基于動態(tài)規(guī)劃的自適應(yīng)和弦編配算法研究

鄧 陽，周 莉，許 多，岳誠成，游夢琪，周蕊格

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 藝術(shù)與傳媒學(xué)院，武漢 430074; 2.同濟大學(xué) 道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804; 3.倫敦大學(xué)學(xué)院 全球繁榮研究所，英國倫敦 WC1E 6BT; 4.亞利桑那州立大學(xué) 赫伯格藝術(shù)與設(shè)計學(xué)院，美國坦佩 85281)

和弦編配是音樂創(chuàng)作中的一個重要的環(huán)節(jié)，它對加強旋律的感情色彩，增強音樂作品的表現(xiàn)力有著重要的意義.傳統(tǒng)作曲中的和弦編配主要采用耗時較長的人工完成.由于和弦編配可以看作是一個多階段決策的過程，本文提出一種基于動態(tài)規(guī)劃的自適應(yīng)和弦編配算法，以推動現(xiàn)代算法作曲技術(shù)的快速發(fā)展.

自20世紀60年代以來，許多啟發(fā)式算法被開發(fā)出來，將規(guī)則與模擬自然現(xiàn)象的隨機性相結(jié)合，這些算法被不同程度地運用到了音樂科技領(lǐng)域.這些技術(shù)包括： 動態(tài)規(guī)劃(Dynamic Programing, DP)、模擬退火(Simulated Annealing, SA)、禁忌搜索(Tabu Search, TS)和進化算法(Evolutionary Algorithms, EA)等.

1966年Bellman[1]提出了動態(tài)規(guī)劃方法，動態(tài)規(guī)劃的核心是貝爾曼最優(yōu)性原理.這個原理可以歸結(jié)為一個基本的遞推公式，求解多級決策問題時，從末端開始，到始端為止，逆向遞推.該原理適用的范圍十分廣泛，例如離散系統(tǒng)、連續(xù)系統(tǒng)、線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、確定系統(tǒng)以及隨機系統(tǒng)等.1983年，Kirkpatrick等[2]提出了模擬退火算法的創(chuàng)新思想，模擬退火算法是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一種隨機尋優(yōu)算法，其出發(fā)點是基于物理中固體物質(zhì)的退火過程與一般組合優(yōu)化問題之間的相似性.禁忌搜索算法早在1977年就被Glover[3]提出來.禁忌搜索算法從過去的搜索歷史中總結(jié)經(jīng)驗和獲取知識，避免“犯錯誤”，因此是一種智能優(yōu)化算法.

遺傳算法是一種基于自然選擇和種群遺傳機制的搜索算法，由4種啟發(fā)式算法組成： 遺傳算法、進化策略、進化規(guī)劃和遺傳規(guī)劃.該理論由Holland[4]提出，后續(xù)Goldberg[5]將此算法進行了發(fā)展.各種算法都有各自的優(yōu)勢與不足，根據(jù)具體情況采用合適的算法將極大程度地提高問題的解決效率.

目前動態(tài)規(guī)劃的運用在我國主要集中在工程領(lǐng)域，張化光等[6]對國內(nèi)外自適應(yīng)動態(tài)規(guī)劃方法進行了比較詳細的總結(jié)，并對這一研究領(lǐng)域仍需解決的問題和未來的發(fā)展方向作了進一步的展望.劉柏私等[7]將動態(tài)規(guī)劃運用在配電網(wǎng)重構(gòu)模型當中，通過算例說明該算法具有較強的工程實用性.音樂相關(guān)研究主要集中在對和弦的識別上.閆志勇等[8]提出一種基于瞬時頻率提取音級輪廓(Pitch Class Profile, PCP)特征的改進算法，通過動態(tài)規(guī)劃法提取信號的節(jié)拍信息，此改進算法的和弦識別率相比傳統(tǒng)算法有一定的提升.孫佳音等[9]根據(jù)音樂認知心理學(xué)原理，提出一種基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artificial Neural Network, ANN)的和弦實時感知方法，此方法的識別率與相關(guān)領(lǐng)域先進方法的效果不相上下.秦媛媛[10]提出的基于聽覺圖像的和弦識別算法最高正確識別率為76.2%，比同樣基于人耳聽覺特性的梅爾頻率倒譜系數(shù)(Mel-Frequency Cepstral Coefficients, MFCC)特征正確識別率高20.4%.Zong等[11]提出了一種新的和弦搜索優(yōu)化算法，并通過一些例子證明了算法的可行性，但是在優(yōu)化的方法上缺乏和弦體系的理論支持.

綜上所述，我國音樂和弦的算法研究已有一定的積累，目前主要集中在和弦的識別上，鮮少有涉及到和弦編配算法的研究.針對以上問題，本文結(jié)合伊·斯波索賓的和聲理論體系[12]，將動態(tài)規(guī)劃方法運用到音樂創(chuàng)作的和弦編配當中，提出和弦體系構(gòu)造函數(shù)(Constructor Function of Chord System, CFCS)，將音樂中的和弦邏輯公式化，進而與動態(tài)規(guī)劃方法相結(jié)合，實現(xiàn)機器自動編配和弦，以此來推動算法與音樂作曲技法的協(xié)同發(fā)展.

1 模型描述

本文的研究范圍主要為大調(diào)的三和弦功能體系，以樂句為主要實驗對象，采用伊·斯波索賓和聲理論體系下的和弦進行邏輯為優(yōu)化目標，暫不涉及特殊和弦的編配及和弦的轉(zhuǎn)位.

1.1 和弦功能體系

音樂是人類情感的一種藝術(shù)表達載體，構(gòu)成音樂的信息是極其復(fù)雜的，通常主要由旋律和伴奏組成，其中和弦在伴奏中占據(jù)非常重要的地位，是伴奏編配的核心基礎(chǔ).和弦是音樂基本理論中的一個概念，指的是幾個音按照一定的音程關(guān)系構(gòu)成的一組音高邏輯.從和聲學(xué)的觀點來看，和弦之間存在著一種主三和弦傾向性，這個傾向性將各個和弦統(tǒng)一起來形成一種相互關(guān)聯(lián)的體系，這個體系就是和弦的功能體系[12].

調(diào)式中每個和弦都承擔(dān)著各自的功能，例如在C大調(diào)中以C為主音構(gòu)成的大三和弦在這個調(diào)式中承擔(dān)著主功能的作用.

圖1所示為在C大調(diào)的基礎(chǔ)上構(gòu)建的一套和弦功能體系，這個體系分別包含主功能組(T功能組)、下屬功能組(S功能組)、屬功能組(D功能組)，每個功能組中包含一個主三和弦(T，S，D)和兩個副三和弦(SⅡ，TSⅥ，DTⅢ，DⅦ)，每相鄰功能組有一個重疊的和弦，重疊的和弦同時擁有兩個和弦的功能.

圖1 三和弦的功能組Fig.1 Function group of triad

1.2 和弦進行邏輯

和弦的進行具有一定的邏輯.幾個連續(xù)的和弦就構(gòu)成了和弦進行.音樂作品的這種和弦進行可以在一定的節(jié)奏形式中，也可以脫離了前后的音樂，作為一個孤立的部分提出來.最簡單的和弦進行以及其邏輯基礎(chǔ)就是在主和弦之后引入一個或幾個不穩(wěn)定和弦，形成明顯的緊張性，這種緊張再次進行到主和弦時得到解決.圖2所示的是完全由主三和弦構(gòu)成的和弦的基本進行邏輯，從一開始的主功能T進行到下屬功能S，再進行到屬功能D，最終終止在主功能T.

完全由主功能和弦構(gòu)成的和弦進行相對單調(diào)，通常和弦進行中還會有副三和弦.圖3所示為加入了副三和弦的和弦進行邏輯，在主三和弦的功能基礎(chǔ)上擴展開副三和弦，相對于主功能和弦進行邏輯要豐富很多.本文主要基于以上和弦的進行邏輯展開研究與算法設(shè)計，暫不考慮特殊的和弦進行.

1.3 和弦編配模型的構(gòu)建

音樂的和弦編配是一個有若干階段的連續(xù)過程，基于動態(tài)規(guī)劃的決策思路，利用計算機對和弦的編配路徑進行搜索將極大提高作曲中和弦編配的效率，同時也可以極大程度地避免和弦編配中的不良進行.整個求解過程就是尋求一條最佳的和弦編配路徑： 從起始點逐步計算最優(yōu)函數(shù)，同時記錄前驅(qū)路徑，到達終點后回溯出最優(yōu)的路徑.

圖2 和弦進行的基本方向Fig.2 The basic direction of chord progression

圖3 補充副三和弦進行的基本方向Fig.3 The basic direction of chord progression of supplement secondary triad

動態(tài)規(guī)劃的主要決策思路是把問題求解過程分解為若干個不同階段問題的求解過程，其模型中的主要變量包括： 階段變量、狀態(tài)變量、決策變量[14].

階段變量表示決策過程中的階段數(shù)，每一次和弦選擇都是一個決策階段.和弦進行的前者與后者具有較大的關(guān)聯(lián)，不同的和弦選擇也將對應(yīng)不同的指標函數(shù).狀態(tài)變量表示每個階段開始面臨的自然狀況或客觀條件.本文中，狀態(tài)變量就是在每一個和弦選擇時的若干選項，這些選項通過對每次可編配的調(diào)內(nèi)和弦搜索獲得.決策變量表示在某一個確定狀態(tài)下的決策選擇.當選擇和弦功能的時候，前一個狀態(tài)變量按照決策變量通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可得到后一個狀態(tài)變量，每條路徑選擇將對應(yīng)一個指標函數(shù)，通過從起始階段到達終點后將可以獲取一條全局最優(yōu)決策路徑.

在和弦的選擇過程中，任何一個階段的不恰當選擇都有可能導(dǎo)致后階段出現(xiàn)和弦的不良進行，本文目前僅基于一般和弦功能進行邏輯并以規(guī)避和弦不良進行和提高和弦豐富性為基本出發(fā)點來進行模型的構(gòu)建.

2 算法設(shè)計

2.1 和弦體系構(gòu)造函數(shù)(CFCS)： FFOH(MAj,i)

音樂作品中每一個調(diào)都擁有特定的功能體系，這個功能體系決定了動態(tài)規(guī)劃中每個階段的狀態(tài)Sk.定義變量和弦功能名稱(Function of Harmony, FOH)用FOH表示，F(xiàn)OH∈{T,SⅡ,DTⅢ,S,D,TSⅥ,DⅦ}，變量j表示每個調(diào)式的名稱，分別對應(yīng)12個自然大調(diào)，即j∈{C，C#，D，D#，E，F(xiàn)，F(xiàn)#，G，G#，A，A#，B}.MA(Musical Alphabet, MA)表示調(diào)名與12個自然大調(diào)的一種映射關(guān)系，MAj∈{0,1,2,…，11}.

三和弦分別由根、三、五音依次疊加構(gòu)成，主三和弦由大三度(根音與三音相隔4個單位音高序號)加小三度(三音與五音兩音相隔3個單位音高序號)疊加構(gòu)成，副三和弦中除DⅦ和弦外都由小三度加大三度疊加構(gòu)成，DⅦ和弦由兩個小三度音程疊加構(gòu)成.基于這種和弦構(gòu)成邏輯聯(lián)立調(diào)式音階構(gòu)造函數(shù)，按照和弦的音程關(guān)系，從而定義CFCS為FFOH(MAj，i)：

(1)

式中： 音高變量N的下標r表示和弦根音(root)；t表示和弦的三音(third)；f表示和弦五音(fifth)；變量i表示和弦在音高上所屬的組別，i∈{0,1,2,…，10}.

例如基于C大調(diào)的和弦功能體系如下：

FT(MAC,i)={00,30,70,…,12710}，

FSⅡ(MAC,i)={20,50,90,…,12510}，

FDTⅢ(MAC,i)={40,70,110,…,12710}，

FS(MAC,i)={60,100,130,…,12610}，

FD(MAC,i)={70,110,140,…,12710}，

FTSⅥ(MAC,i)={90,120,160,…,12010}，

FDⅦ(MAC,i)={110,140,170,…,12510}.

2.2 自適應(yīng)和弦功能選項搜索算法

圖4 自適應(yīng)和弦功能選項搜索算法的流程圖Fig.4 Flow chart of adaptive chord function option search algorithm

為指定音樂的旋律聲部編配和弦是給一個旋律配上合乎邏輯的、連續(xù)的和弦進行，所配和弦必須以對這個聲部各個音的功能意義及它們的相互關(guān)系和發(fā)展的理解作為基礎(chǔ).在動態(tài)規(guī)劃中，所有的階段變量可通過自適應(yīng)和弦匹配算法獲取，具體算法流程如圖4所示.

算法首先根據(jù)旋律所屬調(diào)式，通過CFCS構(gòu)建調(diào)式內(nèi)和弦的功能體系，再通過遍歷搜索所有調(diào)內(nèi)和弦中是否包含待配和弦的旋律音高，進而構(gòu)建出可編配和弦集合Sk，將Sk作為動態(tài)規(guī)劃中的狀態(tài)變量.

2.3 動態(tài)規(guī)劃和弦編配算法

根據(jù)動態(tài)規(guī)劃模型，把和弦編配的過程分為若干個相互聯(lián)系的階段，以便能按一定的次序求解，描述階段的變量稱為階段變量.本文以每次和弦功能的選擇的次數(shù)作為階段數(shù).

狀態(tài)表示每個階段開始所處的自然狀況或客觀條件，它既是該階段重構(gòu)組合的起點，又是前一階段重構(gòu)組合的終點.通常一個階段有若干狀態(tài)，第k階段的狀態(tài)就是第k階段所有可編配和弦選項的集合，本文用Sk表示第k階段的所有狀態(tài)變量的總和，稱為狀態(tài)集合.

決策表示對某一階段的可編配和弦的選擇，用Uk表示第k階段的決策變量，不同的階段都要做出相應(yīng)的決策，由每階段的決策Uk(Xk)(k=1,2,…,n)組成的決策函數(shù)序列稱為全過程策略，用Pk(Xk)表示，其中最優(yōu)策略為Pk(Xk)*，即：

Pk(Xk)={U1(X1),U2(X2),…,Un(Xn)},

(2)

Pk(Xk)*={U1(X1)*,U2(X2)*,…,Un(Xn)*}.

(3)

給定第k階段狀態(tài)Sk，若該階段的決策變量Uk一旦確定，則第k+1階段的變量Sk+1也就完全確定，即

Sk+1=Tk(Sk，Uk).

(4)

通過CFCS可以獲得調(diào)式內(nèi)所有和弦的功能系統(tǒng)，只要單個和弦的功能集合包含待編配和弦的音符，則這個和弦將作為動態(tài)規(guī)劃中的一個狀態(tài).例如為C大調(diào)作品配和弦，第1個待編配和弦的MIDI音高序號是60，而FT(MAC,i)，F(xiàn)TSⅥ(MAC,i)，F(xiàn)S(MAC,i)均包含60，則第1階段的所有狀態(tài)變量的集合為S1={T，TSⅥ，S}.

指標函數(shù)是用來衡量決策過程中某一決策序列(多次和弦進行序列的集合)優(yōu)劣的一種數(shù)量指標，用Vk,n表示，即

Vk,n=Vk,n(Sk,Uk,Sk+1,Uk+1,…,Sn,Un,Sn+1).

(5)

根據(jù)和弦的進行邏輯，設(shè)和弦進行的基本方向集合Cb={TS，SD，DT}，加入副三和弦后集合Cp={TTSⅥ,TSⅥS,SSⅡ,SⅡD,DDⅦ,DⅦT,DT,DTⅢT,DⅦTSⅥ,SⅡDTⅢ}，同時考慮到和弦的豐富性，符合和弦的進行邏輯的和弦進行賦予較大指數(shù)，對于不符合和弦進行的和弦功能選擇則賦予較小指數(shù)，指數(shù)越大表示越優(yōu).定義指標函數(shù)如下(k=0,1，…，n)：

(6)

所有階段指標函數(shù)的和為

(7)

指標函數(shù)的最優(yōu)值稱為最優(yōu)函數(shù)，記為Fk(Sk)，表示從第k階段的狀態(tài)Sk開始到第n階段的終止狀態(tài)的過程，采取最優(yōu)策略所得到的指標函數(shù)值，即

Fk(Sk)=OPTVk，n(Sk,Uk,Sk+1,Uk+1,…，Sn,Un,Sn+1).

(8)

全局最優(yōu)目標函數(shù)為

(9)

3 算例與實驗

3.1 算例

本文根據(jù)柴可夫斯基《杜鵑》作品之八中的選段進行算例實驗.樣本譜例如圖5所示，樣本是一首G大調(diào)的作品，包括7個待編配和弦的音符.

圖5 柴可夫斯基《杜鵑》作品之八中的選段譜例
Fig.5 The example of selected passages in 8 of Tchaikovsky’sCuckoo

通過CFCS，階段數(shù)k∈{0，1,2,3,4,5,6}，構(gòu)建基于G大調(diào)的和弦功能系統(tǒng)FFOH(MAG,i)，通過自適應(yīng)和弦搜索算法可得到每個階段的和弦備選集合Sk，S1={T,S,TSⅥ}，S2={TSⅥ,S,SⅡ}，S3={SⅡ,S,DⅦ}，S4={SⅡ,DⅦ,D}，S5={T,D,DTⅢ}，S6={T,DTⅢ,TSⅥ}，S7={T,S,TSⅥ}.

構(gòu)建動態(tài)規(guī)劃模型如圖6(第398頁)所示.

根據(jù)指標函數(shù)F(Vk)對所有的路徑進行賦值，如圖7(第398頁)所示，通過動態(tài)規(guī)劃方程求解，得到一條最優(yōu)路徑如圖8(第398頁)所示.

圖6 動態(tài)規(guī)劃狀態(tài)變量模型Fig.6 The model for dynamic programming state variable

圖7 動態(tài)規(guī)劃指標函數(shù)F(Vk)模型Fig.7 The model for dynamic programming indicator function F(Vk)

圖8 最優(yōu)求解圖Fig.8 The diagram for optimal solution

圖8所示模型分0～6共7個決策階段，通過計算得出全局最優(yōu)路徑以紅色實線標出.通過求解，最終得出一條最優(yōu)路徑P*，與作品本身的和弦編配完全一致，結(jié)果如下：

P*={T，TSⅥ，S，SⅡ，D，DTⅢ，T}.

所以，《杜鵑》作品之8中選段的和弦編配如圖9所示.

圖9 和弦編配圖

Fig.9 The chart for chord arrangement

3.2 實驗

本文選取伊·斯波索賓的《和聲學(xué)教程》中的5個和弦編配樣本(例18-245、例18-246、例20-267、例14-184、例17-233)對本算法進行了測試，測試結(jié)果如表1所示.

表1 算例實驗的結(jié)果

盡管結(jié)果均不完全與標準示例一致，但由于和弦的編配本身是具有一定彈性的，無嚴格統(tǒng)一標準，并且實驗結(jié)果與標準示例有較高重合率，故本實驗總體結(jié)果為良好，實驗證明本算法是有效可行的.

4 結(jié) 語

本文提出和弦體系構(gòu)造函數(shù)(CFCS)，將音樂中的和聲學(xué)邏輯通過數(shù)學(xué)模型進行量化，通過設(shè)計一種自動和弦編配的動態(tài)規(guī)劃算法，充分考慮和弦編配的邏輯性、連續(xù)性，將階段變量、狀態(tài)變量、決策變量、策略變量、指標函數(shù)等一系列動態(tài)規(guī)劃指標完全滲入到音樂的和弦編配過程，最后通過對多個旋律樣本開展自動和弦編配實驗測試，評估結(jié)果顯示本算法所自動編配的和弦具有良好的和聲進行，是有效可行的.