創(chuàng)設(shè)問題情境 引導(dǎo)學(xué)生探究
——處理多面體外接球問題的常用方法和技巧

廣東

球是立體幾何的重要內(nèi)容.多面體的外接球問題是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的重要載體.因此，在近幾年的高考、自主招生和數(shù)學(xué)競賽中，頻頻出現(xiàn)了與多面體相關(guān)的外接球的問題.這類問題由于不易畫圖而變得抽象難解，解決問題的關(guān)鍵在于確定球心的位置.本文從課堂教學(xué)出發(fā),立足基礎(chǔ)知識和基本技能,談?wù)勥@類問題的處理方法和技巧.

一、基本知識

定義：空間中，若一個定點到一個幾何體的各頂點的距離都相等，則這個定點就是該幾何體的外接球的球心.

性質(zhì)：球心與截面圓圓心的連線垂直于截面圓.

根據(jù)上述的定義與性質(zhì)，可以確定簡單多面體外接球的球心的位置有如下結(jié)論:

1.長方體的外接球的球心是該長方體的體對角線的中點,半徑為體對角線長的一半.

2.直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的三棱柱)的外接球的球心是該直三棱柱上下底面三角形外心的連線的中點,半徑可在以球心、底面圓心和底面三角形的一個頂點為頂點組成的直角三角形中求解.

3.正棱錐的外接球球心在該正棱錐的高上，半徑可在以球心、底面中心和底面正多邊形的一個頂點為頂點組成的直角三角形中求解.

4.若棱錐的頂點可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心.

5.過幾何體其中兩個面(外心較易找到)的外心分別作這兩個面的垂線，垂線的交點即為球心.

當(dāng)畫球O的內(nèi)接四面體的底面△ABC時，通常將一點A畫在邊界上，另外兩點B,C放置于截面圓O1的圓弧其他位置.當(dāng)△ABC分別為任意三角形、等邊三角形和直角三角形時的情形及幾何量內(nèi)在基本關(guān)系如圖1，圖2，圖3(其中，O1為△ABC的外心，OO1⊥平面ABC，OO1=d,r是圓O1的半徑，球O的半徑為R,R2=d2+r2).

圖1.

圖2.

圖3

二、基本方法

1.定義找心

在幾何體中，可以通過以下途徑找到到各頂點距離相等的點.

1.1若四面體兩個面是公共斜邊的直角三角形，則球心為斜邊中點

( )

所以PA2+PC2=AC2，故△APC為直角三角形.

取△APC與△ABC的公共斜邊AC的中點O，則有AO=PO=CO=BO，故點O為三棱錐P-ABC外接球的球心，外接球的半徑為AO=2，球的表面積為4πAO2=16π，故選D.

1.2直三棱柱的外接球的球心在該直三棱柱的上下底面三角形外心的連線的中點處

【例2】(2010·課程標(biāo)準(zhǔn)卷理·10)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為

( )

解析：設(shè)O1,O2分別是正三角形A1B1C1和正三角形ABC的中心，因為三棱柱A1B1C1-ABC是正三棱柱，所以其外接球的球心O是O1O2的中點，如圖，于是其外接球的半徑為

2.垂線找心

如圖，選取球面上的任意兩個截面圓(不平行),過其圓心作兩個圓面的垂線,這兩條垂線的交點即為球心.這兩個截面圓即多面體的兩個面的外接圓,因此可在過多面體面的外心且垂直于該面的直線上尋找多面體外接球的球心.

為便于找到球心，常選擇多面體中具有特殊形狀的面(如直角三角形、等腰三角形或正方形等)進(jìn)行分析.

2.1多面體有一個面為直角三角形

若多面體有一個面為直角三角形，則在過斜邊中點且垂直于該直角三角形所在平面的直線上尋找球心.

( )

A.1 B.2

C.4 D.8

解析：如圖，因為CD2=BC2+BD2,所以∠CBD=90°，取CD的中點H，則CH=BH=4，球心O1在過H且垂直底面BCD的直線上.

解得O1A=5,O1H=3.

顯然當(dāng)球O2與平面BCD相切且在平面BCD下方與球O1內(nèi)切時直徑最大，最大值為O1H與球O1半徑之和，故球O2直徑的最大值為8.

2.2多面體有一個面為等邊三角形

若多面體有一個面為等邊三角形，則在過等邊三角形的中心且垂直于該等邊三角形所在平面的直線上找球心.

【例4】在四面體ABCD中，有一條棱長為3，其余五條棱長皆為2，則其外接球的半徑為________.

解法1：不妨設(shè)BC=3，通過分析過等腰△ABC的外心且垂直于該等腰三角形所在平面的直線尋找球心.

AB=AC=AD=BD=CD=2.過點D作DH⊥平面ABC，垂足為H.則由AD=BD=CD，易知AH=BH=CH，則點H是△ABC的外心，從而DH上任意一點到點A,B,C的距離都相等.取BC的中點E，連接AE,DE，則由AB=AC可得AE為BC的中垂線，從而點H在AE上.取AD的中點F，連接EF，則由圖形的對稱性易知AE=DE,EF為AD的中垂線.設(shè)DH∩EF=O，則有OA=OD.

綜上，可知點O到點A,B,C,D的距離相等，則點O就是四面體ABCD的外接球的球心.

解法2：不妨設(shè)AB=3，通過分析過等邊△BCD和△ACD的外心且分別垂直于它們所在平面的兩垂線尋找球心.

AC=AD=BC=BD=CD=2.取CD的中點E，連接AE，BE，可得AE⊥CD，BE⊥CD，則由△BCD和△ACD都是等邊三角形可知它們的中心M,N分別在BE，AE上，且BM=2ME，AN=2NE.

在△ABE內(nèi)，過點M作BE的垂線，過點N作AE的垂線，設(shè)其交點為O.連接OB,OE，因為AE⊥CD，BE⊥CD，則CD⊥平面ABE，進(jìn)而CD⊥OM，CD⊥ON.結(jié)合OM⊥BE，ON⊥AE，可知OM⊥平面BCD，ON⊥平面ACD.由此再結(jié)合BM=CM=DM=AN=CN=DN，可知點O到點A,B,C,D的距離相等，故點O就是四面體ABCD的外接球的球心.

2.3多面體有一個面為矩形

若多面體有一個面為矩形，則在過矩形的中心且垂直于該矩形所在平面的直線上找球心.

【例5】四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則該四棱錐外接球的表面積為

( )

正視圖

側(cè)視圖

俯視圖

解析：根據(jù)三視圖還原幾何體直觀圖，如圖所示.在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等腰三角形，PA=PD=3,AD=4，四邊形為矩形，CD=2.過△PAD的外心F作平面PAD的垂線，過矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂線，兩垂線交于一點O，點O即為四棱錐外接球的球心.

2.4多面體中有二面角模型

若多面體涉及二面角大小，設(shè)過二面角的兩個半平面所在三角形外心且垂直所在面的直線為l1，l2，則球心為l1與l2的交點.

三棱錐S-ABC外接球的球心是平面SAB過點E且垂直于該平面的直線與平面ABC過點I且垂直于該平面的直線的交點O.

在平面四邊形OEDI中，∠OED=∠OID=90°,DE=DI,∠EDI=120°,所以Rt△ODI≌Rt△ODE.

3.補形找心

對某些特殊多面體，可通過構(gòu)造直三棱柱和長方體等幾何體，使多面體的頂點為直三棱柱或長方體的頂點，將多面體“鑲嵌”在直三棱柱或長方體內(nèi)，借助直三棱柱或長方體外接球的球心尋找所研究多面體的球心.

3.1側(cè)棱垂直于底面的棱錐補成直棱柱

解析：由題意，可得AB2+BC2=22+32=13=AC2，

所以AB⊥BC.同理，AB⊥BD.

過點C作CE∥AB,且CE=AB，過點D作DF∥AB,且DF=AB，連接AE,EF,AF，則易知三棱柱AEF-BCD是正三棱柱，則四面體ABCD的外接球與正三棱柱的外接球相同，其球心在該正三棱柱上下底面中心連線的中點處，容易求得球的半徑為

故外接球的表面積為4π×22=16π.

3.2三條棱兩兩垂直的四面體補成長方體

3.2.1“墻角”型

三條棱兩兩垂直且共頂點：如果三棱錐A-BCD中，過點A的三條棱兩兩互相垂直，即AB⊥AC,AD⊥AC,AD⊥AB，則可構(gòu)造以AB,AC,AD分別為長、寬、高的長方體.

解析：因為PA,PB,PC兩兩互相垂直，故正三棱錐P-ABC的外接球即是以PA,PB,PC為棱的正方體的外接球，球心是在該正方體的體對角線的交點處，如圖，易證OP⊥平面ABC，所以球心O到截面ABC的距離即為球的半徑R減去正三棱錐P-ABC的高.設(shè)PA=a,則(2R)2=3a2，所以a=2.

3.2.2“直角+垂線”型

三條棱兩兩垂直且不共頂點：如果三棱錐D-ABC中，DC⊥平面ABC,∠BAC=90°，則可構(gòu)造以底面ABC的兩條直角邊AB,AC和垂線CD分別為長、寬、高的長方體,長方體的體對角線的中點即為球心.

3.2.3 “對棱”相等型

若四面體三組對棱相等，則可構(gòu)造以三組對棱為六個面的對角線的長方體.

特別地，當(dāng)AD=BC=AB=CD=AC=BD時(即四面體DABC為正四面體)，長方體就變成了正方體.

4.坐標(biāo)找心

通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用球心到四個頂點的距離相等求出球心坐標(biāo).

設(shè)球心O(x,y,z)，由OA=OB=OC=OD可得