走不盡的莫比烏斯環(huán)

顧冰

很久以前，有個小偷在偷一個農(nóng)民的財物時被當(dāng)場捕獲并送到了縣衙，縣官發(fā)現(xiàn)小偷竟是自己的侄子，于是寫了一張小紙條給執(zhí)事官，交由他去辦理。紙條的正面寫著：小偷應(yīng)當(dāng)放掉;反面寫著：農(nóng)民應(yīng)當(dāng)關(guān)押。聰明正直的執(zhí)事官將紙條扭轉(zhuǎn)了一下，用手指將兩端捏在一起，然后向大家宣布：根據(jù)縣太爺?shù)拿?，?yīng)當(dāng)放掉農(nóng)民，關(guān)押小偷?？h太爺?shù)弥蟠笈?，?zé)問執(zhí)事官為何違背他的命令，執(zhí)事官將紙條捏在手上給縣太爺看，從“應(yīng)當(dāng)”二字讀起，的確是關(guān)押小偷，放掉農(nóng)民?？h太爺再仔細(xì)地看了看紙條，的確是自己的字跡，也沒有被涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認(rèn)倒霉。

莫比烏斯環(huán)的由來

其實這位執(zhí)事官并不是變了什么魔術(shù)，他只是將紙條扭轉(zhuǎn)彎曲成了一個莫比烏斯環(huán)，使它具有了莫比烏斯環(huán)單側(cè)曲面的特性。莫比烏斯環(huán)是由德國的數(shù)學(xué)家莫比烏斯和約翰·李斯丁發(fā)現(xiàn)的。將一根紙條扭轉(zhuǎn)180度后，將兩端粘貼起來做成的紙環(huán)就是莫比烏斯環(huán)。它是一種單側(cè)的、不可定向的曲面。這樣的紙環(huán)只有一個面，假如我們在莫比烏斯環(huán)狀的公路上行走，會永遠(yuǎn)走不到盡頭，因為我們根本分不出哪里是起點，哪里是終點，就像處在一個無盡的循環(huán)當(dāng)中，就像念誦回文詩一樣。

趣味莫比烏斯環(huán)

制作莫比烏斯環(huán)的過程非常簡單，只需將一個紙條的一端旋轉(zhuǎn)180度再首尾相連即可。但如果我們把得到的紙環(huán)剪開就會發(fā)現(xiàn)許多奇妙的現(xiàn)象。

假如我們把一個普通的紙環(huán)，沿中線剪開，我們會得到兩個紙環(huán)。但如果我們把一個莫比烏斯環(huán)沿中線剪開，我們會得到什么呢？

剪開后，居然沒有一分為二，而是變成了一個大環(huán)。那如果將莫比烏斯紙環(huán)沿著三等分線剪開，又會得到什么呢？

如果沿著莫比烏斯環(huán)3等分處剪開，會在剪完2個圈后又回到原點，形成一大一小相互套連的兩個環(huán)，大環(huán)周長是原莫比烏斯環(huán)的兩倍，小環(huán)周長與原莫比烏斯環(huán)相同。

如果我們進(jìn)一步實驗，將莫比烏斯環(huán)沿4等分線剪開，我們會發(fā)現(xiàn)下面的現(xiàn)象：

居然剪出了兩個互相鏈接的紙環(huán)，展開2個紙環(huán)并拉直，可以看出2個紙環(huán)是一樣長的。將莫比烏斯環(huán)沿5等分線剪開，則可以剪出3個互相鏈接的紙環(huán)，展開3個紙環(huán)并拉直，可以看出其中2個環(huán)一樣長，另一個環(huán)長度是其他兩環(huán)的一半。將莫比烏斯環(huán)沿6等分線剪開，可以剪出3個互相鏈接的紙環(huán)，展開3個環(huán)可以看到，3個環(huán)一樣長。

莫比烏斯環(huán)的規(guī)律

感興趣的話大家可以繼續(xù)往下試驗，我們會發(fā)現(xiàn)莫比烏斯環(huán)等分后得到的環(huán)數(shù)以及環(huán)的周長存在著一定的規(guī)律：

假設(shè)原來的莫比烏斯環(huán)長度為a，寬度為b，扭轉(zhuǎn)度數(shù)為π（π為180度）

如果我們變換分割方式，沿著1/2、1/3線分割，從得到的莫比烏斯環(huán)結(jié)構(gòu)中我們又會發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律：

通過分割我們發(fā)現(xiàn)，沿著1/N線分割（N大于2），永遠(yuǎn)只會得到兩個相互套連的紙環(huán)，而且其中一個紙環(huán)的長度為另一個的2倍，但隨著N的變化，得到的2個紙環(huán)寬度也會產(chǎn)生相應(yīng)的變化，具體見下表：

莫比烏斯環(huán)看似是一個簡單的紙環(huán)，卻蘊(yùn)藏著無盡的奧秘。它的發(fā)現(xiàn)使拓?fù)鋵W(xué)有了長足的發(fā)展。拓?fù)鋵W(xué)（topology）是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持一些性質(zhì)不變的學(xué)科。通俗來講，拓?fù)渚褪菬o論我變成什么形狀，我還是我。

莫比烏斯環(huán)在生活中的應(yīng)用也很多，如動力機(jī)械的傳送皮帶是單面的話，可磨損面積就很有限，而采用莫比烏斯環(huán)的形狀就可以增大磨損面積，降低報廢率。同樣，莫比烏斯環(huán)還可以應(yīng)用于減緩橡膠老化，延長針式打印機(jī)的色帶使用周期等。

所以，科學(xué)的奇妙現(xiàn)象就在我們身邊，只要有善于觀察的眼睛和勤思考的大腦，就能發(fā)現(xiàn)并利用它。