計(jì)及摩擦的擺線輪齒與針齒的分形接觸模型

韓 炬 李 威 董 威

1.北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京，1000832.華北理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，唐山，063210

0 引言

擺線針輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)是工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)減速器的關(guān)鍵部件，目前關(guān)于擺線針輪傳動(dòng)嚙合接觸特性的研究主要采用基于赫茲理論的方法[1-4]和有限元方法[5-8]，這兩類方法均未考慮接觸表面微觀形貌對(duì)接觸特性的影響。此外，文獻(xiàn)[9-10]提出了一種精確預(yù)估擺線針輪接觸時(shí)的嚙合齒數(shù)并確定接觸點(diǎn)的實(shí)際位置，進(jìn)而獲取接觸載荷的動(dòng)力學(xué)分析方法，并考慮軸承的影響，對(duì)擺線針輪接觸非線性力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行建模與分析；文獻(xiàn)[11]應(yīng)用影響系數(shù)法，對(duì)二齒差擺線針輪的接觸特性進(jìn)行了分析。以上分析均是針對(duì)擺線針輪的宏觀接觸面進(jìn)行的數(shù)值分析。文獻(xiàn)[12]綜合考慮了擺線針輪的宏觀輪廓、接觸應(yīng)力以及齒面的粗糙度、傳遞效率等參數(shù)，建立了擺線針輪綜合潤(rùn)滑性能分析模型，但在接觸應(yīng)力的分析中并未考慮接觸面微觀形貌的影響。

自文獻(xiàn)[13]提出分形理論以來，其應(yīng)用非常廣泛。文獻(xiàn)[14]指出機(jī)械加工面具備明顯的分形特征。文獻(xiàn)[15-16]提出的MB分形接觸模型是近年來眾多相關(guān)研究的基礎(chǔ)模型，MB模型采用Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)(簡(jiǎn)稱“W-M函數(shù)”)模擬粗糙平面的表面形貌，但由其推論出的“接觸面積小時(shí)發(fā)生塑性變形而接觸面積大時(shí)發(fā)生彈性變形”的結(jié)論，與經(jīng)典接觸理論相左。MB模型以及針對(duì)MB模型的缺陷提出的ME模型[17-18]是現(xiàn)有分形接觸模型的典型代表，兩種模型的對(duì)象是兩粗糙平面之間的接觸，但實(shí)際的機(jī)械零件之間的接觸多是粗糙曲面之間的接觸。文獻(xiàn)[19-21]提出的HC模型對(duì)兩粗糙圓柱面之間的接觸特性進(jìn)行了分析，該模型中引入了接觸系數(shù)，但該系數(shù)的構(gòu)建只考慮了宏觀特征，且該接觸系數(shù)不能準(zhǔn)確反映兩接觸曲面接觸面積的大小。

機(jī)械結(jié)合面的微觀形貌及表面接觸特性對(duì)零部件的表面摩擦磨損性能有顯著的影響。綜合宏觀和微觀因素，對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)減速器中靜態(tài)及動(dòng)態(tài)結(jié)合面的接觸機(jī)理進(jìn)行深入研究，對(duì)提升我國(guó)工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)減速器的研發(fā)水平意義重大。本文以單對(duì)擺線輪齒與針齒接觸為研究對(duì)象，綜合考慮接觸曲面的宏觀和微觀特征，計(jì)及摩擦因素的影響，建立了其分形接觸模型，為進(jìn)一步確定多齒嚙合的擺線針輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的時(shí)變接觸特性提供了理論參考。

1 擺線輪齒與針齒的形貌模型

1.1 基于W-M函數(shù)與矢量函數(shù)的表面形貌模型

要準(zhǔn)確分析擺線輪齒與針齒的接觸特性，需要構(gòu)建合理的表面形貌模型。粗糙曲面可以看作是在光滑曲面上隨機(jī)分布高度、大小不等的微凸體，綜合應(yīng)用W-M函數(shù)和矢量函數(shù)表征粗糙曲面的表面形貌。粗糙曲面的表面形貌見圖1，由圖1可知：

r*=r±z(s)m

(1)

式中，z(s)為向量r的方向上對(duì)應(yīng)的微凸體的高度[22]；s為曲面截面曲線的弧長(zhǎng)；m為曲線上K點(diǎn)的單位法向量；G為特征尺度[23]；Ra為接觸表面粗糙度，μm；D為分形維數(shù)，D=1.528Ra-0.042[24]；γn為粗糙曲面的空間頻率，γ>1，一般取γ=1.5；n為頻率指數(shù)；nmin為最低頻率指數(shù);rθ、rθθ分別為r對(duì)θ的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)；“±”與曲線的凹凸有關(guān)，當(dāng)曲線內(nèi)凹時(shí)取“+”，當(dāng)曲線外凸時(shí)取“-”。

圖1 粗糙曲面表面形貌圖Fig.1 Plot of rough surface

由式(1)可知，針齒的表面形貌模型為

(2)

G=105.26Ra-0.042

式中，rp為針齒半徑。

圖2為在MATLAB中繪制的針齒表面形貌圖，其中，D=1.542 4，G=4.903 1 nm，nmin=1。

(a)原始比例

(b)100倍顯示

(c)1 000倍顯示圖2 針齒分形形貌圖Fig.2 Fractal topography of pin tooth

經(jīng)過等距修形與移距修形的擺線輪齒的表面形貌模型為

(3)

rc(θ)=(x(θ),y(θ))

式中，rc(θ)為光滑擺線輪齒上一點(diǎn)的矢徑；Rb為基圓半徑；Rg為滾圓半徑；ΔRb為移距修形量；ΔRp為等距修形量；e為針齒中心與滾圓圓心的中心距；i0為擺線輪與針輪的相對(duì)傳動(dòng)比；K1為擺線輪短幅系數(shù)，K1=eZp/Rg；Zp為針輪齒數(shù)；mc為光滑擺線輪齒上一點(diǎn)的單位法向量；s*為起點(diǎn)到嚙合點(diǎn)的弧長(zhǎng)。

圖3為在MATLAB中繪制的單個(gè)擺線輪齒的表面形貌圖。

(a)原始比例 (b)100倍顯示

(c)1 000倍顯示圖3 擺線輪齒分形形貌圖Fig.3 Fractal topography of cycloid tooth

應(yīng)用FEI QUANTA 650掃描電子顯微鏡，對(duì)擺線輪齒齒廓進(jìn)行測(cè)試。圖4為線切割得到的單個(gè)完整擺線輪齒的電鏡測(cè)試圖，對(duì)比圖4與圖3，可以看出，式(3)對(duì)擺線齒輪輪齒表面形貌的模擬具有高度合理性。

(a)線切割擺線齒輪輪齒測(cè)試樣品

(b)電鏡測(cè)試放大100倍圖

(c)電鏡測(cè)試放大1 000倍圖圖4 擺線輪齒電鏡測(cè)試圖Fig.4 Electron microscope test images of cycloid tooth

1.2 擺線輪齒與針齒的接觸比例系數(shù)

現(xiàn)有基于分形理論的粗糙面接觸模型的研究對(duì)象大多為粗糙平面，但擺線輪齒與針齒均為粗糙曲面，其接觸面積遠(yuǎn)小于平面之間的接觸面積，文獻(xiàn)[19-21，25]均提出了粗糙曲面接觸時(shí)的接觸系數(shù)概念，但已有文獻(xiàn)中對(duì)構(gòu)建的曲面接觸系數(shù)只具備初步的合理性，且接觸系數(shù)體現(xiàn)了宏觀特征的影響。現(xiàn)有研究結(jié)論包括：接觸系數(shù)不大于1；內(nèi)接觸時(shí)接觸系數(shù)大于外接觸時(shí)的接觸系數(shù)；當(dāng)兩圓柱面半徑一致時(shí)，內(nèi)接觸時(shí)接觸比例系數(shù)等于1。由文獻(xiàn)[19-21，25]的數(shù)據(jù)及曲線可知，當(dāng)兩等半徑的圓柱面外接觸時(shí)，接觸比例系數(shù)的值接近0.85，該值顯然不合理。

結(jié)合曲面表面形貌模型，綜合考慮曲面的宏觀特征和微觀特征，采用筆者前期研究過程中構(gòu)建的接觸比例系數(shù)λcp[26]：

(4)

式中，n*為微凸體等級(jí)；lt為微凸體的截?cái)嚅L(zhǎng)度；l為微凸體基底長(zhǎng)度；ρp為針齒上接觸點(diǎn)的曲率半徑，此處為針齒半徑；ρci為擺線輪齒上第i個(gè)接觸點(diǎn)的曲率半徑；ρi為第i個(gè)接觸點(diǎn)的綜合曲率半徑[3]；φi為嚙合相位角，φi∈[0,2π]；Rz為針輪中心圓半徑；θp為針齒曲面與光滑平面的臨界接觸角度；θcp為擺線輪齒曲面與光滑平面的臨界接觸角度。

圖5所示為各參數(shù)對(duì)擺線輪齒與針齒的接觸比例系數(shù)的影響。從圖5中可知，擺線輪齒與針齒的接觸比例系數(shù)始終小于1，且針齒與擺線輪齒的內(nèi)凹部分接觸時(shí)的接觸比例系數(shù)遠(yuǎn)大于與擺線輪齒的外凸部分接觸時(shí)的接觸比例系數(shù)；接觸比例系數(shù)隨分形維數(shù)的增大而減小；隨特征尺度的增大而增大；隨擺線輪與針輪中心距的增大先增大后減小；隨針齒半徑的增大而增大；隨針輪齒數(shù)的增加而增大。由以上分析可知，本文構(gòu)建的接觸比例系數(shù)很好地體現(xiàn)了針齒與擺線輪齒接觸過程中的時(shí)變特性。

(a)分形維數(shù)(e=0.9 mm，rp=2 mm，Zp=40，G=4.903 1 nm) (b)特征尺度(e=0.9 mm，rp=2 mm，Zp=40，D=1.542 4) (c)中心距(rp=2 mm，Zp=40，D=1.542 4，G=4.903 1 nm)

(d)針齒半徑(e=0.9 mm，Zp=40，D=1.542 4，G=4.903 1 nm) (e)針輪齒數(shù)(e=0.9 mm，rp=2 mm，D=1.542 4,G=4.903 1 nm)圖5 各參數(shù)對(duì)接觸比例系數(shù)的影響Fig.5 Influence of parameters to contact coefficient

2 考慮摩擦因素的分形接觸模型

在分析中引入摩擦因素是近年來分形接觸模型的重點(diǎn)研究方向[20，27-29]，本文構(gòu)建的擺線輪齒與針齒的分形接觸模型中也體現(xiàn)了摩擦因素的影響。

2.1 擺線輪齒與針齒接觸面積分布

擺線輪齒與針齒的嚙合接觸屬于典型的高副接觸，且接觸過程中，擺線輪齒的曲面曲率是時(shí)變量，結(jié)合所提出的接觸比例系數(shù)與文獻(xiàn)[15]中對(duì)分形接觸面積分布的推導(dǎo)可知，擺線輪齒與針齒嚙合時(shí)的接觸面積分布為

(5)

式中，A為粗糙表面微凸體的接觸面積；Amax為微凸體的最大接觸面積。

2.2 摩擦影響下的擺線輪齒與針齒接觸模型

2.2.1微凸體接觸變形模型

李小彭等[27]以MB模型為基礎(chǔ)，進(jìn)行了考慮摩擦的結(jié)合面分形模型分析，得出了微凸體彈塑性變形的臨界面積，然而MB模型假設(shè)微凸體變形量為微凸體的整個(gè)高度，該假設(shè)并不合理。從圖6所示的微凸體接觸變形簡(jiǎn)圖中可知，微凸體的變形量ω與微凸體的高度δ不一致，且0≤ω≤δ，ω的表達(dá)式為

(6)

δ=GD-1l2-D

圖6 微凸體與剛性平面接觸變形簡(jiǎn)圖[11]Fig.6 Schematic of deformation of an asperity with a rigid flat plan in contacting[11]

由赫茲接觸理論可知，微凸體的臨界彈性變形階段的接觸面積

(7)

式中，R為微凸體頂端曲率半徑。

發(fā)生塑性變形的臨界變形量

(8)

式中，H為材料的硬度；K′為硬度系數(shù)，一般取K′=0.454+0.41ν；E為彈性模量；ν為泊松比。

此時(shí)的接觸載荷[17]

(9)

綜合式(7)、式(9)可得

(10)

當(dāng)接觸曲面之間存在滑動(dòng)摩擦?xí)r，接觸壓力P[24]滿足：

P=1.1kμσy

(11)

式中，σy為材料的屈服強(qiáng)度；kμ為摩擦因子μ的分段函數(shù)，當(dāng)0≤μ≤0.3時(shí)，kμ=1-0.228μ，當(dāng)0.3<μ≤0.9時(shí)，kμ=0.932e-1.58(μ-0.3)。

將式(11)代入式(10)可知，計(jì)及摩擦影響時(shí)，彈性變形面積

(12)

從式(12)可知，彈性變形面積為尺度相關(guān)量。

微凸體發(fā)生彈塑性變形的臨界變形面積[27]

(13)

2.2.2擺線輪齒與針齒的接觸面積及接觸載荷

粗糙曲面接觸時(shí)，參與接觸的微凸體可能存在3種變形狀態(tài)，依次為完全彈性變形、彈塑性變形和完全塑性變形，彈塑性變形階段又可以分為第一塑性變形區(qū)域與第二塑性變形區(qū)域。KOGUT等[30]對(duì)微凸體的3種變形狀態(tài)進(jìn)行了細(xì)致的研究，成雨等[31]根據(jù)KOGUT等的研究對(duì)粗糙面的接觸面積與接觸載荷進(jìn)行了推導(dǎo)。

擺線輪齒與針齒的真實(shí)接觸面積

Ar=Are+Arep1+Arep2+Arp

(14)

ψ=5.453e-D/0.628+1.499 1

式中，Are為發(fā)生彈性變形的微凸體的總接觸面積；ψ為分形區(qū)域擴(kuò)展系數(shù)[32]；Arep1為發(fā)生第一塑性變形的微凸體的總體接觸面積；Arep2為發(fā)生第二塑性變形的所有微凸體的接觸面積；Arp為發(fā)生完全塑性變形的微凸體的接觸面積；Aepc為微凸體第一塑性變形的臨界面積；Aμpc為微凸體完全塑性變形的臨界面積。

擺線輪齒與針齒的接觸載荷

Fr=Fre+Frep1+Frep2+Frp

(15)

[(205.382 7Aμec)1.102 1-0.5D-

式中，F(xiàn)re為彈性變形部分的接觸載荷；Frep1為第一彈塑性變形部分的接觸載荷；Frep2為第二彈塑性變形部分的接觸載荷；Frp為完全塑性變形部分的接觸載荷。

擺線輪齒與針齒的接觸載荷與真實(shí)接觸面積之間的量綱一關(guān)系為

(16)

2.2.3微凸體的等級(jí)

微凸體等級(jí)系數(shù)n*(n*≤nec)直接決定了微凸體所處的狀態(tài)，根據(jù)成雨等[31]的研究，可知微凸體彈性臨界等級(jí):

(17)

第一彈塑性臨界等級(jí)

(18)

第二彈塑性臨界等級(jí)

(19)

當(dāng)n*≤nec時(shí)，微凸體處于完全彈性變形狀態(tài)；當(dāng)necnpc時(shí)，微凸體變形包括彈性變形、第一彈塑性變形、第二彈塑性變形和完全塑性變形。

3 擺線輪齒與針齒分形接觸模型特性分析

以RV-20E型減速器為例，其基本參數(shù)如表1所示。

取G=4.903 1 nm，D=1.542 4，l=0.01 mm，可知本例中微凸體的等級(jí)n*=12，而nec=10，nepc=14，即nec

表1 RV-20E型減速器擺線輪基本參數(shù)Tab.1 Parameters of cycloid in RV-20E reducer

3.1 摩擦因素對(duì)接觸特性的影響

根據(jù)式(16)的分形接觸模型，不同摩擦條件下擺線輪齒與針齒接觸時(shí)，量綱一接觸載荷與接觸面積之間的關(guān)系見圖7，圖7中的數(shù)據(jù)為最大的接觸面積與相應(yīng)的接觸載荷，由于擺線輪齒與針齒接觸時(shí)其接觸載荷和接觸面積為時(shí)變量，通過對(duì)其他接觸點(diǎn)的相應(yīng)接觸載荷和接觸面積的分析，發(fā)現(xiàn)該變化規(guī)律與圖7相同，因此圖7具備代表性。

圖7 摩擦因素對(duì)接觸特性的影響Fig.7 Influence of friction factor to contact characteristic

從圖7可看出相同載荷下，接觸面積隨摩擦因素增大而增大，當(dāng)μ≤0.3時(shí)，相同載荷下，真實(shí)接觸面積的增幅很小，μ>0.3時(shí)，真實(shí)接觸面積的增幅較大。本文的結(jié)論與文獻(xiàn)[33]所得結(jié)論相反，文獻(xiàn)[33]的接觸模型是基于MB模型的，其結(jié)論是當(dāng)接觸面積較大時(shí)發(fā)生彈性變形，接觸面積較小時(shí)發(fā)生塑性變形，該結(jié)論有悖于常識(shí)及經(jīng)典接觸理論。

相同載荷條件下，結(jié)合面越粗糙，其接觸面積越大是顯而易見的，本文的結(jié)論與文獻(xiàn)[32，34]的結(jié)論一致。

3.2 微觀特征對(duì)接觸特性的影響

分形維數(shù)D與特征尺度G兩個(gè)微觀特征均與表面粗糙度Ra有關(guān)，圖8所示為固定量綱一接觸載荷下，結(jié)合面粗糙度對(duì)接觸面積的影響。

圖8 結(jié)合面微觀特征對(duì)接觸面積的影響Fig.8 Influence of contact area by microscopic feature

當(dāng)粗糙度為0.4 μm時(shí)，微凸體處于完全彈性變形狀態(tài)；當(dāng)粗糙度為0.8 μm時(shí)，微凸體處于彈性變形與第一彈塑性變形狀態(tài)；當(dāng)粗糙度為1.6 μm、3.2 μm、6.3 μm時(shí)，微凸體處于彈性變形、第一彈塑性變形與第二彈塑性變形狀態(tài)。

從圖8可知，量綱一接觸面積隨結(jié)合面粗糙度先增大后減小。當(dāng)粗糙度為1.6 μm時(shí)，量綱一接觸面積最大；當(dāng)粗糙度為0.4 μm時(shí)，由于結(jié)合面較光滑，微凸體的高度差相對(duì)較小，微凸體均處于彈性變形；當(dāng)粗糙度增大到1.6 μm時(shí)，接觸面粗糙程度加大，發(fā)生塑性變形的微凸體增多，使得量綱一接觸面積增大；當(dāng)粗糙度繼續(xù)增大時(shí)，微凸體起伏加劇，雖然部分微凸體已經(jīng)處于第二彈塑性變形狀態(tài)，但由于接觸面粗糙程度進(jìn)一步增大，微凸體高度增加，實(shí)際發(fā)生接觸的微凸體反而減少，致使量綱一接觸面積減小。由此也可推知擺線輪與針輪的粗糙度并不是越大越好。

3.3 宏觀特征對(duì)接觸特性的影響

擺線輪的齒廓相對(duì)比較復(fù)雜，圖9所示為結(jié)合面在相同量綱一接觸載荷下，各宏觀特征對(duì)量綱一接觸面積的影響。從圖9中可看出，量綱一接觸面積隨針齒半徑的增大而減小，隨中心距的增大而減小，隨針輪中心圓半徑的增大而增大，隨針輪齒數(shù)的增加而減小。

4 結(jié)論

(1)構(gòu)建的擺線輪齒與針齒的接觸比例系數(shù)與擺線輪齒的輪廓曲率相對(duì)應(yīng)，具有時(shí)變性。結(jié)合面的宏觀特征與微觀特征對(duì)接觸比例系數(shù)均有影響，當(dāng)擺線輪齒的外凸部分與針齒接觸時(shí)，接觸比例系數(shù)遠(yuǎn)小于擺線輪齒的內(nèi)凹部分與針齒接觸時(shí)的接觸比例系數(shù)，接觸比例系數(shù)的值始終小于1。

(a)針齒半徑對(duì)量綱一接觸面積的影響

(b)中心距對(duì)量綱一接觸面積的影響

(c)針輪中心圓半徑對(duì)量綱一接觸面積的影響

(d)針輪齒數(shù)對(duì)量綱一接觸面積的影響圖9 結(jié)合面宏觀特征對(duì)接觸面積的影響Fig.9 Influence of contact area by gross feature

(2)考慮摩擦因素，構(gòu)建的擺線輪齒與針齒的分形接觸模型中，結(jié)合面的接觸載荷與接觸面積不僅與摩擦因素有關(guān)，還與結(jié)合面微觀特征以及宏觀特征有關(guān)，相同載荷下，接觸面積隨摩擦因素的增大而增大，當(dāng)μ≤0.3時(shí)，真實(shí)接觸面積的增幅較小，μ>0.3時(shí)，真實(shí)接觸面積的增幅較大。

(3)結(jié)合面粗糙度變化時(shí)，由于表面形貌的變化，微凸體的變形狀態(tài)也存在動(dòng)態(tài)變化，相同載荷下，接觸面積隨結(jié)合面粗糙度的增大先增大后減小，因此擺線輪齒與針齒的粗糙度并不是越大越好。

(4)相同載荷下，接觸面積隨針齒半徑、中心距、針輪齒數(shù)的增大而減小，隨針輪中心圓半徑的增大而增大。

(5)本文構(gòu)建的分形接觸模型重點(diǎn)研究了單對(duì)擺線輪齒與針齒的接觸特性，關(guān)注了微觀形貌與宏觀特征對(duì)接觸特性的影響。擺線針輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)屬于多齒嚙合機(jī)構(gòu)，后續(xù)將考慮潤(rùn)滑介質(zhì)的影響，并結(jié)合本文構(gòu)建的模型，通過針對(duì)性試驗(yàn)對(duì)擺線針輪機(jī)構(gòu)的總體接觸特性及熱特性進(jìn)行深入分析。