復(fù)習(xí)與“試”俱進(jìn) 探究與素養(yǎng)齊飛
——以圓錐曲線內(nèi)接直角三角形斜邊過(guò)定點(diǎn)為例

☉江蘇省常熟中學(xué) 陶 冶

近年各地的高考數(shù)學(xué)試題的亮點(diǎn)非常多，如何把高考題整合到教學(xué)當(dāng)中，更好地發(fā)揮高考題的作用呢？本文選擇2017年全國(guó)卷Ⅰ文科20題和全國(guó)卷Ⅲ理科20題作了一些思考，研磨并設(shè)計(jì)了微專題，為高三復(fù)習(xí)提供一些參考.

題目1（2017年全國(guó)卷Ⅰ文科20題）設(shè)A，B為曲線上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.

（1）求直線AB的斜率；

（2）設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程.

題目2（2017年全國(guó)卷Ⅲ理科20題）已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.

（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；

（2）設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P（4，-2），求直線l與圓M的方程.

圖1

一、兩道題的共性

卷Ⅰ的第20題，可求出拋物線內(nèi)接直角三角形的直角頂點(diǎn)坐標(biāo)，再探求斜邊的直線方程.卷Ⅲ的第20題，已知拋物線的動(dòng)弦過(guò)定點(diǎn)（2，0），求證∠AOB=90°.兩題都是拋物線內(nèi)接直角三角形的問(wèn)題.如果把它們推廣為一般的拋物線，可得互為充要條件的逆命題.

命題1：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線y2=2px上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠AOB=90°的充要條件是動(dòng)弦AB所在的直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（2p，0）.

渠道營(yíng)銷的有效構(gòu)建，對(duì)公司的發(fā)展壯大有著積極的影響作用。作為中小型紡織企業(yè)的代表，南通鵬越紡織有限公司的渠道營(yíng)銷主要有電話營(yíng)銷、網(wǎng)店?duì)I銷、常設(shè)聯(lián)絡(luò)點(diǎn)營(yíng)銷和積極的對(duì)外溝通交流營(yíng)銷等渠道。電話營(yíng)銷是南通鵬越紡織有限公司與客戶直接溝通的方式，直接在電話中確定訂單數(shù)和接單生產(chǎn)，這種訂單生產(chǎn)模式是傳統(tǒng)的營(yíng)銷模式，建立在一定的誠(chéng)信和保障基礎(chǔ)上。網(wǎng)店?duì)I銷，是南通鵬越紡織有限公司緊跟網(wǎng)絡(luò)發(fā)展和時(shí)代要求，而設(shè)置的網(wǎng)上店鋪，主要將自己的主打產(chǎn)品，面向全國(guó)供選擇，在網(wǎng)絡(luò)上直接與客戶溝通交流、訂單接單、生產(chǎn)供貨等。

二、命題的推廣

命題1的推廣

命題2-1：設(shè)P（x0，y0）是拋物線y2=2px上的一點(diǎn)，A（x1，y1），B（x2，y2）是該拋物線上異于P的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠APB=90°的充要條件是動(dòng)弦AB所在的直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（x0+2p，-y0）.

命題2-2：設(shè)P（x0，y0）是拋物線x2=2py上的一點(diǎn)，A（x1，y1），B（x2，y2）是該拋物線上異于P的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠APB=90°的充要條件是動(dòng)弦AB所在的直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（-x0，y0+2p）.

命題2-3：設(shè)P（x0，y0）是拋物線y2=ax（a≠0）上的一點(diǎn)，A（x1，y1），B（x2，y2）是該拋物線上異于P的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠APB=90°的充要條件是動(dòng)弦AB所在的直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（x0+a，-y0）.

命題2-4：設(shè)P（x0，y0）是拋物線x2=ay（a≠0）上的一點(diǎn)，A（x1，y1），B（x2，y2）是該拋物線上異于P的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠APB=90°的充要條件是動(dòng)弦AB所在的直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（-x0，y0+a）.

命題2系列在橢圓中的推廣

命題3：設(shè)P（x0，y0）是橢圓上的一點(diǎn)，A（x1，y1），B（x2，y2）是該橢圓上異于P的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠APB=90°的充要條件是動(dòng)弦AB所在的直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)）.

圖2

分析：怎樣發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)？通過(guò)兩個(gè)特殊位置找交點(diǎn).當(dāng)A（-x0，y0），B（x0，-y0），AB所在直線方程為y=.當(dāng)AP的斜率為1，BP的斜率為-1時(shí)，有k·k=ABOP

設(shè)直線AP的直線方程為y-y0=k（x-x0），代入1中，得（a2k2+b2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a［2（y0-kb2］=0，

所以kAG=kBG，且直線AG與BG又有公共點(diǎn)G，所以AB過(guò)定點(diǎn)G.

當(dāng)直線AP的斜率不存在或者為零時(shí)，結(jié)論成立.

命題3的特例：當(dāng)橢圓變?yōu)閳A時(shí)，a=b，橢圓的中心也就變?yōu)閳A心，動(dòng)弦AB則變?yōu)閳A的直徑，動(dòng)弦AB過(guò)定點(diǎn)圓心O（0，0），所對(duì)的圓周角∠APB=90°.結(jié)論依然成立.

如何上好復(fù)習(xí)課，使得高考復(fù)習(xí)更加聚焦核心素養(yǎng)，更好體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和理性精神？研究高考題，設(shè)計(jì)微專題，讓學(xué)生在一個(gè)由淺入深、由此及彼的系列探究中獲得能力的提升和精神的培育是一個(gè)行之有效的路徑.例如在拋物線動(dòng)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的系列探究中，讓學(xué)生經(jīng)歷一系列既熟悉又新奇的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程，既滿足了學(xué)生的好奇心，又在推理的過(guò)程中提高了學(xué)生的抽象概括、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力.

在系列問(wèn)題的探究中，讓學(xué)生真正感受到怎樣發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，怎樣思考問(wèn)題，怎樣表述問(wèn)題，怎樣解決問(wèn)題.當(dāng)學(xué)生沉浸在數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究過(guò)程中，邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)就在不知不覺(jué)中得到提高，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的意識(shí)也因此得到加強(qiáng).

如果學(xué)生的探究興趣依舊很高昂，不妨鼓勵(lì)他們?cè)陔p曲線中作類似的探索，也許他們能夠找到更多有趣的結(jié)論.

在項(xiàng)鏈模式的微專題的探究中，讓學(xué)生經(jīng)歷每一個(gè)微專題的系列探究，不僅可以鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是在尋找思路、實(shí)踐操作、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和反思總結(jié)的探索過(guò)程中，經(jīng)受住字母運(yùn)算的煩瑣考驗(yàn)，捕捉到問(wèn)題變化中的本質(zhì)特征，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)推理的快樂(lè)，這些能給學(xué)生的心理和情感帶來(lái)積極的能量，形成良好的內(nèi)心經(jīng)驗(yàn).在與同伴、老師的交流中，獲得認(rèn)可，提高自信，提升素養(yǎng).真正做到用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維研究世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.

研究高考題，打造微專題，可以達(dá)到復(fù)習(xí)與“試”俱進(jìn)，探究與素養(yǎng)齊飛的效果.W