多元函數(shù)取值范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求解失誤

廣東省深圳市鹽田高級(jí)中學(xué) (518083)

羅 誠(chéng)

在解答多元函數(shù)取值范圍問(wèn)題時(shí)，由于涉及多個(gè)變?cè)诮忸}過(guò)程中，相對(duì)于單變量函數(shù)取值范圍問(wèn)題，更容易出現(xiàn)這樣或者那樣的失誤.有感于此，本文擬將解決這類問(wèn)題時(shí)的常見(jiàn)失誤進(jìn)行梳理歸類，以供教學(xué)參考.

一、疏漏顯性題設(shè)

對(duì)于多元函數(shù)取值范圍問(wèn)題，關(guān)聯(lián)多個(gè)變量，常常題設(shè)較多.在求解過(guò)程中，容易出現(xiàn)顧此失彼的情況，以至于疏漏顯性題設(shè)導(dǎo)致解題失誤.

圖1

+∞).

圖2

二、忽視等號(hào)成立

等號(hào)能否成立，關(guān)乎到多元函數(shù)取值范圍的上下確界.在解題過(guò)程中，倘若不慎，就有可能出現(xiàn)等號(hào)不成立的情況，從而由此出現(xiàn)解題失誤.

例3 若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy，求3x+4y的取值范圍.

三、變更變?cè)秶?/h2>

求解多元函數(shù)取值范圍問(wèn)題，在變形的過(guò)程中，出現(xiàn)不等價(jià)變形，引起變更變?cè)秶氖д`是司空見(jiàn)慣的.

例5 已知實(shí)數(shù)x,y滿足3x2+2y2=6x,求u=x2+3y2的取值范圍.

剖析:上述解法，變形過(guò)程擴(kuò)大了變?cè)獂,y的取值范圍，正確解法如下：

四、描繪圖像失真

限于直觀的局限，難免在描繪圖像時(shí)，使描繪出的圖像產(chǎn)生失真，并由此形成解題失誤.

例7 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(0，1)，(4，2)，(2，6)．如果P(x，y)是△ABC圍成的區(qū)域(含邊界)上的點(diǎn)，那么當(dāng)u=xy取到最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是．

圖3

誤解:畫(huà)出圖形，如圖3，聯(lián)想到線性規(guī)劃問(wèn)題解法，由圖形直觀可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C(2,6)重合時(shí)，w=xy的最大值為12.

辨析:上述解法似乎無(wú)誤，但這種解法是由于描繪圖像失真的誤解.

請(qǐng)看以下的定量分析：

由題意可得線段BC的方程為y=-2x+10(2≤x≤4)，代入u=xy可得u=x(-2x+10)=

圖4

辨析:上面給出的是一種典型的圖像失真導(dǎo)致的誤解.

圖5