基于二次函數(shù)的線段有關(guān)定值問題例析

熊猛

摘要：本文通過幾類線段有關(guān)定值問題，分析該類問題的求解策略.這類問題的解答策略有：①通過求解直線與直線、直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，表示線段的長(zhǎng);②根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，構(gòu)造相似，列出比例，表示線段之間的關(guān)系.這類問題是典型的數(shù)形結(jié)合問題，通過幾何問題代數(shù)化，使數(shù)學(xué)問題直觀化、使繁難的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)捷化.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù);線段;定值;數(shù)形結(jié)合

初中二次函數(shù)的線段綜合題中，線段有關(guān)定值問題綜合性強(qiáng)，方法靈活，對(duì)運(yùn)算能力及數(shù)學(xué)推理能力和意識(shí)要求較高，在解決這類問題時(shí)，要善于挖掘各量之間的關(guān)系，在變中取定，充分體會(huì)數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.下面通過幾例來說明.

1 線段長(zhǎng)為定值

例1如圖1，已知拋物線y=_x²+mx+m-2的頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過點(diǎn)B（3，-3）.

（1）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo);

（2）如圖2，將原拋物線沿射線OA方向進(jìn)行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C，D兩點(diǎn)，請(qǐng)問：在拋物線平移的過程中，線段CD的長(zhǎng)度是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值;若不是，請(qǐng)說明理由.

說明 本題通過相似分別表示出OM、ON的長(zhǎng)，再通過直線相關(guān)知識(shí)得出相關(guān)數(shù)值，從而使問題求解.本解法相比例1，更能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，通過直線解析式及直線上的點(diǎn)使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、使繁難的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)捷化，

說明 本題解題的關(guān)鍵是靈活利用角平分線的性質(zhì)及用參數(shù)表示二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用相似或解直角三角形解決問題，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合.4線段倒數(shù)和

說明 本題考查了拋物線的對(duì)稱軸以及拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，作輔助線構(gòu)造相似三角形以及等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

5 線段長(zhǎng)度的綜合運(yùn)算

例5 如圖9，拋物線Cl：y= ax²+bx+1（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，0）且經(jīng)過點(diǎn)（0，1），將拋物線C1向右平移1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到拋物線C2，直線y=x+c，經(jīng)過點(diǎn)D交），軸于點(diǎn)A，交拋物線C2于點(diǎn)B，拋物線C：的頂點(diǎn)為P.

（1）求拋物線C，的解析式;

（2）如圖10，連結(jié)AP，過點(diǎn)B作BC⊥AP交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，試證明：FC（AC +EC）為定值.

說明 本題利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，通過構(gòu)造相似，列出比例，表示出所求線段的長(zhǎng)度.

例6 如圖11，直線y= -x +3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，拋物線y=a（x-l）²+五經(jīng)過點(diǎn)B、C，并與x軸交于另一點(diǎn)A

（1）求此拋物線及直線AC的函數(shù)表達(dá)式;

（2）經(jīng)過點(diǎn)D（O，1）的直線m與射線AC、射線OB分別交于點(diǎn)M、N.當(dāng)直線m繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，√10/AM+2/AN是否為定值，若是，求出這個(gè)值，若不是，說明理由.