1]ZHANG C Q，ZHAO N，KONG D. New developments on functional data analysis[J]. Journal of GuangzhouUniversity：Natural Science Edition， 2006，5（3）：1-3.

[2]Black F，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Politics，1973，81（5-6）：637-59.

作者簡介：

謝智敏，女，江西新余人，江西財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)生，研究方向：證券投資。