例談圖像法求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法探析*

福建省南平市高級(jí)中學(xué) (353000) 應(yīng)麗珍福建省南平市第一中學(xué) (353000)

江智如 張文玫

1.問(wèn)題呈現(xiàn)

2018年福建泉州5月質(zhì)檢理科數(shù)學(xué)卷中有一道關(guān)于方程實(shí)數(shù)解的試題引起筆者的注意：

A．4個(gè)B．7個(gè)C．10個(gè)D．12個(gè)

本題以函數(shù)零點(diǎn)與方程根為知識(shí)載體，考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題．以初等函數(shù)的圖像為依托，考查考生數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)形結(jié)合思想、空間想象能力和運(yùn)算求解能力．在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)這一類零點(diǎn)問(wèn)題，高中學(xué)生學(xué)習(xí)的情況不甚理想，失分率頗高．因此，探究有效的解題之策成為零點(diǎn)教學(xué)的當(dāng)務(wù)之急．由于形數(shù)本是同根生，所以借助圖像法能有效地解決這類問(wèn)題．為此，本文從培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的角度出發(fā)，探析利用圖像法來(lái)求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的有效方法．

2.方法探析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：“結(jié)合學(xué)過(guò)的函數(shù)圖像，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系”[1]，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)圖像和代數(shù)運(yùn)算的方法研究基本初等函數(shù)的性質(zhì)”[1]．基于此思想，筆者引導(dǎo)學(xué)生從已知條件入手，理解題設(shè)信息，通過(guò)“尋找根源，分離參數(shù)，運(yùn)算求解，函數(shù)變換，化歸解決”五個(gè)步驟探究解題方法，提高學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀、邏輯推理、運(yùn)算求解、空間想象的數(shù)學(xué)能力，幫助學(xué)生順利解決零點(diǎn)問(wèn)題．

①尋找根源：通過(guò)題設(shè)條件，尋找相關(guān)函數(shù)模型，根據(jù)已學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題；

②分離參數(shù)：分離參數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)相交問(wèn)題，減少?gòu)?fù)雜程度；

③運(yùn)算求解：通過(guò)運(yùn)算，求解函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、值域等性質(zhì)，確定函數(shù)的范圍；

④函數(shù)變換：利用函數(shù)變換，如：平移、旋轉(zhuǎn)、反射等，確定函數(shù)的形狀與位置；

⑤化歸解決：根據(jù)已有信息，畫(huà)出所求函數(shù)的圖像，利用化歸與轉(zhuǎn)化的思想，解決相關(guān)零點(diǎn)問(wèn)題．

以下筆者通過(guò)問(wèn)題1，具體展示五個(gè)步驟解題的思路與方法：

①本小題中的相關(guān)函數(shù)模型為一元二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)；

③通過(guò)運(yùn)算，可知g(x)非奇非偶函數(shù)，在

(-∞,-2),(-1,0)上單調(diào)遞減，在(-2,-1),(0,+∞)上單調(diào)遞增，值域?yàn)閇-1,+∞)；

④利用g(x)圖像的平移，確立函數(shù)f(x)的形狀與位置；

⑤根據(jù)參數(shù)a的取值變化，得到f(x)的圖像如圖1所示．

因?yàn)閒[f(x)]=0，所以令t=f(x)，則f(t)=0，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=t與y=f(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．由于本題所求為最多實(shí)數(shù)解，故當(dāng)a<-4時(shí)，如圖2所示，函數(shù)y=t與y=f(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為12個(gè)．因此選D.

圖1 圖2

在具體的應(yīng)用過(guò)程中，以上過(guò)程可歸納為“化簡(jiǎn)—消參—變換—作圖”，把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域與相交問(wèn)題[2]，從而借助圖像直觀快速地解決，體現(xiàn)“言簡(jiǎn)意賅，登高望遠(yuǎn)，意味深長(zhǎng)”[4]的處理方式．

3.高考鏈接

在日常的學(xué)習(xí)過(guò)程中，考生應(yīng)結(jié)合初等函數(shù)的圖像，“了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系”[3]，判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在與個(gè)數(shù)．縱觀近幾年全國(guó)高考課標(biāo)卷，以函數(shù)零點(diǎn)知識(shí)為載體的試題，出現(xiàn)的頻率頗高，而利用圖像法能快速有效地求解，很好地考查了考生函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合和空間想象的思想與能力，同時(shí)也體現(xiàn)試卷的區(qū)分與選拔功能．

A．[-1,0)B．[0,+∞)

C．[-1,+∞)D．[1,+∞)

圖3

評(píng)價(jià):本題依托函數(shù)的零點(diǎn)知識(shí)，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化的思想，邏輯推理和運(yùn)算求解能力．題設(shè)給出由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)組成的復(fù)雜的分段函數(shù)．需要考生運(yùn)用化歸和數(shù)形結(jié)合的思想，利用分離參數(shù)法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查了考生對(duì)有關(guān)初等函數(shù)基本知識(shí)的掌握程度，又考查了考生綜合應(yīng)用基本方法解決問(wèn)題的能力．難度適中，對(duì)增強(qiáng)考生的信心能起到積極的作用．

圖4

分析:由y=Acos(ωx+φ)的圖像，可以作出f(x)的圖像，如圖4所示，得到f(x)在[0,π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．

評(píng)價(jià):本題依托三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)知識(shí)，考查考生空間想象和運(yùn)算求解能力．考生只需運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，利用余弦函數(shù)的圖像，便可順利、準(zhǔn)確地完成求解．

4.例題解惑

例3 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(-x)=0，且f(x)=

A．(-2,-1)B．(-1,1)

C．(1,2)D．(2,3)

分析:問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(x)=t有5個(gè)不同的零點(diǎn)．如圖5所示，可作出f(x)的圖像，由圖像的對(duì)稱性，可得x1+x2=-6,x4+x5=6，所以x1+x2+x3+x4+x5=x3∈(-1,1)，故選B．

圖5

評(píng)價(jià):本題依托對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的知識(shí)，考查考生化歸與轉(zhuǎn)化的思想，運(yùn)算求解能力．考查考生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，提升考生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

例4 偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)的圖像如圖6所示，若關(guān)于x的方程f[g(x)]=1,g[f(x)]=2的實(shí)根個(gè)數(shù)分別為m,n，則m+n=( ).

A．16B．14C．12D．10

圖6

分析:令t=g(x)，則f(t)=1，由f(x)的圖像可知，t=±1，再由g(x)的圖像知t=g(x)有6個(gè)解，即m=6；同理，可設(shè)u=f(x)，則g(u)=2，由g(x)的圖像知，u1=1,u2∈(-1,0)，再由f(x)的圖像知u=f(x)有4個(gè)解，即n=4，所以m+n=10，故選D．

評(píng)價(jià):本題依托抽象函數(shù)的奇偶性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的知識(shí)，考查考生數(shù)形結(jié)合思想、空間想象與邏輯推理能力．考生利用換元法，結(jié)合函數(shù)圖像可順利求解，促進(jìn)考生直觀想象素養(yǎng)的提升．

5.教學(xué)建議

利用圖像探究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的過(guò)程中，教師在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候?qū)^(guò)程方法實(shí)時(shí)總結(jié)或遷移，由形到數(shù)，再以數(shù)釋形，數(shù)形結(jié)合始終貫穿其中并逐層遞進(jìn)，幫助學(xué)生在交流和反思中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的指導(dǎo)作用．求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵：(1)會(huì)轉(zhuǎn)化，先把函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題；(2)會(huì)借形解題，即作出兩函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合可快速找到參數(shù)所滿足的不等式，解不等式即可求出參數(shù)的取值范圍．在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握初等函數(shù)的圖像性質(zhì)，使學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)閱讀能準(zhǔn)確理解所述問(wèn)題的含義，把圖像的直觀與嚴(yán)密的運(yùn)算巧妙結(jié)合，把函數(shù)思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想蘊(yùn)涵在解決問(wèn)題的過(guò)程中[3]，從而實(shí)現(xiàn)“培養(yǎng)學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想，提升空間想象能力，促進(jìn)學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的形成與提高”的教學(xué)目的．