初中數(shù)學“順敞悟”的教學理解

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星洋學校 楊雪華

教學實踐中，我們經(jīng)常會遇到教師的講解與學生的理解之間的“不和諧”“喚不醒”“點不燃”，有時甚至出現(xiàn)“講了幾遍學生還是不會”的尷尬，到底是哪個環(huán)節(jié)出了問題？是教得不清？學得不實？還是內(nèi)容太難？無法理解或是無法掌握？這些現(xiàn)象在教師的工作中時常出現(xiàn)。筆者調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，這些問題其實是教師的“教”與學生的“學”的脫節(jié)，數(shù)學課堂中學生“理解”“掌握”“應用”的前提首先應該是“接受”，一種自然而然的對知識的“認可”。如果學生的想法“不敞”，教師的教法“不順”，其結(jié)果就是師生間的溝通貌似相通，實則神離，進而大大影響了教學效果。下面，筆者通過例子來談談這個問題。

一、“順”模型，“敞”根源——“悟”線段最值轉(zhuǎn)化

《數(shù)學課程標準》指出：數(shù)學課程內(nèi)容要符合學生的認知規(guī)律，要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索，教師教學應該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎，注重啟發(fā)式和因材施教。

1.原題呈現(xiàn)

問題：如圖（1），已知A、B是兩個定點，在定直線l上找一動點M，在平面內(nèi)找一動點N，直線MN的方向確定（即直線MN與直線l右側(cè)部分相交所得的銳角為α），且MN等于定長d，使AN+NM+MB最小。

圖（1）

分析：要求AN+NM+MB的最小值，這是動線段的最值問題，因為MN等于定長d，所以只需求AN+MB的最小值即可。于是將三條動線段的最值問題轉(zhuǎn)化為兩條動線段的最值問題。

那么怎樣解決呢？分析到此處，學生可能還是難以突破，教師要順著學生的思路，提出關鍵一問：“線段怎么會運動的？”得出本題的實質(zhì)，即為“點動線動”，轉(zhuǎn)化為動點最值問題，還原出數(shù)學問題的本質(zhì)。此時如果學生還有不解，我們可以順著學生已經(jīng)認可的“點動”最值，引出如下兩個模型。

2.順導敞思

聯(lián)想生成1——“將軍飲馬”模型：如圖（2），圖（3），在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB最小。

圖（2）

圖（3）

分析：如圖（2），連接AB交l于點P，即為所求的直線l上的點。如圖（3），作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，即為滿足條件的直線l上的點。這個“兩點一線”模型，學生應該沒有太大問題。

聯(lián)想生成2——“行船運貨”模型：如圖（4），已知A、B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，且MN等于定長d（動點M位于動點N左側(cè)），使AM+MN+NB最小。

如圖（4），要求三條線段AM+MN+NB的最小值，而這三條線段恰好構(gòu)成一條折線，學生的第一想法是運用“折線大于直線”思想，連接AB即為最小值；但畫圖發(fā)現(xiàn)AB與l只有一個交點，這個交點是M還是N呢？學生出現(xiàn)思維的矛盾。再進一步，直線l上需要找兩個動點M與N，但這兩個動點是相互牽制、彼此影響的，不過保持MN等于定長d（且動點M位于動點N左側(cè)），也就是當動點M確定下來，動點N也會隨之向右平移d個單位確定下來?！绊樚倜稀保處煂W生的思路很自然地引導到了“平移”。學生認可“平移”后，思維基本敞開，原問題便可轉(zhuǎn)化為線段AM+NB的最小值。如圖（5），將定點A沿著定直線l的方向向右平移d得到點C，構(gòu)造出平行四邊形ACNM，就有AM+NB=CN+NB，于是要求AM+NB最小，只需求CN+NB最小。連接CB，與定直線l的交點N即為所要尋找的點N，而點M只需將點N向左平移d個單位即可找到，此時AM+MN+NB的最小值問題便迎刃而解了。

圖（4）

圖（5）

3.感悟深究

如圖（6），已知A、B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，且MN等于定長d（動點M位于動點N左側(cè)），使AM+MN+NB最小。用類比的思想，讓學生自行解決。

圖（6）

圖（7）

4.問題反芻，領悟生成

現(xiàn)在我們重新回到本文開始的問題探究。如圖（1），點A、B是定點，在定直線l上找一動點M，在平面內(nèi)找一動點N，直線MN的方向確定（即直線MN與直線l右側(cè)部分相交所得銳角為α），且MN等于定長d，使AN+NM+MB最小。

學生有了前面的鋪墊和積累，分析解決就會游刃有余了。如圖（7），將定點A沿著NM的方向，向左下方平移d個距離得到點C，構(gòu)造出平行四邊形ACMN，就有AN+MB=CM+MB，要求AN+MB的最小值，只需求CM+MB的最小值，順利將本問題轉(zhuǎn)化為了如圖（2）的問題。連接CB，與定直線l的交點M即為所要尋找的點M，再將點M作相應平移即可找到點N，此時AN+NM+MB最小，且等于d+CB。

二、“順”學識，“敞”心智——“悟”教學真與實

1.原題呈現(xiàn)

問題：已知點P是拋物線y=ax2+c上一個動點，且點P到直線y=－2的距離始終等于PO（O為坐標原點），則該拋物線的解析式為__________ 。

2.順導敞思，真實面對

教學實踐發(fā)現(xiàn)，學生讀題后對拋物線解析式y(tǒng)=ax2+c感到困惑，參數(shù)a、c不確定導致無從下手。教師讀題順勢而為，“既然a、c不確定，那該怎樣處理呢？”順引出“分類討論”，畫出可能情形。

舉例如下：如圖（8），當點P運動到拋物線的頂點時，點P到原點O的距離與點P到直線y=-2的距離一定不相等。此種情況可排除。

如圖（9），教學時引導學生找出反例。當點P運動到拋物線與直線y=-2的兩個交點時，此時點P到原點O的距離與點P到直線y=-2的距離一定不相等。此種情況也可排除。

圖（8）

圖（9）

圖（10）

綜合考慮后，得出只有圖（10）符合題意。

解析：設點P坐標為(x，y)，則PO2=x2+y2?？傻命cP(x，y)到直線y=-2的距離d=|y+2|，由題意得d2=PO2，即：x2+y2=|y+2|2，即x2+y2=y2+4y+4，得所以該拋物線解析式為

筆者倡導的數(shù)學課堂教學的“順敞悟”的實質(zhì)是順學情、順學力、順學生的心智，敞基礎、敞思維、敞學生已有的認知和經(jīng)驗，探索一種純自然的、質(zhì)樸的教學體驗，接受、認可、理解、內(nèi)化、銘刻乃至以不變應萬變的運用。師生雙方的教學活動猶如“心有靈犀一點通”。這一“點”正是四兩撥千斤，使學生能走出疑惑、跳出迷局、學的輕松、學出成效。筆者愿和各位讀者共同探索，努力實現(xiàn)“內(nèi)容清楚、過程簡單、思維順敞、感悟真切、效果顯著”的初中數(shù)學高效課堂。