對(duì)IMO42-2加強(qiáng)推廣的三個(gè)另證

浙江省杭州市長河高級(jí)中學(xué) (310000) 浙江大學(xué)附屬中學(xué)丁蘭校區(qū) (310021)

夏偉峰 施剛良

文[1]、[2]、[3]作者都對(duì)于下列猜想：

受文[1]、[3]、[4]的啟發(fā)，下面筆者給出第一個(gè)另證：

下面令f(λ)=(4λ+1)(a+b+c)3-9[a3+λa(b+c)2+b3+λb(c+a)2+c3+λc(a+b)2]，則f′(λ)=4(a+b+c)3-9[a(b+c)2+

b(c+a)2+c(a+b)2]=3a(b2+c2)+3b(c2+a2)+3c(a2+b2)+4(a3+b3+c3)-30abc≥3a·2bc+3b·2ca+3c·2ab+4·3abc-30abc=0.于是f(λ)在[2,+∞)上是單調(diào)遞增，而f(2)=9{(a+b+c)3-[a3+2a(b+c)2+b3+2b(c+a)2+c3+2c(a+b)2]}=9[a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)-6abc]≥9(a·2bc+b·2ca+c·2ab-6abc)=0.所以f(λ)≥f(2)=0.到此就證明了(*)，從而猜想成立.

評(píng)注：文[1]作者利用權(quán)方和不等式和柯西不等式將猜想不等式得以放縮，最后用一個(gè)巧妙的因式分解將猜想不等式加以證明，但這個(gè)分解不太容易想到.筆者通過權(quán)方和不等式將證明的任務(wù)落實(shí)到證明不等式(*)成立上，最后通過構(gòu)造關(guān)于λ的一次函數(shù)，利用單調(diào)性解決，思維過程簡單自然.

受文[5]的啟發(fā)，下面筆者給出第二個(gè)另證：

B=a(a2+λ(b+c)2)+b(b2+λ(c+a)2)+c(c2+λ(a+b)2).

越南不等式專家范建熊所說：Jensen不等式(凹凸函數(shù))很少用，是因?yàn)槿藗円恢闭J(rèn)為它對(duì)困難的問題力不從心.然而，這是個(gè)不等式未開墾的領(lǐng)域，Jensen不等式(凹凸函數(shù))會(huì)變得非常有效，能夠經(jīng)常給我們帶來意想不到的解決方案.

當(dāng)λ≥2時(shí)，(4λ-8)∑a3≥(4λ-8)(∑a(b2+c2)-3abc)，所以(4λ-8)∑a3+(3λ+3)∑a(b2+c2)+(6-30λ)abc≥(4λ-8)(∑a(b2+c2)-3abc)+(3λ+3)∑a(b2+c2)+(6-30λ)abc=(7λ-5)∑a(b2+c2)+(30-42λ)abc≥(7λ-5)·6abc+(30-42λ)abc=0.

評(píng)注：文[3]作者通過兩次柯西不等式將猜想不等式加以放縮，證明過程略顯繁瑣.本文通過函數(shù)的凹凸性將不等式放縮，落實(shí)到證明不等式(**).(**)的證明過程用到常用不等式∑a3+3abc≥∑a(b2+c2).從上面的證明中我們還發(fā)現(xiàn)，猜想不等式為什么要加λ≥2這個(gè)條件，不然這個(gè)不等式不一定成立，由此可以得到要使不等式成立，λ≥2是最優(yōu)條件.

著名數(shù)學(xué)家波利亞說過：沒有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做；在經(jīng)過充分的研究和觀察以后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)；而且無論如何，我們總可以深化我們對(duì)答案的理解.筆者提出如下猜想：

若a,b,c∈R+，是否存在正數(shù)λ,k，使得

受文[4]、[5]的啟發(fā)，筆者通過構(gòu)造一組不等式和利用待定系數(shù)法，開始如下探究過程.

下面構(gòu)造下列不等式組：

其中參數(shù)t待定.

所以，0<λ≤2時(shí)，k≤1，得到