二維反三角超混沌系統(tǒng)及其在圖像加密上的應(yīng)用

葛江峽 齊文韜 蘭林 田雨 朱和貴

摘 要：為了進(jìn)一步提高混沌系統(tǒng)的混沌特性，為圖像加密算法提供更可靠的混沌系統(tǒng)，增強圖像加密算法的安全性，提出了一種基于二維反三角超混沌系統(tǒng)的新型圖像加密算法。首先，在一維三角混沌函數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)建了一個二維反三角超混沌系統(tǒng)，通過分岔圖和Lyapunov指數(shù)等仿真實驗，驗證了該系統(tǒng)具有更廣的混沌區(qū)間和更強隨機性的迭代序列，遍歷性更加優(yōu)秀;然后，基于此混沌系統(tǒng)，采用“置亂擴散”策略，根據(jù)不同密鑰生成的不同超混沌序列，對圖像矩陣進(jìn)行無重復(fù)置亂和循環(huán)移位擴散，循環(huán)三次得到密文，完成加密過程;最后，對圖像加密方案進(jìn)行了直方圖分析、密鑰空間分析、相鄰像素相關(guān)性分析、明文敏感性分析和信息熵分析等性能測試。其中密文圖像的相關(guān)指標(biāo)參數(shù)像素變化率（NPCR）和統(tǒng)一平均變化強度（UACI）的測試值非常接近于它們的理想期望值，信息熵的測試結(jié)果約為7.997，也非常接近于理想期望值8。實驗結(jié)果表明，此圖像加密系統(tǒng)具有更可靠的安全性，抵抗攻擊能力強，在圖像安全領(lǐng)域具有較好的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：二維反三角超混沌系統(tǒng);圖像加密;分岔圖;Lyapunov指數(shù);Chebyshev映射

中圖分類號： TN918.91; TP393.08

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract： In order to improve chaos complexity and provide more reliable chaotic system for image encryption， and enhance the security of image encryption algorithm， a new image encryption algorithm based on two-dimensional anti-triangularinverse-trigonometric正文中，對于“反三角”的描述，在TDIT的全稱中用的是“Inverse-Trigonometric”，此處卻用的這個，是規(guī)范表達(dá)嗎？是否需要統(tǒng)一為“Inverse-Trigonometric”，請明確 hyperchaotic system was proposed. Firstly， based on one-dimensional triangular function， a two-dimensional anti-triangularinverse-trigonometric hyperchaotic system was constructed. Compared with some two-dimensional chaotic systems， this system had wider chaotic range， more random iteration sequences and better ergodicity by simulation experiments about bifurcation diagram and Lyapunov exponent. Then based on the proposed chaotic system， the “scrambling-diffusion” strategy was designed and different keys were given， which were used to generate different hyperchaotic sequences. The image matrix was scrambled without repetition by hyperchaotic sequences， then the scrambled sequence were shifted and diffused. So the ciphertext was obtained by looping twicethrice是三次還是兩次？中文摘要中是三次，此處卻為二次，以哪個為準(zhǔn)？請明確. Finally， histogram analysis， key space analysis， correlation analysis of adjacent pixels， plaintext sensitivity analysis and information entropy analysis were carried out. The test values of Number of Pixels Change Rate （NPCR） and Unified Average Changing Intersity （UACI） of ciphertext images were very close to their ideal expected values. The test results of information entropy were about 7.997， which was also very close to the expected value of 8. The experimental results show that the image encryption system has more reliable security， stronger ability to resist attacks， and had a good application prospect in the field of image security.

Key words： two-dimensional anti-triangularinverse-trigonometric hyperchaotic system; image encryption; bifurcation diagram; Lyapunov exponent; Chebyshev map

0 引言

近幾年來，隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和信息技術(shù)的飛速發(fā)展，圖形和圖像等多媒體信息如何通過網(wǎng)絡(luò)安全地傳輸成為一個非常重要的問題，這些圖像信息的安全防護(hù)受到了很多學(xué)者的關(guān)注，從而使圖像加密技術(shù)成為廣大學(xué)者重要課題。一般來說，由于圖像信息具有數(shù)據(jù)量大、相關(guān)性強的基本特點，文本信息的加密算法并不適用于圖像信息加密，而混沌系統(tǒng)對初始條件的敏感性、無周期性和不可預(yù)測性與圖像信息加密對密鑰和明文等的敏感性是一致的，從而混沌系統(tǒng)的發(fā)展為圖像加密提供了可能。最早的混沌系統(tǒng)由Lorenz[1]提出，隨后人們在各個領(lǐng)域都發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象，隨著混沌理論的逐漸成熟，混沌系統(tǒng)在圖像加密領(lǐng)域扮演著越來越重要的角色。

由混沌系統(tǒng)生成的密鑰，具有密鑰空間大、分布更隨機的優(yōu)良特性，同時混沌系統(tǒng)具有對初值和參數(shù)的極高敏感性，而且軟硬件實現(xiàn)簡單，相比傳統(tǒng)的圖像加密算法更加優(yōu)秀。1989年，Matthews[2]第一次應(yīng)用混沌技術(shù)生成大量的偽隨機數(shù)據(jù)用于圖像加密，此后，大量學(xué)者開始研究混沌系統(tǒng)在圖像加密中的應(yīng)用，陸續(xù)提出多種基于混沌映射的圖像加密算法。例如，F(xiàn)ridrich[3]提出了將混沌系統(tǒng)迭代值直接應(yīng)用于圖像置亂的方法，并給出了著名的Arnold映射。Tang等[4]提出了一種混沌系統(tǒng)與S盒子結(jié)合的密碼系統(tǒng)。Chen等[5-6]定義了兩個評價加密系統(tǒng)的指標(biāo)像素變化率（Number of Pixels Change Rate， NPCR）和統(tǒng)一平均變化強度（Unified Average Changing Intensity， UACI），隨后該指標(biāo)被廣泛應(yīng)用于圖像加密算法性能測試中。Zhang等[7-10]提出了基于明文關(guān)聯(lián)的多種混沌圖像加密方法，安全性能比基于簡單置亂和擴散的加密方法更加優(yōu)秀。

雖然混沌圖像加密方法越來越多，但大量的實驗證明，低維混沌系統(tǒng)加密算法仍然存在安全缺陷，特別是一維混沌系統(tǒng)加密算法復(fù)雜度不高，其安全性不能滿足實際應(yīng)用[11-12]。例如：Chen等[13]對基于一維混沌映射的加密算法進(jìn)行選擇明文攻擊，發(fā)現(xiàn)可以派生出密鑰的關(guān)鍵因素，所以找到優(yōu)秀的二維及二維以上的混沌系統(tǒng)對圖像加密來說是很重要的。Zhu等[14-15]構(gòu)建了高維的混沌系統(tǒng)，基于此建立了“bit級置亂與像素級擴散”和“局部二元模式擴散”的加密算法，實驗證明加密方法具有非常好的安全性能，但是加密時間較長，實用性較差。綜合以上問題，考慮到三角函數(shù)豐富的震蕩和折疊性質(zhì)在混沌系統(tǒng)的構(gòu)建中起著非常重要的作用，現(xiàn)有多種三角函數(shù)混沌系統(tǒng)，如Chebyshev混沌映射等，已經(jīng)受到廣泛的研究和應(yīng)用[16-18]。本文在三角函數(shù)的基礎(chǔ)上提高系統(tǒng)維數(shù)，構(gòu)建了二維反三角混沌系統(tǒng)，并通過分岔圖和Lyapunov指數(shù)等實驗驗證了二維反三角混沌系統(tǒng)具有更加優(yōu)秀的混沌性能;同時提出了一種“置亂擴散”的新圖像加密方案，仿真實驗和安全性分析表明，該加密方案密鑰敏感性強、密鑰空間大、抗攻擊效果好、安全性高，具有很高的實用性。

1 二維反三角超混沌系統(tǒng)

一維混沌映射結(jié)構(gòu)簡單，是單個變量離散時間上的演化過程，計算成本較低，易于實現(xiàn)，但參數(shù)較少且其輸出很容易預(yù)測。高維混沌系統(tǒng)的參數(shù)較多，混沌軌道更加復(fù)雜，更難以預(yù)測。常見的一維混沌系統(tǒng)有Logistic映射、Chebyshev映射等，Chebyshev映射定義為：xn+1=cos（a·arccos xn），其中xn∈[-1，1]。當(dāng)參數(shù)a>1時，Chebyshev映射出現(xiàn)混沌現(xiàn)象[19]，且混沌性能比Logistic映射等簡單一維混沌映射更優(yōu)秀。

在Chebyshev映射基礎(chǔ)上，考慮到正弦函數(shù)與余弦函數(shù)、反正切函數(shù)與反余切函數(shù)的相似性，Lyapunov指數(shù)仿真實驗表明映射xn+1=sin （aπ·arctan xn）、xn+1=cos （aπ·arccot xn）、xn+1=sin （aπ·arccot xn）、xn+1=cos （aπ·arctan xn）都存在正的Lyapunov指數(shù)，所以它們都是混沌映射，分別記作正弦反正切（S-T）映射、余弦反余切（C-C）映射、正弦反余切（S-C）映射和余弦反正切（C-T）映射，實驗結(jié)果如圖1所示。因為兩個或兩個以上的混沌系統(tǒng)進(jìn)行相加[20]或者復(fù)合[21]，形成的新系統(tǒng)也是混沌狀態(tài)，所以為了將維數(shù)升高，本文定義的二維反三角混沌系統(tǒng)為：

記此系統(tǒng)為二維反三角函數(shù)（Two-Dimensional Inverse Trigonometric function請補充TDIT的英文全稱， TDIT）混沌系統(tǒng)，由下面的第2章是指代第2章嗎？請明確可知該系統(tǒng)是混沌的。此系統(tǒng)有兩個參數(shù)a和b，迭代值xn+1和yn+1相互影響，并且滿足xn，yn∈[-2，2]。

2 混沌性能分析

這里將TDIT混沌系統(tǒng)與文獻(xiàn)[22]中的二維正弦超混沌（2D Sinusoidal HyperChaotic請補充2D-SHC的英文全稱， 2D-SHC）映射，文獻(xiàn)[23]中的二維邏輯斯蒂正弦映射（2D Logistic-Adjusted-Sine Map， 2D-LASM）進(jìn)行混沌性能的比較分析，2D-SHC系統(tǒng)為：

2.1 分岔圖

從分岔圖上能夠直觀地看到混沌現(xiàn)象，出現(xiàn)分岔現(xiàn)象就意味著出現(xiàn)了混沌。TDIT混沌系統(tǒng)、2D-SHC系統(tǒng)和2D-LASM系統(tǒng)的分岔圖如圖2所示。

2.2 Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)是描述時序數(shù)據(jù)所生成的相空間中兩個極其相近的初值所產(chǎn)生的軌道隨時間推移分散或收斂的平均變化率[23-26]。二維系統(tǒng)中第i（i=1，2）個變量的Lyapunov指數(shù)定義為：

λi=limn→∞1n ln ∏n-1k=0|fixi|x（k）|（4）是三條豎線嗎？還是最后一個豎線是多余的？請明確?；貜?fù)：那條豎線不是多余的，第一條豎線與第三條豎線是絕對值號，中間那一條是表示偏導(dǎo)數(shù)在x（k）點的取值。

記系迭代初值為x（0）=（x0，y0），則x（k）為第k次迭代的迭代值，即x（k）=（xk，yk）。若只有一個i（i=1，2）使得第i軸方向上的Lyapunov指數(shù)λi>0，則此系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)，若λ1，λ2均大于0，則稱此系統(tǒng)為超混沌系統(tǒng)，超混沌系統(tǒng)的混沌性能優(yōu)于普通混沌系統(tǒng)。

TDIT混沌系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)如圖3（a）所示，當(dāng)參數(shù)b=3，a∈[2，6]時，具有超混沌行為。2D-SHC系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)如圖3（b）所示，當(dāng)參數(shù)a2∈[1.38，1.43]時，系統(tǒng)具有混沌行為，當(dāng)參數(shù)a2∈[1.44，1.59]∪[1.61，1.694]時，該映射具有超混沌行為。2D-LASM系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜如圖3（c）所示，參數(shù)μ∈[0.37，0.38]∪[0.4，0.42]∪[0.44，0.93]∪{1}時，具有混沌行為，當(dāng)μ∈[0.44，0.93]時，該映射具有超混沌行為。顯然TDIT混沌系統(tǒng)的超混沌范圍和Lyapunov指數(shù)值均大于2D-LASM系統(tǒng)和2D-SHC系統(tǒng)，故TDIT混沌系統(tǒng)的混沌性能更加優(yōu)秀，輸出序列更難以預(yù)測。

3 加解密方案

在第2章的討論中，已經(jīng)知道TDIT混沌系統(tǒng)生成的混沌序列隨機性更強，更加難以預(yù)測，能夠提高圖像加密的安全性，接下來基于TDIT混沌系統(tǒng)提出一個新型圖像加密方案。

3.1 設(shè)計思想

首先在TDIT混沌系統(tǒng)超混沌的參數(shù)范圍里選取3對參數(shù)，構(gòu)造出3個混沌系統(tǒng)用于加密。使用每一個混沌系統(tǒng)的xn序列置亂圖像，使用yn序列擴散圖像，置亂時將二維圖像展成一維向量后無重復(fù)置亂，擴散時將加取模運算與循環(huán)左移運算進(jìn)行結(jié)合，利用3個混沌系統(tǒng)完成3次置亂擴散，得到加密圖像。

解密分三次解密，每次解密方法相同，密鑰不同，將循環(huán)左移變?yōu)檠h(huán)右移，再進(jìn)行加取模運算與反置亂即可得到解密圖像，加密具體流程如圖4所示。

3.2 加密方案

1）讀取原圖像數(shù)據(jù)保存在矩陣P中，獲取P的大小保存在[M，N]中，對P按行展開成1×MN階矩陣，記為P1。

2）TDIT混沌系統(tǒng)中取參數(shù)a=2，b=3，此時系統(tǒng)為：

取初值x1=0.1，y1=0.1，迭代生成長度為MN的序列{xn}與長度為2MN的序列{yn}。

3）對{xn}作處理得到：

序列X中重復(fù)出現(xiàn)的偽隨機數(shù)只保留其最先出現(xiàn)的第一個，將集合{1，2，…，MN}中沒有出現(xiàn)在X中的數(shù)值按由小到大的順序添加到X的末尾。接著將P1（Xi）與P1（XMN-i+1）交換位置，得到1×MN的矩陣P2。

4）對{yn}作處理得到：

顯然X序列長為2MN，將X從中間分為兩個等長序列X1與X2，作兩次擴散處理如下：

其中LSB3表示取數(shù)據(jù)的最后3位進(jìn)行循環(huán)移動，<<

5）TDIT混沌系統(tǒng)中取參數(shù)a=5/2，b=3，此時系統(tǒng)為：

取初值x1=0.2，y1=0.2，迭代生成長度為MN的序列{xn}與長度為2MN的序列{yn}。

6）使用{xn}，{yn}序列對P3進(jìn)行置換，擴散操作，與步驟3）～4）方法相同，得到1×MN的矩陣P4。

7）TDIT混沌系統(tǒng)中取參數(shù)a=3，b=3，此時系統(tǒng)為：

取初值x1=0.3，y1=0.3，迭代生成長度為MN的序列{xn}與長度為2MN的序列{yn}。

8）使用{xn}，{yn}序列對P4進(jìn)行置換、擴散操作，與步驟3）～4）方法相同，得到1×MN的矩陣P5。

9）將P5以行優(yōu)先原則轉(zhuǎn)化為M×N的圖像矩陣P6，圖像加密完成。

4 仿真實驗

本文采用灰度圖像Lena（256×256）和彩色圖像Baboon（512×512）進(jìn)行實驗驗證。加密及解密效果如圖5所示。

為了更加清楚、直觀地體現(xiàn)本文圖像加密系統(tǒng)的優(yōu)良特性，將仿真實驗結(jié)果與文獻(xiàn)[22]、文獻(xiàn)[23]和文獻(xiàn)[26]的測試結(jié)果進(jìn)行對比。其中：文獻(xiàn)[22]里作者采用了高維超混沌系統(tǒng)置亂與局部二元模式擴散的加密方式;文獻(xiàn)[23]中作者基于2D-LASM系統(tǒng)，結(jié)合位操作置亂和擴散的方法構(gòu)建了一個圖像加密方案;在文獻(xiàn)[26]中，作者使用隨機像素插入、行分離、一維替換、行組合和圖像旋轉(zhuǎn)等方式循環(huán)4次得到最終的加密方案，以上3種圖像加密算法都具有良好的安全性能。

4.1 直方圖分析

圖像直方圖體現(xiàn)圖像的像素分布，像素分布越均勻加密效果越好，本文對灰度圖像Lena（256×256）和彩色圖像Baboon（512×512）的原圖像灰度分布情況和加密之后圖像的灰度分布進(jìn)行繪圖，分布如圖6所示。顯然加密后圖像的灰度分布更加均勻，原圖像像素的分布規(guī)律被打亂，抵御統(tǒng)計分析破解攻擊的能力更強。

4.2 密鑰空間分析

對加密系統(tǒng)而言，密鑰空間的大小至關(guān)重要，密鑰空間足夠大時，可以有效地對抗窮舉攻擊，防止暴力破解，增加破解的時間成本[24]。本文加密系統(tǒng)密鑰為Key={xi1，yi1，n，s}，其中xi1，yi1為第i次置亂擴散操作中所用混沌系統(tǒng)的初值，i=1，2，3。n為迭代次數(shù)，s為循環(huán)移位時的位數(shù)。xi1，yi1為double型浮點數(shù)，n，s為整數(shù)，在64位CPU計算機中，其精度可達(dá)到10-14，密鑰空間可達(dá)到（1014×1014）3×1014×1014=10112，顯然次加密系統(tǒng)有非常大的密鑰空間，可有效地對抗窮舉攻擊和暴力破解。

4.3 相鄰像素相關(guān)性分析

相關(guān)系數(shù)可以反映圖像相鄰像素的差異程度。相關(guān)系數(shù)越小，圖像的像素點相關(guān)性越差，偏向于隨機，相關(guān)系數(shù)越接近于1，圖像像素點之間的相關(guān)性越強。

設(shè)從需要考察的圖像中取N對相鄰的像素點，記它們的灰度值為（ui，vi），i=1，2，…，N，則向量u={ui}和v={vi}間的相關(guān)系數(shù)計算公式[25]如下：

測試圖像明文，密文的相關(guān)系數(shù)測試結(jié)果如表1。從數(shù)據(jù)看出，明文圖像的相關(guān)系數(shù)很大，與1非常接近，而對比文獻(xiàn)[22]、文獻(xiàn)[23]和文獻(xiàn)[26]的加密圖像相關(guān)系數(shù)，本文圖像加密的測試結(jié)果更加接近于0。

圖7～8列出了測試圖像的明文密文在各個方向上的相關(guān)情況，從圖中可以看出明文圖像各個方向上的相鄰像素點幾乎均勻分布在直線y=x附近，分布較為集中;而密文圖像在各個方向上的相鄰像素點分布在一個矩形區(qū)域中，且分布更加均勻。由此可見，明文圖像相鄰的像素點相關(guān)性很強，而密文圖像相鄰的像素點間幾乎不存在相關(guān)關(guān)系，這說明本文的加密算法覆蓋了原始圖像的全部特征，有良好的均勻分布性能。

4.4 明文敏感性分析

明文敏感性分析是指針對兩個差別很小的明文圖像，使用相同的密鑰進(jìn)行加密，比較得到的兩個密文圖像的差別，主要衡量指標(biāo)有NPCR與UACI[27]。若兩幅明文圖像中（i， j）的像素值有差異，記它們的加密圖像中點（i， j）處的像素值分別為P1（i， j）與P2（i， j），則NPCR與UACI的計算方法為：

如果兩幅圖像均為隨機圖像，由于位置的任意性，兩幅隨機圖像NPCR理想期望值為255/256=99.6094%，UACI理想期望值為33.4635%。

灰度圖像Lena和彩色圖像Baboon的NPCR、UACI測試數(shù)據(jù)如表2所示，顯然本文加密算法的NPCR和UACI的值較文獻(xiàn)[22]、文獻(xiàn)[23]和文獻(xiàn)[26]的測試結(jié)果更加接近于理想期望值。這表明本文構(gòu)造的加密系統(tǒng)對明文非常敏感，抵御已知明文攻擊或選擇明文攻擊的能力很強。

4.5 信息熵

信息熵反映一個隨機變量的不確定性，熵越大，不確定性越大，可視信息越少[28]。設(shè)定好離散混沌序列長度為N，根據(jù)序列的取值范圍將其分為M個區(qū)間，并統(tǒng)計落在各個區(qū)間內(nèi)的離散序列值個數(shù)ni（i=1，2，…，M），故各個區(qū)間的統(tǒng)計概率為pi=ni/N，同時∑Mi=1pi=1，信息熵計算式為：

由最大信息熵原理，對于L=256的灰度圖像來說，信息熵的理論最大值H=8。

灰度圖像Lena和彩色圖像Baboon的信息熵如表3，顯然熵值非常接近于理想期望值8，這說明本文的加密系統(tǒng)隨機性良好，密文圖像的不確定性很高。

5 結(jié)語

本文構(gòu)造了一種新的二維反三角函數(shù)混沌系統(tǒng)，對其分岔圖、Lyapunov指數(shù)進(jìn)行了數(shù)值仿真，結(jié)果表明此混沌系統(tǒng)在參數(shù)范圍內(nèi)是超混沌的，混沌性能更加優(yōu)秀。將此系統(tǒng)引入到圖像加密中，重復(fù)三次“無重復(fù)置亂加取模循環(huán)移位擴散”的過程，每次所用混沌系統(tǒng)的參數(shù)初值均不同，完成圖像加密。通過實驗仿真，加密圖像的相關(guān)系數(shù)、NPCR、UACI以及信息熵等指標(biāo)的測試值都與理想期望值很接近，故本文的圖像加密算法能夠有效地抵抗各種攻擊手段，且加密系統(tǒng)有較強的魯棒性和實用性，在圖像安全領(lǐng)域具有較好的應(yīng)用前景。

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