承前啟后 深耕本原

劉清清 衛(wèi)德彬

摘? ? 要：學生的學習應該是“前后一致、邏輯連貫的學習過程”.在數(shù)學教學中，教師要采用“承前啟后、深耕本原”的教學思路，思考知識的前后關聯(lián)，讓學生對知識的認識和理解更為本質，更好地讓學生構建知識體系.

關鍵詞：承前啟后;相切;知識本質

一、考試分析引發(fā)的調研

問題? 如圖1，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于點D.以AB邊上一點O為圓心，過A，D兩點作圓O（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與圓O的位置關系，并說明理由.

以上問題是2019年肥西縣教育局組織的九年級第一次質量調研考試中的一道解答題，圖2是該問題的尺規(guī)作圖.第一問，考查的知識是“直線與圓的位置關系”.為了了解筆者學校的1150名學生對“直線與圓的位置關系”知識的掌握情況，針對第一問，對全校學生解答情況進行統(tǒng)計.統(tǒng)計結果大致分為三種：①作圖正確，判斷正確，經過嚴格推理證明說明判斷正確;②作圖正確，判斷正確，通過觀察圖2的圖象（無證明過程）說明判斷正確;③其他.具體統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1.

由表1可見，有23.1%的學生采用觀察圖象完成第一問，而未選擇推理證明.為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？基于疑問，筆者對結果②的266名學生隨機抽取11人進行訪談.

教師：為什么會想到這樣去解答這道題？

學生a：判斷直線與圓的位置關系，有兩種方法，一種是利用d與r的關系，一種是利用直線與圓交點的個數(shù).（其他學生附和）

教師：為什么平時“證明直線與圓相切”時，不選擇判斷交點個數(shù)的方法？

學生b、學生c、學生d：因為題目中明確要求“證明”，就必須證明.（其他學生附和）

教師：這一題為什么沒有選擇證明？

學生b：因為題目沒有明確要求我們證明，只是說“說明理由”，既然從圖中可以清晰地看出一個交點，就選擇數(shù)交點個數(shù).并且用圖形解題更快，更節(jié)省時間.（其他學生附和）

教師：不怕觀察有誤嗎？或是作圖不準，造成觀察錯誤？！

學生b、學生e、學生f：不會.因為直線與圓的位置關系中最有考試價值的只有“相切”！（其余學生附和）

由訪談結果可知，結果②的學生對數(shù)學考試的“精準”把握是通過對題目意思以及“數(shù)形結合”的理解來實現(xiàn)的.

那么，為什么會出現(xiàn)這種答題心理呢？

二、尋根究底找癥結

我國人教版九年級數(shù)學教科書對切點的定義是：如果直線與圓只有一個公共點，這時直線與圓的位置關系叫作相切.在教師用書中，本節(jié)的教學建議如下：對于直線和圓相切，要向學生指出：這時的公共點是唯一的，有且僅有一個.由直線和圓的三種位置關系，教科書通過一個“思考”欄目，直觀得到圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的數(shù)量關系.這三個結論，通過觀察和思考，學生容易得到.應使學生明確，它們既可以作為各種位置關系的判定，也可以作為位置關系的性質.這里，還可以進一步指出：直線和圓的位置關系既可以用它們交點的個數(shù)來區(qū)分，也可以用圓心到直線的距離和半徑的數(shù)量關系區(qū)分，它們是一致的.接著教師用書給出表2輔以說明.

這段話和表2強調，在分析直線與圓的位置關系時一定要注意數(shù)形結合，通過交點的個數(shù)也可以判斷直線與圓的位置關系.于是，學生“犯錯”的原因就浮出水面：①把“判斷”當成“說理”.②把“直接觀察”的結果當作嚴格的說理證明.③不理解直線與圓位置關系的本質.那么，直線與圓位置關系的本質是什么呢？教師又該怎樣去進行正確的引導呢？

三、追本溯源定教法

判斷直線與圓位置關系的代數(shù)方法是利用“圓心到直線的距離”與“半徑的大小”作比較，即轉化為垂線段與半徑的大小關系，而垂線段就是圓心與垂足的距離.垂足與圓的位置關系決定著直線與圓的位置關系.綜上，判斷垂足與圓的位置關系，本質上還是判斷點與圓的位置關系.隨著學生知識的豐富，在未來的高中教育中，學生就會深曉：相切是極限的一個應用，利用交點個數(shù)“決定”是否相切實際上是完全錯誤的.教師應該適當?shù)乩谩俺啊钡乃枷耄O限思想）來引導學生正確理解相切，而不是從交點個數(shù)的角度.否則，就會給學生后續(xù)的學習帶來影響.

那么，如何讓學生已經學習的知識不與后續(xù)學習的內容產生認知沖突呢？筆者認為應該在課堂教學設計上做到既要“承前”，又要“啟后”，要抓住核心，深耕知識的本原.教學目標應與學生今后的發(fā)展相結合，既要讓學生獲得知識，又要考慮到學生今后的發(fā)展和學習.鑒于此，直線與圓的位置關系這一課題還需要重新架構教學過程.

四、承前啟后重架構

基于以上考慮，筆者提倡一種承前啟后、深耕本原的教學思路，具體闡釋如下.

（一）溫故知新巧導入

首先，以承前式的提問，帶領學生進入問題，從新的角度認識直線與圓的位置關系.

教師：我們剛剛學習了點與圓的位置關系，請同學們說一說點與圓的位置關系有幾種，又是如何判斷的.

學生回答完畢后，教師展示點與圓的位置關系的要點.

教師：若是把點換成直線，直線上的任意一點與圓的位置關系如何呢？（多媒體展示點換成直線，并呈現(xiàn)圓與直線相離的情況）

學生1：都在圓外.

教師：具體說一說.

學生2：直接觀察得到.

學生3：在直線上任意找一點記為A，連接AO，因為AO>r，所以直線上的點在圓外.

教師：像這種直線與圓的位置關系我們叫作“直線與圓相離”.同學們，今后判斷直線與圓是否相離，有沒有更簡捷的方法呢？

學生代表：找到離圓心最近的點，判斷該點與圓的位置關系即可.過圓心作直線的垂線，因為垂線段最短，所以垂足就是離圓心最近的點.因為垂線段大于半徑，則垂足在圓外，所以直線與圓相離.

教師繼續(xù)拉動直線，直至直線與圓相交.

教師：這時，直線上的任意一點與圓的位置關系又如何？

學生4：有些點在圓外，有兩個點在圓上，還有一些點在圓內.

教師：像這種位置關系我們稱之為相交.請同學們思考，有沒有類似于判斷直線與圓相離的方法，簡捷地判斷相交呢？

學生5：還是找離圓心最近的點，也就是找垂足.垂線段小于半徑，垂足在圓內，則直線與圓相交.

【設計意圖】教學無論是何種形式，教學的初心是為了讓學生更好地理解與認識新知，并為繼續(xù)學習做好鋪墊.承前啟后的教學方式正是體現(xiàn)了這一宗旨.以前一節(jié)知識作為引入，通過點與直線的位置關系過渡到認識直線與圓的位置關系，這樣的引入更為順其自然，知識的邏輯關系更為流暢.

（二）極限思想來相助

在基礎性知識學習的前提下，教師通過講解、闡述、提問，帶領學生更深入地進入問題的本質.

教師：這兩個交點我們記為點A，B，現(xiàn)在點A固定不動，讓直線繞著A點逆時針（或順時針）旋轉，請同學們仔細觀看，說說你看到了什么.（見圖3）

學生6：點B沿著圓周慢慢地向點A滑動，并與點A重合，垂足H也與點A重合.

學生7：當點B越來越靠近A時，無論是逆時針還是順時針旋轉，直線的位置是確定的.

教師：像這樣，直線與圓的位置關系稱之為相切，唯一的公共點叫作切點，這條直線叫作切線.從上面的操作可以看到，切點是直線與圓相交步步夾逼出現(xiàn)的極限情形，我們將在高中學習極限.那么，我們還可以用類似于前面的辦法判斷直線與圓是相切的嗎？

學生8：可以.當垂足在圓上時，直線與圓就是相切的.

【設計意圖】直線與圓相切是初中生初嘗極限思想的案例之一，幾何畫板動態(tài)地演示極限的思想，交點、切點、垂足的“三點合為點A”，于是引出相切.利用極限思想讓學生體會直線與圓相切時垂足就是切點，而垂足只有一個，所以直線與圓相切時只有一個公共點.這才是直線與圓相切的本質所在.如此就避免了學生對相切理解的偏差，或是只局限于公共點個數(shù)上.

教師：由此我們可以看到，判斷直線與圓的三種位置關系可以轉化為判斷什么？

學生9：判斷垂足與圓的位置關系.若垂足在圓外，則直線與圓相離;若垂足在圓上，直線與圓相切;若垂足在圓內，則直線與圓相交.

學生10：判斷垂線段與半徑的關系.

學生11：判斷圓心到直線的距離與半徑的關系.

教師：直線與圓位置關系的判定也可以轉化為判斷垂足在何處！與我們上一節(jié)學習的點與圓的位置關系一脈相承.從“數(shù)”的角度來看，即是判斷圓心到直線的距離與半徑的關系.

【設計意圖】深耕知識的本質，需要我們統(tǒng)觀數(shù)學，思考知識的內在關聯(lián)，關注舊知、新知、未學知識三者的相互銜接.回到本節(jié)課，判斷直線與圓的位置關系（新知）就是判斷垂足（點）與圓的位置關系（舊知），而相切就是極限情形（未學知識）.這樣才關注了直線與圓的位置關系的本質，關注了新知與舊知的密切聯(lián)系，關注了前面知識對后續(xù)學習的橫向遷移作用.此時，學生對表2的理解是質的飛躍，而非停留在表面.

2013年，章建躍在《構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考》[1]中提到學生的學習應該是“前后一致、邏輯連貫的學習過程”.此文警示我們教學時不能只顧著“一畝三分地”，要思考知識的前后關聯(lián)，更好地讓學生構建知識體系.教師如果在備課中做到“前后一致、邏輯連貫”，體現(xiàn)知識的承前啟后，于生于師都是大有裨益的.如此雙贏，我們?yōu)槭裁床蝗L試呢？

參考文獻：[□][◢]

[1]章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考[J].數(shù)學通報，2013（6）：5-8.