具有指數(shù)項(xiàng)的高維循環(huán)差分方程的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

(湖南大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410082)

隨著計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展,差分方程理論不僅在數(shù)值分析等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用,而且成為通信理論、現(xiàn)代控制論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)科學(xué)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)等的重要數(shù)學(xué)工具。差分方程已成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域特別是動(dòng)力系統(tǒng)研究中的一個(gè)重要分支,理論意義和應(yīng)用價(jià)值重大，得到了深入研究[1-6]。指數(shù)型差分方程是用來(lái)描述自然現(xiàn)象變化規(guī)律的重要工具之一。隨著生物數(shù)學(xué)、現(xiàn)代物理、管理科學(xué)等自然科學(xué)及邊緣性學(xué)科的不斷發(fā)展，近年來(lái)，提出了許多應(yīng)用指數(shù)型差分方程來(lái)描述的數(shù)學(xué)模型[7-13]，如[14]

xn+1=axn+bxn-1e-xn,

其中參數(shù)a,b∈(0,+∞),初始值x-1、x0為正數(shù),n=0,1,2,…。文獻(xiàn)[15]中進(jìn)一步把文獻(xiàn)[14]中的結(jié)果推廣到一類指數(shù)型差分方程，即

其中c、d也是正常數(shù)，并且初始值y-1、y0也是正值。由于總是有多個(gè)物種在同一區(qū)域中同時(shí)生存，因此，種群間存在諸如捕食、競(jìng)爭(zhēng)、協(xié)作等相互作用。研究單種群或兩種群模型的目的之一是為研究多種群間的相互作用奠定基礎(chǔ)。上述模型耦合的多種群生物數(shù)學(xué)模型為

(1)

1 主要結(jié)果與證明

定理1若系統(tǒng)中正實(shí)數(shù)ai、bi滿足

ai,bi∈(0,1),i=1,2,…,m,

(2)

則系統(tǒng)(1)的任一解是有界的。

因?yàn)閒i(0)=M,

所以fi(x)≤M,x∈[0,M]。由此可推出

定理21)若系統(tǒng)(1)中正實(shí)數(shù)ai、bi滿足條件(2)，并且

(3)

2)若系統(tǒng)中正實(shí)數(shù)ai、bi滿足條件(2)，并且

(4)

則零平衡點(diǎn)(0,0,…,0)是系統(tǒng)(1)的唯一非負(fù)平衡點(diǎn)。

證明：1)考慮函數(shù)

hi∶+→+,

顯然，hi(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增。定義

其中I為恒等函數(shù)，°為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算。令xm+1=x1考慮代數(shù)方程組xi+1=hi(xi),i=1,2,…,m，可推出對(duì)任意j∈{1,2,…,m}有

hj(xj)+xj]。

定義

定理3若系統(tǒng)(1)中正實(shí)數(shù)ai、bi滿足條件(2)，并且ai+bi<1,i=1,2,…,m,

(5)

則系統(tǒng)(1)的任意解收斂于零平衡點(diǎn)。

(6)

考慮差分方程系統(tǒng)

(7)

則由式(6)、(7)可得

(8)

下面證明系統(tǒng)(7)的任一正解收斂于零平衡點(diǎn)(0，0，…，0)。

系統(tǒng)(7)等價(jià)于系統(tǒng)

(9)

A=

根據(jù)定理的已知條件，可選取一個(gè)常數(shù)ε>0滿足

(10)

(11)

其中

T-1AT=

由式(10)可知，εm<1且

從而有|T-1AT|<1。

設(shè)λi是矩陣A的特征值，則

|λi|≤|T-1AT|<1,i=1,2,…,2m，

因此，系統(tǒng)(11)的任一正解收斂于零平衡點(diǎn)(0,0,…,0)從而推出系統(tǒng)(9)的任一正解收斂于零平衡點(diǎn)(0,0,…,0)。由式(8)可知，定理的結(jié)論成立。

2 結(jié)論

高維非線性差分方程的研究既有理論方法的困難，也有幾何描述和數(shù)值計(jì)算的困難，因此，高維非線性差分方程的研究難度比低維情形的大得多，相關(guān)研究工作也很少。本文中在借鑒已有研究理論的基礎(chǔ)上，對(duì)一類可作為生物數(shù)學(xué)模型的高維指數(shù)型差分方程的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了有益的研究和探索，不僅拓展了差分方程模型，也突破了維數(shù)的限制。本文中的主要結(jié)果都是在充分性條件下獲得的，還有進(jìn)一步改進(jìn)的空間，今后將對(duì)方程中的參數(shù)個(gè)數(shù)及單個(gè)方程進(jìn)行進(jìn)一步拓展和深入研究。