球冠形封頭臥式儲罐容積積分公式推導

邢子龍 邢云婷 董偉 白景紅 李爽 石萬輝

（中國石油吉林油田公司新立采油廠）

0 引言

球冠形封頭臥式儲罐是煉化裝置的常用設備。某煉化裝置的球冠形封頭臥式儲罐容積計算大多是用網上下載的軟件推算而來，不同的軟件計算的結果存在著一定的誤差，另外有些軟件受使用權限限制，現場隨機輸入不同液位高度求得儲罐容積不盡方便。針對這些問題，采用數學積分方法，推導出球冠形封頭臥式儲罐容積計算公式，并將公式與Excel表結合，得出球冠形封頭臥式儲罐容積換算表，方便現場人員錄入液面高度即可及時掌握各液面下的介質體積，解決了生產計量實際問題。

1 球冠形封頭臥式儲罐容積計算方法

1.1 計算思路

球冠形封頭臥式儲罐的容積由兩部分組成，一部分是圓柱筒體容積，另一部分是兩個封頭容積。不同液位高度下球冠形封頭儲罐的容積可采用積分方法，通過計算求出圓柱面截球體的容積減去球內圓柱筒體部分的容積，再加上儲罐筒體的容積就可以得到儲罐的容積。

1.2 儲罐筒體的容積計算

球冠形封頭臥式儲罐示意圖見圖1，剖面圖見圖2。圖1中綠色部分為h液位下介質的體積。L0為圓柱筒體長度。

圖1 球冠形封頭臥式儲罐示意圖

圖2 儲罐剖面圖

S為液面高度h下的截面積：

圓柱筒體內介質的體積v筒體為：

1.3 球冠形封頭的容積計算

圖3為圓柱面截球體示意圖，綠色部分為球內圓柱筒體部分的容積，黃色和綠色加在一起為圓柱面截球的容積。圖4為圓柱面截球體xz面的剖面圖。

圖3 圓柱面截球體示意圖

假設半徑為r的圓柱筒體中心線水平穿過半徑為R的球的中心。根據給定罐體的半徑r和球缺的厚度e，可以求出球形封頭即球冠的半徑R。球冠形封頭半徑得出：

圖4 圓柱面截球體剖面圖

分別求出封頭容積、球內圓柱筒體部分的容積和圓柱面截球的總容積。2個封頭總容積：

球內圓柱筒體部分的容積：

圓柱面截球體的總容積：

圓柱面截球體的容積積分公式為：

式（7）的積分非常復雜，式子中有虛數，被開方數中有負數，分母中有0。因R和r都是已知數，賦值相對簡單，用matlab、adv calculus等軟件積分求解，得到一個含有arctan和arcsin的關于x的方程。例如半徑r=2的圓柱中心線水平經過半徑R=4的球且穿過球體，那么代入（7）式后積分可得如下方程：

代入上、下限后得：

式（8）中前六項是代入上限的結果，把前六項依次輸入Excel表并求和，得出前六項積分結果，見表1。可以看出：這六項的和在h＜r時，從負到正，從小到大；h＞r時由大變小；液位h=r=2時，六項和為 0。液位間隔相等，數值變化符合罐容中間大兩端小的規(guī)律。

公式（8）的第七項是代入下限的結果，出現了分母為0的情況。經過輸入大量不同的球和圓柱的半徑值進行驗算，結果證明：圓柱面截球體容積積分式（8）的最后一部分積分是個定值。因為h=r時的容積正好是圓柱面截球體總容積的一半，即根據式（6）求出=46.978 916 27輸入Excel表進行計算，代入式（8）下限，得出圓柱面截球體容積的積分換算表，見表2。當h=2r時出現分母為0的情況，表中出現#DIV/0!，將填入即可。

表2 圓柱面截球體容積積分換算表

其中z=h-r。

把式（3）、式（6）代入式（9），得出圓柱面截球體的積分公式為：

其中z=h-r。

1.4 封頭的容積計算

利用式（10）和式（2）得出式（11）：

其中z=h-r。

1.5 儲罐的容積計算

利用式（11）和式（2）可得出儲罐的容積公式：

其中z=h-r。

2 應用實例

型號為SDH1600×8（6.7）-Q245的三相分離器為球冠形封頭臥式儲罐。罐長L=6.266 m（包括封頭的兩個直邊0.025 m），圓柱筒體半徑r=0.8 m，罐封頭的厚度e為0.40 m。求出R=1.00 m。代入式（12）得儲罐液位容積：

建立 Excel計算表，得出任意高度的儲罐液位容積積分換算表，見表3。

表3 儲罐液位容積積分換算表

3 結論

從實際應用出發(fā)，為滿足煉化裝置常用的球冠形封頭臥式儲罐容積計量的需求，采用數學積分原理，推導出球冠形封頭臥式儲罐容積計算公式，并將公式各項輸入 Excel表，即可方便快捷地得出球冠形封頭臥式儲罐容積換算表。在 Excel表輸入不同液位高度，即可準確得到儲罐容積。

在實際應用中，裝車時介質體積采用以上公式計算出的儲罐容積與卸車時流量計量的體積誤差從0.5%縮小到0.1%，計量準確度大大提高。表明推導出的球冠形封頭臥式儲罐容積計算公式，計量結果準確可靠，較好地解決了生產計量實際問題。