焦點之弦，靈巧善變

☉山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué) 黃 娜

拋物線的焦點弦問題一直是高考中的熱點問題之一，常考常新，變化多端.解決此類問題，往往要熟練掌握拋物線的定義、方程、幾何性質(zhì)等內(nèi)容，并結(jié)合其他相關(guān)的知識點加以綜合與交匯，有時還要熟記一些焦點弦的常見的結(jié)論或公式，以便快速有效地解題，提升解題效率，優(yōu)化解題過程.

一、問題呈現(xiàn)

【問題】（2019屆高三煙臺市一?！?1）已知以點F為焦點的拋物線C：y2=4x上的兩點A、B，滿足≤ λ≤3），則弦AB的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離的最大值是（ ）.

二、多解剖析

分析1：根據(jù)拋物線的方程確定相應(yīng)的焦點與準(zhǔn)線方程，結(jié)合平面向量的線性關(guān)系確定對應(yīng)線段的關(guān)系，利用拋物線的定義建立A、B兩點的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，求出對應(yīng)橫坐標(biāo)的表達(dá)式，借助拋物線的定義確定弦AB的長度關(guān)系式，結(jié)合雙勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定最大值，進(jìn)而求解弦AB的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離的最大值問題.

解法1：由拋物線C：y2=4x，可得p=2，則其焦點坐標(biāo)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由，可得，

故選擇答案：B.

分析2：根據(jù)拋物線的方程確定相應(yīng)的焦點與準(zhǔn)線方程，設(shè)出相應(yīng)點的坐標(biāo)以及直線AB的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，確定y1+y2與y1y2的關(guān)系式，結(jié)合平面向量的線性關(guān)系確定y1=-λy2，結(jié)合代數(shù)式的巧妙轉(zhuǎn)化并借助雙勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定m2的取值范圍，進(jìn)而通過拋物線的定義來確定弦AB的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離的關(guān)系式，進(jìn)而結(jié)合m2的取值范圍來確定弦AB的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離的取值范圍，最終得以確定最大值問題.

解法2：由拋物線C：y2=4x，可得p=2，則其焦點坐標(biāo)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中點M（x0，y0），

設(shè)直線AB的方程為x=my+1，與拋物線C：y2=4x聯(lián)立，可得y2-4my-4=0，

則有y1+y2=4m，y1y2=-4.

結(jié)合拋物線的定義知弦AB的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為

故選擇答案：B.

分析3：根據(jù)拋物線的方程確定參數(shù)p的值，設(shè)出直線AB的傾斜角為θ，結(jié)合拋物線的極徑公式可得|AF|與|BF|的三角關(guān)系式，結(jié)合條件中平面向量的線性關(guān)系的轉(zhuǎn)化以及參數(shù)λ的取值范圍來確定cosθ的取值范圍，利用拋物線的焦點弦的長度公式確定|AB|的取值范圍，最后再來確定弦AB的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離的最大值問題.

解法3：由拋物線C：y2=4x，可得p=2，

故選擇答案：B.

三、變式拓展

探究1：保持題目條件不變，改變原來的“弦AB的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離的最大值”為“弦AB的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離的取值范圍”，使得問題更為全面，難度相當(dāng).

【變式1】已知以點F為焦點的拋物線=4x上的兩點A，B，滿足≤ λ≤3），則弦AB的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離的取值范圍是______.

解析：結(jié)合以上問題的解法2可知弦AB的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離d∈

探究2：保持題目條件不變，改變原來的參數(shù)為常數(shù)，會有不錯的結(jié)論，難度相當(dāng).

【變式2】已知以點F為焦點的拋物線C：y2=4x上的兩點A，B，滿足（λ＞0），則弦AB的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離是______.

解析：結(jié)合以上問題的解法1可知|

由此可得兩個基本的結(jié)論：

【結(jié)論1】已知以F為焦點的拋物線C：y2=2px（p＞0）上的兩點A、B，滿足（λ＞0），則弦AB的長度是

【結(jié)論2】已知以點F為焦點的拋物線C：y2=2px（p＞0）上的兩點A，B，滿足（λ＞0），則弦AB的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離是

探究3：保持題目條件不變，改變原來的“弦AB的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離的最大值”為“弦AB所在直線的傾斜角的取值范圍”，轉(zhuǎn)變求解角度，難度相當(dāng).

【變式3】已知以F為焦點的拋物線C：y2=4x上的兩點A，B，滿足≤ λ≤3），則弦AB所在直線的傾斜角的取值范圍是______.

解析：結(jié)合以上問題的解法3可知

四、總結(jié)反思

其實，在平時學(xué)習(xí)與解題過程中，若涉及拋物線問題，要有意識地熟練掌握一些與之相關(guān)的技巧方法以及基本性質(zhì)，特別是拋物線的焦點弦的性質(zhì)，這樣既有利于深入理解與掌握拋物線的定義、方程與幾何性質(zhì)，又能達(dá)到對相關(guān)知識的拓展與深化的目的.在破解問題時，熟練地掌握與應(yīng)用常見的技巧方法與基本性質(zhì)，可以減少解題時間，簡化解題步驟，優(yōu)化解題過程，弱化解題誤區(qū)，進(jìn)而全面提高數(shù)學(xué)效益，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)，提升思維品質(zhì)等.W