火炮后效期內(nèi)彈底壓力預估理論模型研究

周夢笛， 曹從詠， 錢林方

(1.南京理工大學 自動化學院， 江蘇 南京 210094； 2.南京理工大學 機械工程學院， 江蘇 南京 210094)

0 引言

在火炮射擊過程中，彈丸運動經(jīng)歷內(nèi)彈道、中間彈道(后效期)和外彈道3個階段。在后效期，彈丸穿越火炮膛口流場時繼續(xù)受到火藥燃氣的作用，將對彈丸受力及運動規(guī)律產(chǎn)生影響，這種影響包括彈丸獲得的增速及受到的擾動[1]。

針對后效期的彈道研究興起于第二次世界大戰(zhàn)結束時，早期研究主要針對膛口流場，采用理論方法和各種實驗方法進行氣流特征和機理的分析[2-4]。Erdos等[4]根據(jù)二維定常射流理論，利用激波裝配法建立了后效期沖擊波波面和馬赫盤的數(shù)值計算模型，該模型未考慮彈丸和膛口之間的相互作用以及彈丸對流場的影響，具有一定的局限性。隨著計算機性能的大幅度提高，數(shù)值仿真發(fā)展迅速，國內(nèi)外學者開始采用計算流體力學(CFD)方法對后效期流場進行仿真研究。蘇曉鵬等[5]利用混合網(wǎng)格技術對帶炮口裝置的某火炮膛口流場進行了數(shù)值仿真，得到了彈丸出膛口后彈底合力的變化曲線。采用國際通用的大型流場仿真軟件Fluent CFD，可以較精準地模擬后效期膛口流場及彈丸運動情況[6-8]，但CFD方法需要較長的計算時間，不適用于實際工程火控系統(tǒng)中。因此必須建立一種耗時小的快速計算模型方法，以預估彈丸彈底壓力的波動情況。

根據(jù)已有研究可知，后效期內(nèi)膛口附近的火藥燃氣流動主要是普朗特- 邁耶膨脹波及沿軸線的反射波起主導作用。本文采用完全不同于CFD的方法來模擬后效期彈底的壓力變化，基于平面普朗特- 邁耶膨脹流動[9]，提出一種近似的中間彈道彈底壓力半分析模型，以期迅速且較精確地給定外彈道的初始條件，從而為射表編制和彈丸合理設計提供理論參考依據(jù)。

1 后效期彈底壓力預估理論模型

根據(jù)普朗特- 邁耶膨脹波關系及等熵流動，有下述關系：

uφ=c，

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：uφ為流動速度u的切向分量；c為聲速；ur為流動速度u的法向分量；Δh為比焓增量；um為炮口速度；φ為特征線傾角；φm為炮口馬赫角；ρ為燃氣密度；ρm為炮口燃氣密度；cm為炮口聲速；p為某一特征線對應的靜壓值；pm為炮口壓力；Mm為炮口馬赫數(shù)。炮口馬赫角示意圖如圖1所示。

圖1 炮口馬赫角示意圖Fig.1 Schematic diagram of Mach angle

將火藥燃氣看成是比熱比為k的完全燃氣，可以導出p與φ的關系式為

p=pm{cos[w2(φ-φm)]-

(7)

根據(jù)(7)式，可以算出傾角為φ的特征線到達彈底點處的靜壓值。為了求該點處的動壓值，可利用流動速度的軸向分量ux，即

(8)

利用(9)式計算動壓Δp的近似值：

(9)

在(9)式中，將彈丸速度近似處理為um，主要是考慮到在后效期內(nèi)彈丸速度增加不多[10]，則將p+Δp看成是傾角為φ的特征線到達彈丸底部的作用力。由于該近似處理并沒有考慮反射波達到該點處的作用力，需要綜合考慮入射馬赫波和反射波的共同作用，近似認為是兩種波的疊加，為了考慮反射波的影響，采用聲學近似方法處理。

根據(jù)圖2所示的對稱平面反射波性質(zhì)，對于一給定的特征線，反射波壓力和軸向速度相同，徑向速度分量大小相等、符號相反，因此可以用(7)式、(8)式和(9)式計算反射波靜壓pr、反射波軸向速度uxr和反射波動壓Δpr，即

(10)

(11)

uxr=

(12)

式中：φr為反射波傾角。

圖2 對稱平面反射波性質(zhì)示意圖Fig.2 Property of reflected wave on symmetry plane

然后進行平均壓力的預估，如圖3所示，對給定的彈丸運動位置x(t)，沿徑向均分為n等分，節(jié)點數(shù)i為1，2，…，n+1. 則任意點的徑向坐標為ri=rm(i-1)/n. 對每一點而言，若假定特征線為直線，則特征線入射波和反射波的傾角由(13)式和(14)式求出：

(13)

(14)

圖3 彈丸底部徑向分割示意圖Fig.3 Schematic diagram of radial segmenting

對于給定的φ，由(7)式和(9)式計算p和Δp；對于給定的φr，由(10)式和(11)式計算pr和Δpr. 假定波的干涉呈線性，則第i個節(jié)點的合壓力pi為

pi=p+pr-pm+Δp+Δpr，

(15)

進而有作用于彈底的平均壓力為

(16)

2 彈底壓力預估值邊界估計

2.1 上界預估

第1節(jié)模型中僅考慮了平面對稱性，沒有考慮實際的圓柱軸對稱流動問題。在軸對稱模型中，普朗特- 邁耶流動的壓力下降要比平面對稱快得多，因此應該在近似模型中考慮彈底壓力的上界預估。本文采用近似方法考慮軸對稱問題，連續(xù)性方程為

(17)

式中：t為后效期時間；r為徑向坐標。

對于等熵流動，p可由ρ計算得到，有如下性質(zhì)：

p=p(ρ)，

(18)

(19)

(20)

將(18)式、(19)式和(20)式代入(17)式中，則(17)式為

(21)

式中：右端第1個和項表示平面對稱流動的壓力偏導數(shù)項。因此，沿著彈丸軌跡對(21)式進行積分，得

(22)

式中：τ為時間微元；Δpp為彈底動壓，右端的積分項可以處理成平面對稱流動的解的修正項，從而可以用前述方法計算Δpp并進行修正，該積分項可以通過連續(xù)時間間隔內(nèi)的pi和uri求出。對于平面對稱流動，徑向速度分量ur預估值ur(φ)為

(23)

如果入射波與反射波存在相互作用，則ur可由(24)式計算：

ur=ur(φ)-ur(φr).

(24)

2.2 下界預估

與2.1節(jié)同樣，通過近似處理方法也可以得到壓力預估值的下界。由于將特征線處理成直線，造成所給出的特征線到達彈尾的時間早于實際特征線(見圖4)，導致直線特征線比實際特征線的壓力下降更快。在這種情況下，在后效期開始時刻，火藥燃氣速度為亞音速時需要采用基于一些修正的近似模型。此時，膨脹波進入炮口、導致燃氣加速，使炮口處的流動變?yōu)橐羲倭?。這意味著普朗特- 邁耶流的第1條特征線位于炮口處，因此可以用第1節(jié)中的近似模型計算作用于彈體尾部的平均壓力。前提是需要已知炮口處新的流動參數(shù)，這些參數(shù)不同于內(nèi)彈道計算結果，為此本文提出如下近似方法。

圖4 直線特征線與實際特征線關系示意圖Fig.4 Relationship between linear and real characteristic lines

如圖5所示，假定在初始時刻中心膨脹波扇在炮管內(nèi)產(chǎn)生，則可以通過中心膨脹波關系計算炮口處的速度和壓力。

圖5 初始時刻膨脹波扇示意圖Fig.5 Schematic diagram of initial expansion wave

沿炮口處特征線，黎曼不變量關系式為

(25)

式中：u0、c0為內(nèi)彈道終止時刻的流動速度和聲速。

由于在炮口處um=cm，代入(25)式，得

(26)

(27)

本文認為火藥燃氣是完全燃氣，利用等熵關系計算炮口處其他參量，并消去壓力項，得

(28)

(29)

Mm=1.

(30)

3 仿真對比分析

以口徑155 m某型火炮實彈射擊試驗中測得的膛口數(shù)據(jù)為例，將本文模型的計算結果與CFD三維仿真結果進行對比。

3.1 仿真參數(shù)設置

實彈射擊試驗測得3種不同出膛速度工況的后效期初始時刻膛口參數(shù)如表1所示，模型所需初始條件中的參數(shù)pm、ρm、um取表1中的數(shù)據(jù)，k取1.3，rm取0.077 5，用MATLAB編程實現(xiàn)本文模型的計算。

表1 計算工況表

CFD仿真時設置計算域為10 m×5 m×5 m的長方體，計算網(wǎng)格數(shù)約為110萬。根據(jù)經(jīng)典內(nèi)彈道理論，假設膛口壓力、溫度、密度隨時間呈指數(shù)衰減規(guī)律[11-12]，并編寫用戶自定義函數(shù)(UDF)實現(xiàn)膛口火藥燃氣的排空過程，采用密度基瞬態(tài)求解器進行求解。

3.2 對比分析

考慮到CFD仿真耗時較長，本文僅對距離膛口20 cm內(nèi)彈底壓力的波動情況進行仿真，所得結果如圖6以及表2～表4所示。由如圖6以及表2～表4可以看出：不同工況下本文模型計算得到的彈底壓力曲線與CFD三維仿真結果都較接近，表明本文模型與CFD模型仿真結果相差很小；每個工況本文模型的計算耗時不到1 s，CFD計算耗時約1.5 h左右，表明本文模型計算耗時比CFD模型顯著減小。

圖6 彈底壓力變化曲線圖Fig.6 Curves of pressure on the bottom of projectile

表2 工況1下CFD模型與本文模型計算結果對比

Tab.2 Comparison of calculated results of CFD model and the proposed model in Case 1

距離/m彈底壓力/MPaCFD模型本文模型0.05098.597.90.07581.982.30.12553.555.30.15044.543.6

表3 工況2下CFD模型與本文模型計算結果對比

表4 工況3下CFD模型與本文模型計算結果對比

4 結論

本文對后效期彈底壓力的波動進行了研究，基于普朗特- 邁耶膨脹波和等熵流動，建立了后效期彈底壓力預估理論模型。以某彈丸為例，將該模型計算結果與常用的CFD三維仿真模型計算結果進行了算例對比。結果表明：本文提出的彈底壓力預估分析模型能夠合理地反映后效期彈底壓力的變化規(guī)律，所采用的數(shù)值計算方法與CFD方法相比計算精度相當，但計算耗時顯著減少。本文研究成果可為火控系統(tǒng)所需外彈道參數(shù)提供一種快速的計算方法，并可為射表編制和彈丸合理設計提供理論參考依據(jù)。