高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)

蔡述鈴

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為根本任務(wù)。在學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，有利于促進(jìn)學(xué)生知識與能力的形成，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，提高學(xué)生創(chuàng)新綜合能力。

[關(guān)鍵詞]? 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);直觀想象

新課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出高中數(shù)學(xué)的六個(gè)核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)分析以及直觀想象。分析近幾年高考數(shù)學(xué)試題發(fā)現(xiàn)，試題在考察學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能與方法的時(shí)候滲透了核心素養(yǎng)的考察，特別是直觀想象核心素養(yǎng)的試題多處可見，借助幾何直觀想象感知事物變化，利用學(xué)生對圖形的理解，解決數(shù)學(xué)問題。

一、高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的優(yōu)勢

高中數(shù)學(xué)題型眾多，學(xué)生的認(rèn)識面比較窄，知識儲備有限，對空間幾何體等知識缺乏系統(tǒng)了解與理性認(rèn)識，考試中無法完全運(yùn)用知識，在基礎(chǔ)概念和基本圖形等方面掌握能力也比較弱，無法在做題時(shí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的能力，沒有養(yǎng)成直觀想象思考問題的習(xí)慣。

然而培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，可以達(dá)到事半功倍的效果，其優(yōu)勢如下：①培養(yǎng)直觀想象能力，建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，提高運(yùn)用圖形的能力，加深高中生對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解，在最短時(shí)間內(nèi)找到問題解決的方法。②通過直觀想象能力，學(xué)生借助特殊模型進(jìn)行空間想象，進(jìn)一步培養(yǎng)空間思維能力，特別是立體幾何教學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生們使用多面體、旋轉(zhuǎn)體、球體等幾何模型動(dòng)手實(shí)踐，老師輔助用多媒體軟件如幾何畫板、立幾畫板，給學(xué)生多角度更直觀的幾何形象，促進(jìn)學(xué)生空間思維能力與直觀想象素養(yǎng);③培養(yǎng)直觀想象能力有利于學(xué)生理解圖像特點(diǎn)，直觀洞察題目，提高數(shù)與形的結(jié)合能力，函數(shù)學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，函數(shù)圖像幾何特征可以反映出函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生能夠得到特定情境的圖像信息，隨后與自己的知識體系建立聯(lián)系，尋找解決問題的方式[1]。

二、高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀想象能力培養(yǎng)的策略

（一）強(qiáng)化概念教學(xué)，夯實(shí)基礎(chǔ)知識

高考數(shù)學(xué)試題一方面加強(qiáng)對基本概念、基本思想方法和關(guān)鍵能力的考查，引導(dǎo)高中教學(xué)遵循教育規(guī)律、回歸課堂;另一方面加大了基礎(chǔ)題目的比例以及基礎(chǔ)題型的考查，合理調(diào)控整體難度，并根據(jù)考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合要求，調(diào)整文理科同題比例。利用數(shù)學(xué)相關(guān)理論概念，會用定義的方式，使用系列推理得到概念的本質(zhì)屬性，然后使用直觀想象能力，利用概念的性質(zhì)解決問題。例如教師在進(jìn)行“簡單幾何體”教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，學(xué)生們在閱讀教材內(nèi)容后，針對棱柱的定義，可能會有這樣的疑問：兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是否為棱柱？判斷一個(gè)幾何體是否是棱柱，關(guān)鍵是緊扣棱柱的3個(gè)本質(zhì)特征：①有兩個(gè)面互相平行;②其余各面都是四邊形;③每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這3個(gè)特征缺一不可。經(jīng)分析，如圖1所示，此幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形，很明顯這個(gè)幾何體不是棱柱，因此說有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱。

教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中讓學(xué)生帶著教師預(yù)設(shè)的問題進(jìn)入學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生正確理解概念問題，利用直觀的圖像或?qū)嵨镞M(jìn)行教學(xué)，輔助以立幾畫板等信息技術(shù)手段，最終學(xué)生輕松掌握幾何體的基本概念與結(jié)構(gòu)特征，對圖形的認(rèn)知程度有了提高。

（二）感受圖形位置的變化，培養(yǎng)學(xué)生看圖、畫圖、識圖的能力

無論是平面幾何還是立體幾何，形象直觀的圖形都是數(shù)學(xué)中重點(diǎn)研究的對象。圖形是幾何題型思維展開的依據(jù)，教師在講解幾何知識的時(shí)候，會在直線、曲線、角、距離以及平面等幾何元素中進(jìn)行直觀演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的特點(diǎn)和變化，提示學(xué)生在每一次變化中需要注意什么，通過觀察發(fā)現(xiàn)了什么，引導(dǎo)學(xué)生得到幾何直觀想象的感性認(rèn)識。向量是溝通代數(shù)、幾何以及三角函數(shù)的一種工具，貫穿于高中數(shù)學(xué)教材體系不同內(nèi)容與問題中，向量有著豐富的幾何背景與幾何意義，學(xué)生在利用向量解決問題的過程中，就能養(yǎng)成主動(dòng)想圖和作圖的習(xí)慣，用圖思考問題，找出解題思路，使解題方式更加簡潔。例如設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)[BC=3CD]，則（? ）

基本圖形教學(xué)與直觀想象能力的培養(yǎng)，平面幾何教學(xué)中經(jīng)常圍繞著基本圖形，這些基本圖形有的很簡單，指導(dǎo)學(xué)生在遇到復(fù)雜平面圖形的時(shí)候，可以將復(fù)雜平面圖形分解為幾個(gè)相似的基本圖形或還原回原有的基本圖形，通過對基本圖形的思考與研究，以找出解決問題的途徑。例如2015高考理綜全國I卷的第16道填空題：在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是（? ）

本道題考察的是正余弦定理與數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生可以根據(jù)直觀想象能力畫出，如圖2所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時(shí)，AB最長。已知在△BCE中，∠B=∠C=75°，根據(jù)正余弦定理[BCsin∠E][=BEsin∠C，][即2sin30°=BEsin75°，解出BE=6+2]，平移AD以后，D與C重合AB最短。AB與F相交，∠FCB=30°。由正弦定理得知[BF=6-2]，因此AB取值范圍為（[6-2]，[6+2]）

這種問題看似比較簡單，但是很多基礎(chǔ)知識掌握不扎實(shí)的學(xué)生在解題時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)紕漏，甚至不知從何下手，因此教學(xué)中加強(qiáng)對直觀想象能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生養(yǎng)成看圖、畫圖、識圖、用圖的能力，有助于提升學(xué)生分析解決問題的能力。

（三）教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生觀察思考探索與交流

在高考試卷中，每道題中會涵蓋多個(gè)知識點(diǎn)，每個(gè)知識點(diǎn)所代表的分值不同，如果對其中一個(gè)知識點(diǎn)掌握不足，很容易導(dǎo)致整道題無法完成。很多學(xué)生在面對立幾、解幾的綜合性題目時(shí)候，缺少處理能力，往往已經(jīng)明確相關(guān)概念、性質(zhì)、掌握基礎(chǔ)圖形與變化，卻依舊無從下手，可見學(xué)習(xí)對知識的整合與融會貫通有欠缺，教師在課堂中要怎么幫助學(xué)習(xí)培養(yǎng)直觀想象能力。

“授之以魚不如授之以漁”，“更要授之以漁場”，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)可以進(jìn)行獨(dú)立思考，又能合作交流，多種思想溝通、交鋒的學(xué)習(xí)環(huán)境，例如2018泉州單科質(zhì)檢理科20題：在四棱錐[P-ABCD]中，平面[PAD]⊥平面[ABCD]，[BC=CD=12AB]，[AP=PD]，[∠APD=∠ABC=∠BCD=90?]°.

（Ⅰ）求證：[AP]⊥平面[PBD];

（Ⅱ）求平面[PAD]與平面[PBC]所成角的余弦值.

該題主要考查直線與平面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，二面角余弦值的求解等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力等。學(xué)生在第二步解題的過程中就存在多種解法，圖像感強(qiáng)的學(xué)生可能直接做出二面角的平面角，構(gòu)造出三角形進(jìn)行求解，而習(xí)慣利用空間直角坐標(biāo)系求解的同學(xué)，就會運(yùn)用向量的方法來求解。這樣，就可能產(chǎn)生兩種不同的建系方式，如圖3、圖4。

所以課堂里教師要給學(xué)生留足主動(dòng)參與的時(shí)間與空間，讓學(xué)生通過觀察、思考、探索、表達(dá)、交流等課堂活動(dòng)，提高思維品質(zhì)拓展數(shù)學(xué)視野，教師運(yùn)用信息技術(shù)手段，將問題的情境利用視頻、動(dòng)畫、圖像等可視化素材“再現(xiàn)”學(xué)生的思想方法，讓學(xué)生既能是運(yùn)動(dòng)員又能是裁判員，從而整合提煉形成自己個(gè)人的解題經(jīng)驗(yàn)，個(gè)性的思維品質(zhì)。

總而言之，培育高中生的直觀想象能力就是培育學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力，讓學(xué)生們學(xué)會觀察生活，使用適當(dāng)?shù)姆绞椒椒?，借助圖像或特殊模型，提高圖形運(yùn)用能力，培育空間想象思考能力，簡化數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)思維的創(chuàng)新。通過對定義教學(xué)、平面幾何題、立體幾何題的研究與分析，加強(qiáng)各種數(shù)學(xué)題與直觀想象的聯(lián)系，提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績，營造良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]米旺超.高中生數(shù)學(xué)形象思維能力的現(xiàn)狀與培養(yǎng)策略研究[D].山東師范大學(xué)，2018.

[2]郭立祥.基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下直觀想象能力的培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2017（20）.

（責(zé)任編輯：張華偉）