古琴藝術(shù)數(shù)字化保護(hù)概述與琴律智能分析

陳根方

(浙江音樂學(xué)院 音樂工程系，杭州 310024)

古琴原名“琴”或“七弦琴”，是中國最古老的彈撥樂器之一，它有3000多年的歷史，早在《詩經(jīng)》的“國風(fēng)·周南”就有“窈窕淑女，琴瑟友之”的記載，也是“高山流水”知音故事的核心因素.古琴是中國古代地位最崇高的樂器，位列“琴棋書畫”四藝之首.2003年11月7日，古琴藝術(shù)正式被聯(lián)合國教科文組織授予“人類口頭與非物質(zhì)文化遺產(chǎn)”，是世界上唯一一項(xiàng)以樂器申遺的非遺項(xiàng)目[1].2005年5月中國國務(wù)院將古琴藝術(shù)列入首批“國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄”.

古琴琴體面板一般用桐木制成，琴底用梓木制成[2]，琴體面板上覆有7根琴弦，琴弦起承露，經(jīng)岳山、龍齦，止于琴底的雁足.古琴演奏技法復(fù)雜，音色多樣，左右手配合演繹，右手技法以內(nèi)外水平運(yùn)動(dòng)為主(向內(nèi)撥弦： 托、抹、勾、打，向外撥弦： 劈、挑、剔、摘)，左手技法不僅有左右運(yùn)動(dòng)(吟、猱、綽、注等)，還有上下運(yùn)動(dòng)(掐起、泛起等)，左右手技法構(gòu)成了3維立體的運(yùn)動(dòng)空間(見圖1).古琴的樂譜采用獨(dú)特的減字譜記譜法來記錄樂曲，樂譜由一個(gè)一個(gè)的譜字序列構(gòu)成，每個(gè)譜字由左右手技法的減字符號構(gòu)成，減字符號要么是整個(gè)漢字(如表示琴弦序號的”一二三四五六七“)，要么是漢字的一部分(如”乚“).

圖1 古琴演奏的3維空間立體運(yùn)動(dòng)Fig.1 Three-dimensional spatial movement of Guqin performance

古琴藝術(shù)扎根于中國文化，它的歷史是中國音樂史的一個(gè)縮影，推動(dòng)著中國音樂藝術(shù)領(lǐng)域的工程技術(shù)、信息技術(shù)的發(fā)展與變革，從文字記錄音樂信息，到形成自己獨(dú)特的組合式減字譜記譜法，從定性的音樂備忘錄，到創(chuàng)建定量的琴律計(jì)算模型，總是伴隨著音樂科技的滾滾洪流不斷向前，催化著中國藝術(shù)走向新的高峰.在數(shù)字信息時(shí)代，古琴藝術(shù)面臨新的挑戰(zhàn)，古琴藝術(shù)的琴書、琴器、琴譜、琴家、琴制、琴藝、琴論、琴聲、琴派和琴人的數(shù)據(jù)收集、清洗、變換、標(biāo)注和復(fù)用，古琴藝術(shù)在文本、圖像媒體、音頻視頻等媒體上的新呈現(xiàn)、新特征需要系統(tǒng)研究，古琴的自動(dòng)演奏、音色感知需要反復(fù)試驗(yàn)提煉，古琴文物、古琴古籍等需要修復(fù)和復(fù)用，這些挑戰(zhàn)都面臨交叉學(xué)科人才缺乏、數(shù)據(jù)孤島突出等亟待解決的問題.

1 古琴藝術(shù)數(shù)字化保護(hù)概述

古琴藝術(shù)的數(shù)字化工程涉及古琴藝術(shù)與信息技術(shù)的交叉領(lǐng)域，下面以古琴藝術(shù)的琴器、琴譜、琴家、琴制、琴藝、琴論、琴聲、琴派和琴人等為經(jīng)，以人工智能、數(shù)字媒體技術(shù)、AR(Augmented Reality)/VR(Virtual Reality)技術(shù)、大數(shù)據(jù)技術(shù)和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)等信息技術(shù)為緯，來分析古琴藝術(shù)數(shù)字化工程的內(nèi)涵.

1) 古琴記譜法的計(jì)算機(jī)研究

古琴樂譜記錄了音樂的信息，它采用記錄演奏技法的記譜方法，叫減字譜記譜法，與歐洲的五線譜記譜法相比，具有簡單易學(xué)的特點(diǎn)，但是也存在音符時(shí)值不能定量描述等缺陷，現(xiàn)存的古琴樂譜數(shù)量眾多，大約有3000多首不同琴譜，最早的琴譜是南北朝時(shí)丘明傳譜《碣石調(diào).幽蘭》[3]，這些樂譜中的大多數(shù)并沒進(jìn)行音樂演奏與分析，數(shù)字化研究具有廣闊的前景.組成古琴樂譜的譜字是由演奏的指法與音樂標(biāo)記構(gòu)成，每個(gè)譜字由若干個(gè)表示指法或音樂標(biāo)記的基本元素構(gòu)成，這些基本元素或者是一個(gè)漢字，或者是漢字的某個(gè)部分，漢字已經(jīng)有了相應(yīng)的編碼系統(tǒng)，但是漢字的某個(gè)部分不一定有相應(yīng)的編碼，因此，許多研究人員對減字譜記譜法進(jìn)行了編碼研究[4]，提出了一些有探索性的編碼系統(tǒng).

2) 古琴藝術(shù)的信息檢索

古琴藝術(shù)常以文字、樂譜、音頻、視頻、動(dòng)畫等數(shù)字媒體為載體，在這些蘊(yùn)含古琴信息的載體中，檢索用戶需要的信息，滿足用戶需求，是古琴信息檢索技術(shù)面臨的關(guān)鍵問題.如古琴樂譜的音樂信息識別問題，古琴樂譜的音樂符號是由漢字或者漢字的某個(gè)部件組成(即減字)，當(dāng)圖像分割得到古琴樂譜的音符以后，可以利用模式識別方法對這些音符進(jìn)行識別，對古琴譜字進(jìn)行識別面臨的主要困難有： 組成譜字的漢字或漢字部件的結(jié)構(gòu)多樣，漢字或漢字部件的數(shù)量眾多，譜字的各個(gè)部件之間粘連現(xiàn)象普遍，同一譜字的手寫體存在不同的形態(tài)特征，這些困難使得古琴譜字識別很難達(dá)到實(shí)用的地步，這是具有挑戰(zhàn)性的工作之一.古琴藝術(shù)的歷史、人物、作家、故事、古琴音樂理論、琴書等無不以文字為記錄的載體，古代大量的古琴研究文獻(xiàn)也是以文本記錄的信息為研究對象，對古琴文獻(xiàn)的信息檢索和分析研究是古琴藝術(shù)的重要研究方向之一.

3) 古琴音樂標(biāo)注與推薦

古琴音樂的標(biāo)注能更好的復(fù)用樂曲信息，音樂標(biāo)注可采用基于MIDI、MusicXML等數(shù)字音樂或五線譜和簡譜等的傳統(tǒng)音樂方式.一種古琴樂譜的文本標(biāo)記方法是： 最早的古琴樂譜的記譜法使用了漢字來記錄演奏的音符，稱為文字譜.文字譜閱讀與演奏都適合，但是往往一個(gè)音符需要許多漢字進(jìn)行說明，視奏非常不便，因此唐朝曹柔等發(fā)明了減字譜[5].減字譜記錄演奏方法顯得很簡潔，但帶來了無法存儲的問題，因此，需要對減字譜樂譜進(jìn)行文本標(biāo)記，用文字譜的方式對古琴樂譜進(jìn)行標(biāo)記，達(dá)到計(jì)算機(jī)與人類都能閱讀和處理的目標(biāo).

4) 古琴琴律的律學(xué)研究

古琴藝術(shù)的3000多年歷史是伴隨著琴律的動(dòng)態(tài)變化而發(fā)展的，琴律是基于中國傳統(tǒng)音樂理論而有別于西方音樂律制的民族律制，琴律研究和學(xué)術(shù)爭論一直是古琴藝術(shù)的一個(gè)焦點(diǎn)，通過構(gòu)建大容量的古琴樂譜數(shù)據(jù)庫、大容量的古琴琴律理論語料庫，利用人工智能方法構(gòu)建分析模型，尋找出琴律的歷史發(fā)展規(guī)律.

5) 古琴流派的音樂風(fēng)格分析和心理聲學(xué)與音樂感知

古琴與中國古代文人有千絲萬縷的關(guān)系，是古代文人素養(yǎng)的基本技能之一，3000多年的古琴情節(jié)，使得古琴深入到文人的日常生活與社交活動(dòng)中，但是由于古代中國地域遼闊，交通不便，音樂交流與感知共鳴受到地域影響，形成了不同的琴派，琴派內(nèi)的古琴演奏與教學(xué)傳播具有相似的音樂感知體驗(yàn)，琴派之間有一定的不同之處，如浙派古琴在演奏技法上更加圓潤與細(xì)膩，感知舒緩[6].古琴音樂流派的音樂風(fēng)格分析、流派音色與音效設(shè)計(jì)、心理聲學(xué)與音樂感知[7]等是一個(gè)值得研究的課題.

6) 古琴數(shù)據(jù)庫建設(shè)

數(shù)據(jù)庫是數(shù)據(jù)集散的主要方式之一，古琴藝術(shù)的數(shù)據(jù)具有多樣性、多源性、結(jié)構(gòu)化與非結(jié)構(gòu)化混合的特點(diǎn)，數(shù)據(jù)來源于古琴的樂器、樂譜、琴書、琴人、社團(tuán)等，這些數(shù)據(jù)以文本、圖像、視頻、音頻、3D數(shù)據(jù)等媒體呈現(xiàn).如創(chuàng)建3000多首琴譜的樂譜圖像數(shù)據(jù)庫，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)臉?biāo)注，這是一項(xiàng)基礎(chǔ)性工作.

7) 古琴數(shù)字信號處理

古琴的數(shù)字樂譜圖像和數(shù)字音頻是常見的信號處理對象.如古琴樂譜的圖像處理與分割，古琴樂譜圖像處理的目的是為了樂譜閱讀起來更清楚或方便，或者在保持原有信息不丟失的情況下，壓縮圖像的大小或存儲大小，或者把圖像轉(zhuǎn)換為二值圖像，為圖像分割等提供方便，或者去除噪音、角度校正等.圖像分割的目的是為了從樂譜圖像中提取出感興趣的目標(biāo)對象，如琴譜的譜字、樂曲名或其他音樂信息，古琴樂譜的圖像分割困難之處在于： 古代古琴樂譜是手寫樂譜，譜字之間或譜字與邊框之間時(shí)有粘連，譜字的大小不固定，有些譜字占用兩個(gè)常見譜字大小的空間，有些譜字是另一些譜字大小的一半，因此，提出合適的古琴樂譜圖像分割方法是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的工作.古琴音頻信號處理是在古琴音頻的錄制技術(shù)優(yōu)化的基礎(chǔ)上，對音頻信號進(jìn)行以去噪、增益、擴(kuò)縮、檢索、創(chuàng)建音色庫[8]等工作，達(dá)到古琴音樂復(fù)用的目的.

8) 古琴藝術(shù)的聲景研究

古琴與中國古代文人有著千絲萬縷的關(guān)系，在各類古代文獻(xiàn)中出現(xiàn)了大量文人與古琴的書畫，這些書畫的社會(huì)學(xué)、音樂學(xué)、建筑學(xué)分析，古代的琴弦蠶絲和現(xiàn)代鋼絲對演奏空間的要求和受眾有很大的區(qū)別，綜合分析這些因素，有利于豐富古琴藝術(shù)的聲景研究.

9) 古琴樂譜的智能打譜

打譜是古琴的特定行為[9].流傳至今的古琴樂曲多達(dá)3000多首，這些樂曲中只有少部分被現(xiàn)代琴家演奏，大量的樂曲尚未進(jìn)行挖掘.打譜就是對未被演奏的古琴樂曲進(jìn)行試奏，確定音調(diào)、音高、節(jié)奏、時(shí)值的過程，并得到對應(yīng)的五線譜樂譜或簡譜樂譜.打譜是一個(gè)艱苦的過程，不僅在于樂譜的節(jié)奏、時(shí)值等關(guān)鍵因素?zé)o法定量決定，更重要的是不少技法符號已經(jīng)無從考證.利用機(jī)器學(xué)習(xí)來處理未演奏的古琴樂曲，轉(zhuǎn)化為五線譜樂譜或簡譜樂譜的過程，稱為智能打譜，這是尚需要深入研究的領(lǐng)域之一.

10) 古琴的算法作曲

古琴樂譜的自動(dòng)生成是古琴記譜法與算法作曲相結(jié)合的音樂生成方法，它以音樂作曲理論為基礎(chǔ)，結(jié)合算法思想，把古琴記譜法運(yùn)用到自動(dòng)作曲中[10].古琴樂譜是指法演奏序列，指法序列中相鄰兩個(gè)指法之間存在一定的動(dòng)作關(guān)聯(lián)性，通過設(shè)定這些關(guān)聯(lián)動(dòng)作的產(chǎn)生規(guī)則，可以為古琴樂譜的自動(dòng)生成提供約束條件.這是一個(gè)值得研究的課題.

11) 古琴樂譜的電子版本的獲取

古琴樂譜的數(shù)字化的基礎(chǔ)工作是把紙質(zhì)版本樂譜變?yōu)殡娮影姹镜臉纷V，由于現(xiàn)代文檔的數(shù)字化技術(shù)非常成熟，電子版本能有效地保留原有的樂譜的音樂信息，并能以數(shù)字圖像的形式被保存、傳播與傳承.

12) 古琴樂譜的數(shù)字音樂格式存儲研究

古琴樂譜的音樂信息存儲主要針對樂曲的譜字的音高與時(shí)值信息，用MIDI、MusicXML等數(shù)字音樂格式存儲，由于現(xiàn)有的數(shù)字音樂格式是以歐洲的音樂理論為基礎(chǔ)的，參考了五線譜這一定量的記譜法的音樂知識，與古琴的記錄指法的記譜法有很大的區(qū)別，在對古琴樂譜的某些譜字做定量化處理時(shí)，會(huì)出現(xiàn)分歧現(xiàn)象，因此，古琴樂譜的音樂信息存儲需要設(shè)計(jì)特定的數(shù)字格式.

13) 古琴樂譜與五線譜樂譜的互相轉(zhuǎn)換

古琴樂譜與五線譜樂譜都記錄了音樂的信息，它們之間可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，但是面臨著下面的問題： 古琴樂譜是記錄演奏技法的樂譜，五線譜樂譜是記錄音符信息的樂譜；再者，同一音高的音符可以有多種不同的古琴演奏方法，最后，古琴演奏前后音符之間的弦序位置，右手的演奏方法有一定的制約性等.這些因素給兩種記譜法之間的相互轉(zhuǎn)換增加了難度.

14) 古琴樂譜的節(jié)奏分析

古琴樂譜記錄了演奏的技法，雖然有“急歷”等表示演奏速度的音樂符號，但是沒有精確的時(shí)值標(biāo)記，樂譜的節(jié)奏或節(jié)拍分析是樂譜分析的重要內(nèi)容之一，這也是古琴打譜的基礎(chǔ)性工作，古琴語料庫和數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)等有利于進(jìn)行樂譜的節(jié)奏分析.

15) 古琴樂譜的復(fù)原與修復(fù)

古琴樂譜年代久遠(yuǎn)，有些樂譜已經(jīng)破損或被污染，樂譜的復(fù)原與修復(fù)工作主要利用圖像的數(shù)字復(fù)原與修復(fù)技術(shù)，達(dá)到還原原有樂譜譜面的目的.

16) 古琴樂譜的重建

古琴樂譜的重建是利用原有的古琴樂譜，在圖形界面或Web界面下對樂譜進(jìn)行重建的過程，常見的有在微軟操作系統(tǒng)下的古琴字形創(chuàng)建與重建以及基于Web的古琴樂譜重建兩個(gè)研究方向.

17) 古琴樂譜的IO軟件系統(tǒng)與字體設(shè)計(jì)

古琴樂譜的輸入與演奏系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了古琴樂譜的人機(jī)界面交互、樂曲播放、文件保存?zhèn)鞑?、出版和印刷服?wù)[11]等功能，是一項(xiàng)基礎(chǔ)性的工作.

18) 古琴聲學(xué)研究

古琴音色由古琴樂器的琴體、琴弦、音律和演奏方法決定，古琴聲學(xué)研究內(nèi)容包括： 古琴音律的研究、古琴聲學(xué)特征分析、古琴音色的模擬合成、古琴音色采集、古琴音色庫建設(shè)[8]、VR古琴創(chuàng)建、古琴與其他樂器的音色比較等內(nèi)容.

19) 古琴語料庫

語料庫技術(shù)是針對真實(shí)語言材料的資料庫，古琴語料庫主要針對古琴樂譜的資料庫，包括曲名語料庫、樂譜語料庫、琴歌語料庫.曲名語料庫收集古琴曲名、曲作者、所屬的古琴樂譜集、頁碼范圍、題跋、流傳范圍、主要演奏代表等信息；樂譜語料庫收集古琴樂譜的曲名、作者、樂譜集名、題跋、段序、段名、譜字等，其中譜字可采用標(biāo)記文本來表示，達(dá)到用文字表示樂譜的目的；琴歌語料庫是古琴樂譜語料庫的子集，琴歌中的歌詞是漢字，所以可以在樂譜語料庫中增加歌詞信息，但是由于有些譜字本身就是漢字，為了避免歌詞與譜字混擾，可以把歌詞用符號”[]”進(jìn)行標(biāo)記，符號“[]”并沒出現(xiàn)在中國古代的樂譜文獻(xiàn)中，因此用它標(biāo)記歌詞比較合適.

20) 古琴演奏分析與輔助教學(xué)

古琴有著特殊的演奏技法，3000多年的發(fā)展歷史中，演奏技法不斷的動(dòng)態(tài)變化和完善，古琴演奏研究的主要內(nèi)容包括： 古琴演奏技法研究[12]，古琴書籍中的插圖的演奏姿勢分析，演奏姿勢的模式識別，演奏技法識別，左手演奏技法研究，古琴音頻處理、音樂信息識別(調(diào)性、節(jié)奏、音高、時(shí)值等)與標(biāo)注，古琴教學(xué)的輔助系統(tǒng)研究設(shè)計(jì)以及機(jī)器人古琴演奏等.

21) 古琴樂器學(xué)與文物研究

古琴樂器與其他樂器相比有不同的特征： 一般弦樂器的共鳴器只占樂器的一部分，古琴是全身；一般弦樂器的指板是一條很小的木片或木柱，古琴是全身的；一般的弦樂器共鳴腔正面是平的，古琴是圓弧的，等等.琴譜中所見古琴式樣達(dá)50余種，現(xiàn)今所見琴型大多數(shù)為仲尼式.古琴文物包括古琴樂器、古琴樂譜古籍、古琴藝術(shù)相關(guān)文物等.現(xiàn)存最古老的古琴為唐代(公元618—907年)所制，共有18張，唐以后留世的琴更多.古琴琴器的數(shù)字研究內(nèi)容包括： 斫琴過程的數(shù)字化，斫琴藝術(shù)的審美分析，VR古琴，古琴琴器形制、部件的改良?xì)v史研究，古琴文物的數(shù)字化保護(hù)，古琴文物的數(shù)字修復(fù)，古琴文物鑒定過程的數(shù)字化，古琴文物的數(shù)字鑒定，古琴文物的3D重建，文物拍賣等內(nèi)容.

22) 古琴音樂療法

主要研究人工智能在古琴音樂療法中的應(yīng)用，如古琴音樂療法與中醫(yī)心理的關(guān)系研究、古琴音樂與氣功養(yǎng)生療法的理論分析、古琴音樂療法對改善失眠癥的研究、古琴音樂療法與中醫(yī)兒科的臨床運(yùn)用等.

23) 古琴美學(xué)研究

古琴美學(xué)的研究通常會(huì)以個(gè)別事例為佐證，在大數(shù)據(jù)時(shí)代，針對大容量的古琴音頻數(shù)據(jù)庫和文本語料庫，利用人工智能方法對古琴美學(xué)特征進(jìn)行分析研究，包括琴樂演奏與美學(xué)認(rèn)知研究[13]、古琴與宗教美學(xué)研究、古琴美學(xué)的歷史發(fā)展研究、古琴與生態(tài)美學(xué)研究等.

24) 琴歌研究

琴歌是古琴藝術(shù)的重要組成部分，是一種古老的藝術(shù)形式，現(xiàn)存大約有500多首琴歌[14].琴歌一般都有故事情節(jié)，富有敘事性，利用古琴琴歌樂譜語料庫，結(jié)合自然語言處理(Nature Language Processing, NLP)技術(shù)對琴歌中的曲詞進(jìn)行分析研究，從社會(huì)學(xué)、歷史學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等多角度挖掘，還原古代社會(huì)的音樂生活.

2 琴律智能分析

表1 古琴13徽的徽位信息

古琴是七弦琴，它的音律同時(shí)使用了三分損益律與純律[15]，古琴的音色中散音的發(fā)生由三分損益律產(chǎn)生，而泛音則由純律產(chǎn)生.為了演奏泛音，古琴在制作的時(shí)候，在琴面上畫出了13個(gè)徽位，這些徽位以琴弦的岳山到龍齦為總長，2等分處為七徽，3等分處為五徽和九徽，4等分處為四徽、七徽和十徽，5等分處為三徽、六徽、八徽和十一徽，6等分處為二徽、五徽、七徽、九徽和十二徽，8等分處為一徽、四徽、七徽、十徽和十三徽，按弦長和頻率成反比來分析，13徽的產(chǎn)生符合純律的生律規(guī)則.表1對13徽與整條琴弦的比例關(guān)系進(jìn)行了描述.

古琴的7根空弦的音高，一般為五聲調(diào)式，其中的4弦中，兩兩互為八度關(guān)系，構(gòu)成了徵、羽、宮、商、角、清徵、清羽7聲.古琴音域?qū)拸V，正調(diào)下從國際標(biāo)準(zhǔn)音名大字組C到小字三組的d3，共有4個(gè)八度零1個(gè)大二度，最多可包含有51個(gè)不同音高的樂音.古琴的定弦法，一般有3種，分別是按音定弦法、泛音定弦法和散音定弦法.在按音定弦法中，先確定第3弦的音高，作為宮音，接著確定第1弦和第6弦的音高，接著在此基礎(chǔ)上確定第4弦的音高，再確定第2弦和第7弦的音高，最后確定第5弦的音高.圖2為按音定弦法的定弦順序.

圖2 古琴琴弦的按音定弦法Fig.2 Setting pitch method of Guqin strings

由圖2可知，在古琴7弦的按音定弦法用到的是九徽和十徽，由表1可知，它們對應(yīng)的頻率比分別是3/2和4/3，這正是三分損益法的音律構(gòu)建比例，假設(shè)第1弦到第7弦的散音頻率分別用p1～p7表示，可以得出如下的各弦散音的頻率之比：

p3=p1×4/3→p1/p3=3/4,
p3=p6×2/3→p6/p3=3/2,
p4=p1×3/2→p4/p1=3/2,
p4×3/2=p7→p7/p4=3/2,
p4=p2×4/3→p2/p4=3/4,
p7=p5×4/3→p5/p7=3/4.

(1)

2.1 琴律的建模

下面通過建模來計(jì)算正調(diào)下的各弦和各徽位的頻率，然后以十二平均律的頻率為標(biāo)準(zhǔn)，利用最近鄰法和K-Means聚類算法對各弦散音和各徽的泛音和按音進(jìn)行歸類，分析歸類規(guī)律.建模過程如下：

(1) 假設(shè)正調(diào)下第3弦宮弦的國際絕對音高為大字組F音，第5弦徵弦的國際絕對音高為大字組A音，大字組A音的頻率為110Hz.

(2) 按式(1)和表1，分別計(jì)算7弦散音的頻率和7弦13徽的按音和泛音的頻率，共得到98個(gè)頻率值.

(3) 對所有的散音、按音和泛音進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.

(4) 按大字一組A音的頻率為55Hz，利用十二平均律向上計(jì)算55個(gè)音的頻率，其Matlab代碼如下：

TwelveToneEqualTemperament=zeros(1,56);%大字一組A音，向上55個(gè)樂音的最高音為小字三組e3,超過了古琴的音域范圍大字組C音到小字三組d3

TwelveToneEqualTemperament (1)=55;

for i=1∶55

TwelveToneEqualTemperament (i+1)=TwelveToneEqualTemperament (1)*(2^(i*(1/12)));

end

(5) 比較和分析散音、按音、泛音和十二平均律樂音的頻率差.

(6) 利用最近鄰法對所有的按音分別歸類到十二平均律的對應(yīng)樂音中，其分類過程如下：

a) 對于任意一個(gè)待分類頻率p，計(jì)算p與數(shù)組TwelveToneEqualTemperament中每個(gè)元素的差的絕對值，組成絕對值差數(shù)組，記為pT；

b) 找出數(shù)組pT中的最小元素，記此最小元素的下標(biāo)為k；

c) 得分類頻率p屬于十二平均律中下標(biāo)為k的樂音；

d) 循環(huán)上述3步，確定所有的散音、按音和泛音的十二平均律樂音類別.

(7) 對泛音進(jìn)行(6)過程.

(8) 利用K-Means聚類算法，對按音分別歸類到十二平均律的對應(yīng)樂音中，其分類過程如下：

a) 把十二平均律計(jì)算得到的56個(gè)頻率加入到琴律的按音構(gòu)成樣本頻率集D，其中d表示D的一個(gè)樣本；

b) 以十二平均律的k=56個(gè)頻率作為k個(gè)簇的起始均值；

c) 對每個(gè)樣本d，計(jì)算它到k個(gè)簇的均值之間的距離，取其中距離最短的距離對應(yīng)的均值的標(biāo)記作為該樣本的簇標(biāo)記，然后將該樣本加入相應(yīng)的簇；

d) 對每一個(gè)簇計(jì)算他們新的均值；

e) 如果相比之前的均值有變化，就更新，將其作為新的均值，如果沒有變化，均值就不變；

f) 循環(huán)對D的所有樣本d進(jìn)行以上c)～e)步，循環(huán)1000次，若相鄰兩次循環(huán)時(shí)的分類結(jié)果相同，則停止循環(huán).

(9) 對泛音進(jìn)行(8)過程.

(10) 比較最近鄰法和K-Means聚類算法的分類結(jié)果.

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖3 古琴各琴弦的不同徽位的泛音和按音頻率Fig.3 Anyin and Fanyin frequency of different emblems of the Guqin strings

由建模第(2)步，可以得到圖3各弦泛音和按音的頻率計(jì)算的結(jié)果.由圖3可知，在泛音情況下，各弦的不同徽位的頻率以七徽為對稱軸，呈現(xiàn)左右對稱的現(xiàn)象，在按音情況下，各弦的不同徽位的頻率按徽位大小逐步下降.

由建模第(3)步對按音和泛音的相同頻率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果見表2.由表2可知，泛音出現(xiàn)頻率相同的徽位較多，如有6個(gè)徽位泛音的頻率相同的次數(shù)出現(xiàn)4次.

由建模過程(5)～(8)，分別利用最近鄰法和K-Means聚類算法對91個(gè)泛音和按音進(jìn)行分類，對分類后的每個(gè)泛音和按音與其所屬類里的十二平均律計(jì)算頻率差.91個(gè)泛音和91個(gè)按音分類后的音高用MIDI碼表示，分類結(jié)果見圖4和圖5.

表2 對相同頻率的泛音和按音統(tǒng)計(jì)

圖4 按音的最近鄰法和K-Means聚類算法的分類結(jié)果Fig.4 Classification results by nearest neighbor method and K-Means clustering algorithm for Anyin

圖5 泛音的最近鄰法和K-Means聚類算法的分類結(jié)果Fig.5 Classification results by nearest neighbor method and K-Means clustering algorithm for Fanyin

圖6 古琴泛音和按音與其所屬類的十二平均律音律的絕對值頻率差Fig.6 The absolute frequency difference between Anyinand Fanyin temperament of the sound and its class

由圖4和圖5可知，每個(gè)最近鄰法分類點(diǎn)和K-Means聚類算法的分類點(diǎn)都出現(xiàn)在同樣的空間位置，泛音和按音的最近鄰法和K-Means聚類算法的分類結(jié)果是一樣的.然后對每個(gè)泛音和按音與其所屬類里的十二平均律計(jì)算其絕對值頻率差，得到圖6，其中最大的絕對值頻率差為7.4033Hz.

3 結(jié) 語

古琴藝術(shù)作為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，在數(shù)字信息時(shí)代還有大量的數(shù)字化保護(hù)工作需要攻關(guān)與完成.通過對正調(diào)下古琴的琴弦的泛音和按音兩種音色的琴律建模，首次利用人工智能的模式分類方法對音律進(jìn)行分析，取得了良好的效果.