考題中常見的切線問題

廣東

近期筆者在為學(xué)生解惑的過程中常遇到與切線有關(guān)的問題，有求函數(shù)圖象的切線方程，也有求圓錐曲線的切線方程.在指導(dǎo)學(xué)生解答2018年全國卷Ⅲ文科第21題的過程中，除了遇到求函數(shù)圖象的切線方程之外，還發(fā)現(xiàn)了利用曲線切線不等式的解題方法，此解法既為解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合考題開辟了新的解題途徑，也實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜的解題過程簡(jiǎn)單化.由于切線問題以各種形式頻繁出現(xiàn)于高考試題之中，所以深入鉆研高考試題中常見的切線問題是十分必要的.

一.高考對(duì)切線問題的考查

為了掌握高考對(duì)切線問題的考查力度和考查形式，筆者對(duì)2016至2018年全國卷Ⅰ、卷Ⅱ、卷Ⅲ的文、理科試卷進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)匯總成下表.從表格可以看出，各地每年的高考試卷都重視對(duì)切線問題的考查，而且考查力度有不斷加大的趨勢(shì)，2018年更為明顯.

近三年全國高考卷中考查切線問題的試題分布

二.函數(shù)圖象的切線問題

1.求函數(shù)圖象的切線方程

【例1】(2018·全國卷Ⅰ·文6理5)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為

( )

A.y=-2xB.y=-x

C.y=2xD.y=x

解析：由于f(x)為奇函數(shù)，所以a-1=0，解得a=1，則f(x)=x3+x，f(0)=0.又由于f′(x)=3x2+1，則f′(0)=1，所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x，則正確的選項(xiàng)為D.

【例2】(改編題)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y=f(x)過點(diǎn)(1,2)的切線方程為________.

綜上所述，曲線y=f(x)過點(diǎn)(1,2)的切線方程為4x-y-2=0或7x-4y+1=0.

【評(píng)注】例1既是2018年全國卷Ⅰ文科第6題，也是理科第5題.考查的是求函數(shù)f(x)圖象上指定點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程，解決方法也不難，就是先求函數(shù)f(x)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)，得到切線斜率，然后求切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).若所考查的是過指定點(diǎn)(m,n)的函數(shù)圖象的切線方程，則應(yīng)該先設(shè)切點(diǎn)，再按上述方法求切線方程，然后將點(diǎn)(m,n)代入切線方程，從而求得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得切線方程，如例2.

2.兩函數(shù)圖象的公切線問題

【例3】(2015·全國卷Ⅱ文·16)已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切，則a=________.

【評(píng)注】該題是2015年全國卷Ⅱ文科第16題，是兩函數(shù)圖象的公切線問題.由于可以直接求出函數(shù)y=x+lnx的圖象在指定點(diǎn)(1,1)處的切線方程y=2x-1，所以該題可以轉(zhuǎn)化為：已知切線方程y=2x-1，求函數(shù)y=ax2+(a+2)x+1解析式中的參數(shù).考生可以先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)的值等于切線的斜率，便能確定切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再將橫坐標(biāo)代入曲線(或切線)方程就得到切點(diǎn)縱坐標(biāo)，將切點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線(或切線)方程便可求得參數(shù)的值.如果函數(shù)為二次函數(shù)，那么也可以由聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程，然后由Δ=0去求解.

三.圓錐曲線的切線問題

1.求拋物線的切線方程

(Ⅰ)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(Ⅱ)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？請(qǐng)說明理由.

(Ⅱ)存在符合題意的點(diǎn).證明略.

【評(píng)注】該題是2015年全國卷Ⅰ理科第20題，考查求拋物線x2=2py的切線方程，教材(新課標(biāo)人教A版)介紹了兩種解法，其中“判別式法”是通性通法，解答的過程為：如果切線的斜率存在，那么設(shè)切線的方程為y=kx+b，聯(lián)立得方程組，消去x(或y)，由Δ=0得到斜率(或斜率的關(guān)系式)；如果切線的斜率不存在，那么由圖形確定切線的方程.另外一種方法就是利用函數(shù)在某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義去求切線的斜率，筆者稱其為“導(dǎo)數(shù)法”.由于利用“導(dǎo)數(shù)法”的運(yùn)算量少，并且解答過程也不煩瑣，所以備受師生青睞.但是教材只介紹了利用“導(dǎo)數(shù)法”去求拋物線x2=2py的切線方程，那么方程為y2=2py的拋物線和其他的圓錐曲線,它們求切線方程是否也可以使用“導(dǎo)數(shù)法”呢?

2.借助導(dǎo)數(shù)求圓錐曲線的切線方程

同理可證得以下雙曲線和拋物線的切線方程.

公式三：若點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y2=2px上，則在該點(diǎn)處的切線方程為yy0=p(x+x0).

公式四：若點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2=2py上，則在該點(diǎn)處的切線方程為xx0=p(y+y0).

第一，雖然隱意處于所言與含意的中間層，但受語境影響，它的中介作用具有臨時(shí)性。如果聽話者的交際期待在隱意階段得以實(shí)現(xiàn)，隱意成為最終交際意義，就不需要用進(jìn)一步的語用加工來理解含意。

3.圓錐曲線的切線綜合問題

( )

【評(píng)注】該題考查求橢圓的離心率，也考查求圓錐曲線的切線方程，是中檔題.如果考生熟悉橢圓和雙曲線的切線方程，那么該題就可以被快速解決.

四.曲線的切線不等式問題

1.兩個(gè)重要的曲線切線不等式

由于函數(shù)y=ex的曲線在x=0處的切線方程為y=x+1，并且曲線在直線的上方(如圖所示)，則ex≥x+1(x∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

公式五：ex≥x+1(x∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

證明：設(shè)f(x)=ex-x-1，則f′(x)=ex-1.因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)min=f(0)=0，則當(dāng)x∈R時(shí)，ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

由于函數(shù)y=lnx的曲線在x=1處的切線方程為y=x-1，并且曲線在直線的下方(如圖所示)，則lnx≤x-1(x>0)，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.

公式六：lnx≤x-1(x>0)，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.

2.曲線切線不等式在解決數(shù)列綜合問題中的應(yīng)用

【例6】(2018·浙江卷·10)已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1，則

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A.a1a3,a2

C.a1a4D.a1>a3,a2>a4

解析：因?yàn)閘nx≤x-1，所以a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1，得a4≤-1，即a1q3≤-1，所以q<0.若q≤-1，則a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0，a1+a2+a3=a1(1+q+q2)≥a1>1(矛盾).所以-10，a4-a2=a1q(1-q2)<0.所以a1>a3，a2

【評(píng)注】該題為2018年浙江卷第10題，是數(shù)列與不等式的綜合問題，也是難度比較大的試題.考生如果熟練掌握曲線的切線不等式lnx≤x-1，那么自然可以由a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)看出a4≤-1，這就是該題的解題突破口.

3.曲線切線不等式在解決導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合問題中的應(yīng)用

【例7】(2018·全國卷Ⅰ文·21)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(Ⅰ)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn),求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

4.曲線切線不等式在解決導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)綜合問題中的應(yīng)用

【例8】(2018·全國卷Ⅱ理·21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(Ⅰ)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.

解析：(Ⅰ)略；

【評(píng)注】該高考試題第(Ⅱ)小題是“導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)”的綜合問題，常規(guī)的處理方法是：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得知函數(shù)的大致圖象，分析函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的情況，進(jìn)而得出參數(shù)的取值范圍.可是，筆者在處理該題的過程中發(fā)現(xiàn)，靈活應(yīng)用“曲線切線不等式”也可以解答該題，也就是說，“曲線切線不等式”為該題的解答開拓了新途徑.