基于Matlab的波導(dǎo)特性的二次FEM方法分析及仿真探究

潘建偉

摘? ?要：文章介紹二次有限元法分析波導(dǎo)本征值問(wèn)題的基本原理和計(jì)算過(guò)程，建立相應(yīng)的仿真模型，實(shí)例仿真計(jì)算了雙脊圓波導(dǎo)的截止波長(zhǎng)、單模帶寬，仿真出了波導(dǎo)的場(chǎng)結(jié)構(gòu)。并與已有的國(guó)外權(quán)威刊物上發(fā)表的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行了對(duì)比，數(shù)據(jù)誤差較小，表明該方法的有效性和仿真模型的正確性。這些結(jié)果和計(jì)算數(shù)據(jù)將為曲邊波導(dǎo)器件的小型化提供指導(dǎo)，對(duì)工程設(shè)計(jì)具有一定的實(shí)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：有限元法;仿真;曲邊波導(dǎo);傳輸特性

1? ? 有限元法變分原理的應(yīng)用

有限元以變分原理為基礎(chǔ)，把所要求的微分方程型數(shù)學(xué)模型—邊值問(wèn)題，首先，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問(wèn)題，即泛函求極值問(wèn)題。其次，利用剖分插值，離散化變分問(wèn)題為普通多元函數(shù)的極值問(wèn)題。最后，歸結(jié)為一組多元的代數(shù)方程組，解之即得待求邊值問(wèn)題的數(shù)值解。有限元法已經(jīng)成為各類(lèi)電磁場(chǎng)、電磁波工程問(wèn)題定量分析于優(yōu)化設(shè)計(jì)的主導(dǎo)數(shù)值計(jì)算方法[1]。

利用有限元法計(jì)算電磁場(chǎng)的過(guò)程，通常步驟如下：

（1）簡(jiǎn)化求解物理模型，導(dǎo)出求解的微分方程。

（2）根據(jù)微分方程及邊界條件，求出對(duì)應(yīng)定解的泛函及其等價(jià)的變分問(wèn)題。

（3）對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行剖分，確定相應(yīng)的插值函數(shù)。

（4）對(duì)多元函數(shù)的泛函求極值，導(dǎo)出有限元方程組。

（5）求解有限元方程組，得到節(jié)點(diǎn)上的位函數(shù)。

在實(shí)際工作中，一般都應(yīng)用在基模，所以在這里只討論橫電（Transverse Electric，TE）的計(jì)算。

2? ? 計(jì)算實(shí)例

根據(jù)有限元方法求解本征值原理及有限元方程的求解過(guò)程，用Matlab的PDE工具箱仿真求解雙脊圓波導(dǎo)的傳輸特性。雙脊圓波導(dǎo)如圖1所示，d是圓波導(dǎo)的直徑，w是脊的寬度，h是脊的高度。如圖2所示，脊的中心關(guān)于圓波導(dǎo)的中心軸對(duì)稱，主要研究隨著脊的寬度和高度變化時(shí)，雙脊圓波導(dǎo)的傳輸特性的變化。設(shè)脊波導(dǎo)內(nèi)介質(zhì)為空氣，波沿縱向傳播。

2.1? 仿真結(jié)果分析

（1）主模的電場(chǎng)集中在脊所在的條形區(qū)域，而第一高次模的電場(chǎng)則被劈為對(duì)稱的兩部分，在脊的上部出現(xiàn)了斷裂。

（2）當(dāng)w/d固定不變時(shí)，歸一化截止波長(zhǎng)λc/d隨著h/d從0.05～0.45變化逐漸增大。

（3）當(dāng)h/d固定不變時(shí)，截止波長(zhǎng)隨著w/d從0.1～0.9變化先增大后減小。

（4）截止波長(zhǎng)λc/d大小的變化范圍是1.7～4.6，當(dāng)w/d=0.3，h/d=0.45時(shí)，雙脊圓波導(dǎo)的歸一化截止波長(zhǎng)達(dá)到最大，比同等尺寸下的單脊圓波導(dǎo)的截止波長(zhǎng)。

（5）w/d固定不變時(shí)，單模帶寬λc/λc1隨著h/d從0.05～0.45變化逐漸增大。

（6）當(dāng)h/d固定不變時(shí)，單模帶寬隨著w/d從0.1～0.9變化先增大后減小。

（7）單模帶寬λc/λc1大小的變化范圍是1～3.3。

2.2? 方法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本方法的正確性，將本文所得的結(jié)果和Rong等[2]的研究結(jié)果相比較[3-5]，比較結(jié)果如圖3—6所示。

3? ? 結(jié)語(yǔ)

用PDE工具箱求解雙脊圓波導(dǎo)的特征值與同尺寸下的編程計(jì)算得到的特征值誤差幾乎小于0.05，計(jì)算結(jié)果精度相比較于數(shù)值解精度高。但是用PDE工具箱在求解波導(dǎo)的電磁場(chǎng)數(shù)值時(shí)，只能產(chǎn)生準(zhǔn)確的主模的特征值，高次模的特征值求解不太準(zhǔn)確，甚至?xí)a(chǎn)生偽解現(xiàn)象，這是在使用PDE工具箱時(shí)，需要注意的地方。

[參考文獻(xiàn)]

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