基于可拓學(xué)與仿生學(xué)的板殼結(jié)構(gòu)設(shè)計

(濟南大學(xué) 機械工程學(xué)院，山東 濟南 250022)

板殼結(jié)構(gòu)以其輕量化、承載能力強和易于加工的特點而廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車工業(yè)、輪船制造等領(lǐng)域[1]。為了實現(xiàn)輕量化和強承載能力，一種典型的設(shè)計是在基板上布置加強筋，在實現(xiàn)輕量化的同時，也能保證具有足夠的承載能力。傳統(tǒng)的加強筋多為米字型、井字型等簡單設(shè)計[2]。隨著拓撲優(yōu)化理論的不斷完善[3-4]，許多學(xué)者將變密度、均勻化和漸進結(jié)構(gòu)應(yīng)用到板殼結(jié)構(gòu)設(shè)計中[5-6]。由于離散拓撲優(yōu)化理論可適用算例較少，而且優(yōu)化結(jié)果極易出現(xiàn)棋盤格式、網(wǎng)狀格式等傳統(tǒng)布局格式，因此應(yīng)用范圍十分有限。

隨著近年來仿生學(xué)的發(fā)展，一些學(xué)者開始將仿生學(xué)應(yīng)用于板殼結(jié)構(gòu)的設(shè)計。仿生學(xué)的運用為板殼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計提供了新的設(shè)計思路。丁曉紅等[7-8]、季學(xué)榮等[9]根據(jù)植物根系的生長機理，提出一種自適應(yīng)成長算法設(shè)計，用于板殼結(jié)構(gòu)加強筋布局設(shè)計。植物根系總能根據(jù)自身所處環(huán)境自適應(yīng)成長而使整體功能達到最優(yōu)，將該特點運用到板殼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計中，提高了優(yōu)化設(shè)計的效率。薛開等[10]根據(jù)雙子葉植物葉脈脈序生長規(guī)律，提出一種適用于板殼結(jié)構(gòu)加強筋布局設(shè)計的仿生脈序生長算法。根據(jù)該算法得到的加強筋板材易于加工，增強效果明顯。目前，仿生板殼結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域的研究主要集中在仿植物根系或者葉脈脈序，對飛行昆蟲的研究較少。蜻蜓、蟬等飛行昆蟲的翅膀質(zhì)量僅占體質(zhì)量的1%～2%，但是能夠保證飛行過程中極高的穩(wěn)定性和承載能力。本文中以蟬翼為仿生對象，通過將可拓學(xué)與仿生學(xué)相結(jié)合，分析蟬翼的構(gòu)成及機理，探討各組織結(jié)構(gòu)對承載能力的貢獻度，利用各結(jié)構(gòu)貢獻度的大小對板殼結(jié)構(gòu)進行仿生設(shè)計，利用有限元軟件對仿生模型和傳統(tǒng)模型進行仿真分析。

1 仿生可拓模型構(gòu)建

1.1 仿生學(xué)與可拓學(xué)

仿生學(xué)是利用在生物界發(fā)現(xiàn)的機理和規(guī)律來解決人類需求的綜合性交叉學(xué)科[11]。它將生物經(jīng)過億萬年進化逐漸具有的各種與生存環(huán)境高度適應(yīng)的功能特性移植到相應(yīng)的工程技術(shù)領(lǐng)域中，為人類提供靈活、高效的技術(shù)系統(tǒng)[12]。目前，仿生領(lǐng)域以單元仿生為主，例如材料仿生、形態(tài)仿生、結(jié)構(gòu)仿生、構(gòu)型仿生等。近幾年，隨著仿生學(xué)的發(fā)展，單元仿生向多元仿生發(fā)展成為新的趨勢。多元耦合仿生是仿生學(xué)的最新發(fā)展成果，其中生物耦元是指對生物功能實現(xiàn)有貢獻的各種因素，是構(gòu)成生物耦合的基本單元[13-14]；生物耦合是指2個或2個以上耦元通過一定的方式組合在一起，成為一個系統(tǒng)或生物實體。多元耦合仿生可以解決部分傳統(tǒng)單元仿生難以解決的問題。

可拓學(xué)是一門涵蓋哲學(xué)、數(shù)學(xué)和工程學(xué)的交叉學(xué)科，由蔡文[15]于1983年首先提出?？赏貙W(xué)的核心是基元理論、可拓集理論和可拓邏輯。近年來，可拓學(xué)研究者把可拓論和可拓創(chuàng)新方法與其他領(lǐng)域相關(guān)知識交叉融合產(chǎn)生了可拓工程，例如與信息科學(xué)交叉融合，以物元、事元和關(guān)系元表示信息建立信息和知識的形式化模型，通過可拓變換和可拓推理建立了解決問題的模型[16-17]。洪筠等[18]將可拓論與生物耦合相結(jié)合，提出生物耦合可拓分析法，對生物耦合與生物模本進行分析。對于多元耦合生物模本的可拓研究有助于分析其耦合機理，通過生物模本的軟、硬分析可揭示生物的系統(tǒng)組成和內(nèi)外關(guān)系。

1.2 優(yōu)選多元耦合仿生模本

生物模本是仿生學(xué)的基礎(chǔ)，如果沒有生物模本，則仿生即為無本之木、無源之水。仿生模本的優(yōu)選直接關(guān)系到仿生設(shè)計的成敗，因此在仿生設(shè)計時，生物模本必須優(yōu)選。在優(yōu)選過程中首先要對目標(biāo)需求進行需求分析，然后尋找與其有相似性的仿生模本。

1.3 生物耦元的確定與可拓模型構(gòu)建

式中：Ch為生物硬部特征；Vh為生物硬部特征所對應(yīng)的量值；h(Om)為生物硬部，由n個特征Ch1,Ch2,…,Chn，以及所對應(yīng)的n個量值Vh1,Vh2,…,Vhn組成的陣列構(gòu)成；Cf為生物軟部特征；Vf為生物軟部特征所對應(yīng)的量值；f(Om)為生物軟部，由n個特征Cf1,Cf2,…,Cfn，以及所對應(yīng)的n個量值Vf1,Vf2,…,Vfn組成的陣列構(gòu)成。

同理，根據(jù)潛、顯分析結(jié)果，潛部用t(Om)表示，顯部用p(Om)表示，則Om=t(Om)+p(Om)。依據(jù)可拓共軛理論建立生物可拓模型的步驟見圖1。

圖1 可拓分析模型

1.4 判斷矩陣構(gòu)造與生物耦元貢獻度計算

生物各組織結(jié)構(gòu)對于生物功能實現(xiàn)的貢獻度是不同的。精確計算各生物結(jié)構(gòu)對生物功能實現(xiàn)的貢獻度可使工程仿生的目標(biāo)更加明確，從而提高仿生設(shè)計的效率。層次分析法有較嚴格的數(shù)學(xué)依據(jù)，廣泛應(yīng)用于多層次、多指標(biāo)復(fù)雜系統(tǒng)的分析與決策，非常適合生物耦元重要度的分析?；谠囼瀮?yōu)化的層次分析法的基本思路如下：1)選定生物模本，用符號表示生物系統(tǒng)結(jié)構(gòu)集合X={x1,x2,…,xn}，n為生物系統(tǒng)耦元的總個數(shù)。2)根據(jù)生物耦元分析表列出判斷矩陣A，其中的元素xij為生物系統(tǒng)耦元xi相對于生物系統(tǒng)耦元xj的重要程度(i、j為生物系統(tǒng)耦元順序，1≤i≤n,1≤j≤n)，其取值為標(biāo)度，如表1所示。矩陣A中xji的取值為xij的倒數(shù)，即xji=1/xij。求解矩陣A的最大特征根及所對應(yīng)的特征向量，經(jīng)歸一化處理后，得出各生物結(jié)構(gòu)對功能實現(xiàn)的貢獻度。3)通過計算判斷矩陣的一致性檢驗，得出每個生物結(jié)構(gòu)的貢獻度。一致性檢驗公式為

(1)

(2)

式中：E為矩陣A的一致性檢驗指標(biāo)；λmax為矩陣A的最大特征根；r為隨機一致性比例；I為矩陣A的隨機平均一致性檢驗指標(biāo)。當(dāng)n為0、1、2、3、4、5時，I取值為0、0、0.58、0.90、1.12、1.24。

表1 判斷矩陣標(biāo)度及其含義

用一致性比例r的取值來檢驗一致性，當(dāng)r=0時，判斷完全一致；r>0,且r<0.1時，A具有滿意的一致性，否則需要調(diào)整判斷矩陣A。

2 蟬翼仿生可拓模型構(gòu)建

2.1 板殼結(jié)構(gòu)仿生模本優(yōu)選

蟬又名知了，是飛行昆蟲中較大型的昆蟲[20]。其翅膀的質(zhì)量僅占自身體質(zhì)量的1%～2%，但是蟬在飛行過程中能表現(xiàn)出極高的穩(wěn)定性和承載能力。將蟬翼質(zhì)量與身體按比例擴大，是相同質(zhì)量飛機機翼承載能力的10倍以上。板殼結(jié)構(gòu)既需要輕量化又需要強大的承載能力，該主要功能需求與蟬翼承載功能有很大的相似性，因此將蟬翼作為仿生模本。

蟬翼主要由不同尺寸的翅脈和一定剛度的翅膜組成。蟬的翅脈通常分為前翅脈、后翅脈、中間支脈、加固尾脈4個部分，如圖2所示，其尺寸如表2所示，其中部分數(shù)據(jù)引自文獻[21]。蟬翼的翅脈為整個蟬翼提供了主要的支撐結(jié)構(gòu)。

圖2 蟬翼示意圖

表2 蟬翼翅脈結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)

翅膜主要由表皮和表面蠟質(zhì)材料構(gòu)成。表皮由一層網(wǎng)格狀的纖維構(gòu)成，可以使翅室在各個方向同時抵抗載荷，同時也可以提高臨近單元的翅脈的抗彎曲性和扭曲度。表皮材料主要由幾丁質(zhì)(蛋白質(zhì)和脂類化合物)和基質(zhì)構(gòu)成。在近翅端，翅膜厚度約為0.12 mm，在遠翅端翅膜厚度約為0.04 mm，材料密度為1 mg/mm3。

2.2 蟬翼仿生多元耦合可拓模型構(gòu)建

對蟬翼進行機理分析可知，蟬翼承載功能的實現(xiàn)是由翅膜形態(tài)、翅脈結(jié)構(gòu)分布以及纖維組織和幾丁質(zhì)材料共同作用的結(jié)果，因此確定蟬翼生物耦合的耦元為翅膜形態(tài)耦元、翅脈結(jié)構(gòu)耦元、纖維組織和幾丁質(zhì)等材料耦元。根據(jù)對蟬翼結(jié)構(gòu)的描述，構(gòu)筑蟬翼結(jié)構(gòu)的可拓模型為

式中：Mi，Mj分別為第i、j個耦元(i,j=1,2,3)；R為耦聯(lián)方式；Cr為關(guān)系的特征；Vr為關(guān)系特征相對應(yīng)的量值；Vr3=[緊密，較緊密]；Vr4=[組合，嵌合，復(fù)合]；Vr5=[疊加，階梯]；Vr6=[永久]。

式中Vm1=[降低，支配對象，自身重量]∧[增強，支配對象，承載能力]。

2.3 判斷矩陣構(gòu)建與主耦元確定

根據(jù)蟬翼可拓模型，用x1、x2、x3表示翅脈結(jié)構(gòu)耦元、翅膜形態(tài)耦元、材料耦元。根據(jù)層次分析法列出判斷矩陣A，即

(3)

將判斷矩陣A代入AG=λmaxG，得到特征向量為G=(0.928 1,0.328 8,0.174 7)，最大特征根λmax=3.003 7，代入式(1)、(2)得一致性檢驗結(jié)果為

(4)

(5)

根據(jù)計算數(shù)據(jù)分析，結(jié)果符合一致性檢驗結(jié)果要求，因此，在蟬翼承載能力功能生物耦元中，翅脈結(jié)構(gòu)耦元、翅膜形態(tài)耦元和材料耦元的貢獻度分別為0.412 1、0.184 7、0.086 9。蟬在飛行過程中翅膀的承載能力的實現(xiàn)主要依靠翅脈結(jié)構(gòu)耦元，其次為翅膜形態(tài)耦元和材料耦元。

3 仿生設(shè)計

3.1 仿生模型構(gòu)建

由于蟬翼翅脈結(jié)構(gòu)、翅膜形態(tài)、材料組成特別復(fù)雜，因此不能完全復(fù)制蟬翼，否則既不現(xiàn)實，也不經(jīng)濟。根據(jù)式(3)的計算結(jié)果，選擇蟬翼承載功能的主耦元即蟬翼翅脈結(jié)構(gòu)耦元作為仿生模本，蟬翼翅脈結(jié)構(gòu)耦元中翅脈的分布特點對承載能力起決定性的作用，因此是仿生設(shè)計的主要依據(jù)。

根據(jù)2節(jié)中對蟬翼翅脈結(jié)構(gòu)的分析，根據(jù)蟬翼翅脈分布規(guī)律，在尺寸為1 000 mm×1 000 mm×5 mm(長度×寬度×高度)的基板上布置加強筋。為了便于加工，筋板的尺寸統(tǒng)一設(shè)為10 mm×2 mm(高度×厚度)。筋板根據(jù)蟬翼翅脈分布結(jié)構(gòu)分為主脈和次脈，主脈之間的角度取蟬翼主翅脈之間角度的平均值17°，模仿蟬翼后翅脈之間的角度，次脈之間的角度取為30°～40°，所有圓角半徑均為10 mm，如圖3(a)所示。作為對比，建立傳統(tǒng)型板殼結(jié)構(gòu)，基板尺寸為1 000 mm×1 000 mm×5 mm(長度×寬度×高度)，筋板尺寸為10 mm×2 mm(高度×厚度)，筋板分布為傳統(tǒng)網(wǎng)格狀，網(wǎng)格尺寸為60 mm×60 mm(長度×寬度)，所有圓角半徑均為10 mm，如圖3(b)所示。

(a)仿生型

(b)傳統(tǒng)型圖3 仿生型與傳統(tǒng)型板殼結(jié)構(gòu)

3.2 模型仿真與分析

在相同的載荷和邊界條件下分別對傳統(tǒng)型板殼結(jié)構(gòu)和仿生型板殼結(jié)構(gòu)進行靜力學(xué)有限元分析。材料選為結(jié)構(gòu)鋼，屬性如下：彈性模量E為210 GPa，屈服力σs為275 MPa,密度為7 800 kg/mm3，泊松比為0.28，在板殼結(jié)構(gòu)上平面加載10 000 N的均勻載荷，圖4所示分別為傳統(tǒng)型和仿生型板殼結(jié)構(gòu)的應(yīng)力與變形分布。

表3所示為傳統(tǒng)型和仿生型板殼結(jié)構(gòu)有限元分析結(jié)果。從表中可以看出，與傳統(tǒng)井字型板殼結(jié)構(gòu)相比較，仿生型板殼結(jié)構(gòu)質(zhì)量減小了5.06%。在壓力10 000 N的作用下，由圖4(a)可知，仿生型板殼結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力主要分布在主筋板和次級筋板中，最大值為140.79 MPa。由圖4(b)可知，傳統(tǒng)的板殼結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力主要分布在對稱的基板板中，最大值為163.08 MPa。與傳統(tǒng)型板殼結(jié)構(gòu)相比，仿生型板殼結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力減小15.83%。由圖4(c)、(d)可知，仿生型和傳統(tǒng)型板殼結(jié)構(gòu)最大變形均在中心位置，變形量分別為1.95、2.04 mm。與傳統(tǒng)型板殼結(jié)構(gòu)相比，仿生型板殼結(jié)構(gòu)最大變形量減小了4.62%，表明仿生設(shè)計更合理，能有效地使應(yīng)力均勻分散。由此可見，相對于傳統(tǒng)的井字型板殼結(jié)構(gòu)，仿蟬翼結(jié)構(gòu)設(shè)計的板殼結(jié)構(gòu)在實現(xiàn)輕量化的同時，還能有效地改善板殼結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，應(yīng)力區(qū)域分布更均勻、合理，是一種比較理想的板殼結(jié)構(gòu)設(shè)計方案。

(a)仿生型板殼結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布

(b)傳統(tǒng)型板殼結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布

(c)仿生型板殼結(jié)構(gòu)變形分布

(d)傳統(tǒng)型板殼結(jié)構(gòu)變形分布圖4 仿真分析結(jié)果

表3 傳統(tǒng)型和仿生型板殼結(jié)構(gòu)有限元分析結(jié)果

4 結(jié)語

本文中將可拓學(xué)的基元理論、共軛理論和仿生學(xué)相結(jié)合，建立了生物耦合可拓模型，形成了對仿生模本定性與定量分析的有效工具，從而使非生物學(xué)設(shè)計者也能清晰地了解生物結(jié)構(gòu)。

1)運用層次分析法，通過構(gòu)建判斷矩陣計算各生物各耦元的貢獻度。生物耦元貢獻度的確立可以進一步明確仿生目標(biāo)，有助于提高仿生設(shè)計的效率。

2)通過借鑒蟬翼的結(jié)構(gòu)規(guī)律對板殼結(jié)構(gòu)進行仿生設(shè)計得到仿生型板殼結(jié)構(gòu)。運用仿真軟件進行靜力學(xué)分析，相對于傳統(tǒng)的板殼結(jié)構(gòu)質(zhì)量減小了5.06%，應(yīng)力減小了15.83%，有效地提高了板殼結(jié)構(gòu)的承載能力。