軟巖非定常分數(shù)階蠕變模型研究

王紅娟，鄧輝, 唐梓豪，李萬才

(成都理工大學(xué) 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護國家重點實驗室，四川成都610059)

流變學(xué)的研究較為復(fù)雜，其中巖土體蠕變是流變的重要研究內(nèi)容之一。蠕變被定義為在恒應(yīng)力作用下應(yīng)變與時間的關(guān)系。軟弱工程巖體的蠕變特性對工程的影響有著很重要的影響[1]，加速蠕變階段的描述既是重點，又是難點。

現(xiàn)如今，有大量的蠕變模型被提出用以描述巖石蠕變的變形特征。按照構(gòu)建模型的方法，可分為元件和經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀Ｚw寶云[2]等對砂巖短時三軸蠕變模型的黏性元件進行了非線性改進，與Kelvin模型串聯(lián)，得到了一種新的黏彈塑性蠕變模型，該模型可正確表征蠕變4個階段的特征。最后，基于BFUS非線性優(yōu)化算法對該模型參數(shù)進行了識別，同時將模型擬合曲線與改進西原模型曲線進行了比較分析，驗證了非線性黏彈塑性蠕變模型的正確性；郭佳奇[3]等用FC元件取代整數(shù)階微積分Kelvin-Voigt流變模型中的牛頓體元件，形成了基于分數(shù)階微積分的蠕變模型，該模型在保證了擬合精度的情況下減少了模型參數(shù)；陳家瑞[4]等在分數(shù)階微積分理論的基礎(chǔ)上，基于三參量流變模型，提出了一個新的流變模型，結(jié)合數(shù)學(xué)軟件1stOpt擬合參數(shù)，最終得到的模型能較好地描述破碎泥巖的流變規(guī)律；楊文東[5]等提出了由瞬彈性Hooke體，黏彈塑性村山體和非線性黏彈塑性體串聯(lián)而成的巖石非線性黏彈塑性流變模型，該流變模型可以描述巖石流變的減速、等速特別是加速蠕變階段，且通過反演，該模型的可靠性也得到證實；張明[6]等就錦屏一級水電站的大理巖進行流變模型的選擇，提出了Hooke-Kelvin模型，該模型較Burgers模型更適合表達大理巖的蠕變特征；徐衛(wèi)亞[7]等提出了由黏彈塑性體和五元件線性黏彈性模型串聯(lián)的河海模型，該模型能較好地反應(yīng)巖石加速流變的性質(zhì)。以上大多只通過與某一種巖石的試驗數(shù)據(jù)進行擬合來驗證模型正確性，不具有廣泛代表性。

綜合以上考慮，本文基于分數(shù)階微積分，提出了一種能正確表征加速蠕變階段的蠕變方程，以西原模型為基礎(chǔ)，引入了加速流變起始時間點[8]，采用軟體元件表示非線性階段，提出了一種參數(shù)可變的非線性黏彈性蠕變模型，給出了該模型的本構(gòu)方程。并使用不同類型巖石在不同圍壓下的蠕變試驗數(shù)據(jù)對該模型進行了驗證，結(jié)果表明，試驗數(shù)據(jù)與預(yù)測曲線都能較好地吻合，驗證了模型的正確性。

1 分數(shù)階微積分定義簡介

本文提出的蠕變模型需要借助于分數(shù)階微積分理論，故對分數(shù)階微積分做如下簡單介紹。

分數(shù)階微積分有多種不同定義。在巖土工程學(xué)科中，Riemann-Liouville定義應(yīng)用最廣。以下對R-L定義進行簡單介紹[9]。對于函數(shù)f(t)的β階積分定義為

(1)

式中，d為微分算子。分數(shù)階微分則定義為:

(2)

式中，β>0，且n-1<β≤n(n為正整數(shù))。

Γ(β)為Gamma函數(shù)，其定義為：

(3)

2 基于分數(shù)階微積分建立的軟體元件

理想彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足Hook定律，即σ(t)～ε(t)，其蠕變形式表達為：

(4)

式中σ——常應(yīng)力；E——彈性模量[10]。

(5)

式中η——黏性系數(shù)。

(6)

式中η——黏性系數(shù)；β——求導(dǎo)階數(shù)。

當(dāng)應(yīng)力為常數(shù)時，即σ保持不變。元件將描述流變行為的蠕變，對式(6)兩邊進行分數(shù)階積分，根據(jù)分數(shù)階R-L積分定義，可得：

(7)

當(dāng)β=0或β=1時，即Γ(β+1)=Γ(1)或Γ(β+1)=Γ(2) 時，式(7)退化為Hook體和Newton 體。

3 分數(shù)階流變模型的建立

3.1 線性黏彈性流變模型

為得到一個應(yīng)用范圍廣、適用性強且能更大程度模擬巖石蠕變過程的模型，本文建立了一個由彈簧體、開爾文體和一個可反應(yīng)加速流變起始時間的黏塑性元件串聯(lián)組成的蠕變模型，見圖1。

在線性流變模型中，當(dāng)σ<σs時，即i和ii共同作用時[11]，應(yīng)變有如下關(guān)系：

εi,ii=εe+εve

(8)

式中εe——胡克體中彈簧的彈性應(yīng)變；εve——黏彈性應(yīng)變；εi,ii——瞬時蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變的總和。Hook體中，應(yīng)力應(yīng)變有如下關(guān)系：

σ=EH·εe

(9)

式中，EH為胡克體中彈簧的彈性模量。Newton/Kelvin體中，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如下：

(10)

εe1為開爾文體中彈簧彈性應(yīng)變，γ意義如上，由并聯(lián)模型性質(zhì)可知：

εe1=εve=εii

(11)

所以得到：

(12)

即

(13)

對式(13)進行Laplace變換得：

(14)

式中，E(s)為復(fù)變量s的函數(shù)，解得：

(15)

對式(15)進行拉普拉斯逆變換得：

εve(t)=

(16)

3.2 非線性黏塑性元件

李良泉[8]假定破壞荷載和破壞時間、破壞荷載和加速流變歷時存在一定的關(guān)系，可用指數(shù)形式來表示為：

(17)

式中t——破壞時間；σ0——巖石瞬時強度；σ∞——長期強度；Δt——加速流變歷時；α和β均為常系數(shù)，則可得巖石加速流變的起始時間為：

(18)

徐衛(wèi)亞[7]就綠片巖三軸流變試驗曲線，提出了一個可反映加速流變特性的非線性黏塑性體。本文引用其形式，同時引入一個新的參數(shù)Δt，可得非線性階段蠕變方程為

(19)

即：

(20)

3.3 考慮參數(shù)可變的流變模型

現(xiàn)有的蠕變模型大多是由元件模型經(jīng)過串并聯(lián)組合而成，且力學(xué)參數(shù)很多為常參數(shù)，但在實際情況下，如黏滯系數(shù)和彈性模量等的取值都是時間的函數(shù)。丁志坤[12]根據(jù)試驗，提出了EH是定常而EK是時間t的函數(shù)，并給出了EK的表達式為：

EK(t)=p1+p2ep3t

(21)

式中，p1、p2、p3為常參數(shù)，本文考慮了彈性模量為非定常的情況，綜合三部分應(yīng)變，可得到巖石非線性黏彈塑性本構(gòu)模型，該模型的本構(gòu)方程為：

ε(t)=

(22)

4 模型驗證

本文所提出的五元件蠕變模型，結(jié)合黃海峰等[13-15]對不同種類巖石的蠕變試驗數(shù)據(jù)對模型進行擬合。紅砂的應(yīng)力大小和長期強度分別為55、23.56 MPa，巖鹽的應(yīng)力大小和長期強度分別為45、37.8 MPa，泥巖的應(yīng)力大小和長期強度分別為40、36.21 MPa，由于所施加應(yīng)力水平均大于長期強度，故需考慮加速階段。此時待擬合參數(shù)為11個，這是由于本文考慮了變參數(shù)[15]的影響，雖然擬合參數(shù)較多，但也可通過擬合工具快速獲取。本文利用數(shù)學(xué)軟件1stOpt對式(22)中的參數(shù)進行擬合，所得結(jié)果見表1。經(jīng)計算得知：紅砂巖、鹽巖和泥巖的相關(guān)系數(shù)R2的值分別為0.97、0.96和0.99。試驗值與擬合曲線對比見圖2，可見試驗值和擬合曲線符合很好，這是由于采用了分數(shù)階進行建模[17-19]。表1和圖2僅僅展示了圍壓100 MPa下的擬合效果，為了進一步檢驗該模型，采用200 MPa下的紅砂巖蠕變數(shù)據(jù)模擬，結(jié)果見圖3?？梢姡履Ｐ湍軌蜉^好地反映軟巖的蠕變特性。

表1 非線性蠕變模型參數(shù)

通過對比曲線可以發(fā)現(xiàn)，對于3種不同的巖石來說，瞬時蠕變階段和穩(wěn)態(tài)階段都能較好地吻合，非線性階段的試驗曲線也能和預(yù)測曲線大致重合，證明了該模型的適用性和正確性。

5 結(jié)論

本文依據(jù)元件模型，在元件本構(gòu)方程基礎(chǔ)上引入非定常參數(shù)，使模型能更準(zhǔn)確描述巖石蠕變?nèi)^程，通過紅砂巖、巖鹽以及泥巖的蠕變試驗數(shù)據(jù)對該模型的驗證，得到以下結(jié)論。

a) 通過對紅砂巖，巖鹽以及泥巖試驗數(shù)據(jù)的擬合，發(fā)現(xiàn)該模型能較好地擬合巖石流變過程，加速階段同樣吻合，具有合理性，同時也證明了模型的適用性。

b) 所建模型能較好地模擬軟巖的蠕變?nèi)^程，便于使用。在今后的研究中，將考慮把模型嵌入數(shù)值模擬軟件之中，以期將其很好地應(yīng)用于工程實際之中。