挖掘一道高考題的應(yīng)用價(jià)值

劉華光

對(duì)一些經(jīng)典的高考題，如果能用變化的觀點(diǎn)加以探究，往往能揭示出題目“背后的故事”，從而為解決數(shù)學(xué)問題開辟新的綠色通道.

例題 （2007年高考陜西理科卷第5題）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2，S3n=14，則S4n等于

A. 16 ? ? ? ? ? ?B. 26 ? ? ? ? ? ? ?C. 30 ? ? ? ? ? ? ? D. 80

分析 初見此題，學(xué)生一般容易被題目中三個(gè)量的下標(biāo)所迷惑，導(dǎo)致思路受阻.

由已知條件可得 =2，①

=14.②

但是由這兩個(gè)方程求不出a1，q和n，則由S4n= 無法得到答案.

如果用變化的視角觀察①和②，那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們有一個(gè)共同的因式 ，將此式消去，自然問題得解.

解 由已知有q≠1，則由 = ，且 ≠0，可得7（1-qn）=1-q3n，整理得（qn）3-7qn+6=0.③

解得qn=2，qn=1（舍去），qn=-3（舍去）.所以S4n= = （1-q4n）= （1-24）=30.選C.

小結(jié) 求解三次方程③，需要用到因式分解以及立方差公式等解題基本功.在得到qn=2之后，由①式得 = 是一種合理的轉(zhuǎn)化 ，既繞過了求a1所帶來的麻煩，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的本質(zhì).

這道經(jīng)典的高考題還有多種各具特色的解法，都已經(jīng)成了“昨天的故事”，在這里我們更關(guān)注的是題目的內(nèi)涵價(jià)值.從結(jié)果來看，S4n=30與n無關(guān)，這說明當(dāng)題目中的三個(gè)量的下標(biāo)中的n依次取值1，2，3，…時(shí)，并不影響題目的求解與結(jié)果.注意到三個(gè)量的下標(biāo)之間有著一種微妙的等量關(guān)系：n+3n=4n，由此聯(lián)系到題目中的三個(gè)量之間是否也存在著某種等量關(guān)系呢？經(jīng)過探究，得到下面的結(jié)論.

結(jié)論 已知{an}為等比數(shù)列，Sm，Sn分別為其前m項(xiàng)，前n項(xiàng)的和，若m>n，則有Sm=Sn+Sm-n qn=Sm-n+Snqm-n.

證明 當(dāng)q=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.

當(dāng)q≠1時(shí)，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可得Sm-Sn= - = = ·qn=Sm-n qn，Sm-Sm-n = - = = ·qm-n=Snqm-n，整理后可知結(jié)論成立.

綜上可知，結(jié)論成立.

小結(jié) 此結(jié)論反映了等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的下標(biāo)在變化過程中，滿足和相等或差相等關(guān)系時(shí)所具有的等量關(guān)系式.它是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的深化，對(duì)解決等比數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)問題具有重要的應(yīng)用價(jià)值.

應(yīng)用1 已知Sn，Sm，Sk中某兩項(xiàng)的值，求另一項(xiàng)值的問題

例1 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S100 =200，S200 =300，則S300 =

A.400 ? ? ? ? ? ? ? B.350 ? ? ? ? ? ? ? C.300 ? ? ? ? ? ? ? D.100

解 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由結(jié)論可得S300 =S100+S200q100=S200 +S100 q200，200+300q100=300+200q200，解得q100= 或q100=1（舍去）.所以S300 =200+300× =350.選B.

小結(jié) 如果由已知條件進(jìn)行瞎猜，那么容易掉進(jìn)選項(xiàng)A的陷阱中.

例2 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S50 =4，S150 =8，則S350=

A.12 ? ? ? B.28+8 ? ? ? ?C.28-8 ? ? ? ?D.40

解 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由結(jié)論可得S200=S50 +S150 q50=S150 +S50 ?q150，則4+8q50=8+4q150，解得q50= ，q50=1（舍去），q50=- （舍去）.所以S200=4+8× =4 ，則S350=S150 +S200q150=28-8 .選C.

小結(jié) 在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的問題中，此類題型比較常見.如果k=m+n，那么就可以直接由結(jié)論求解;如果k>m+n，那么可以先利用結(jié)論求出Sm+n，然后看2m+n或m+2n是否與k相等，如果相等，即可再一次利用結(jié)論求解，直到得到結(jié)果.

應(yīng)用2 Sm和Sn的倍數(shù)或者商的關(guān)系與公比q的求值問題

例3 一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前200項(xiàng)之和為前100項(xiàng)之和的10倍，則此數(shù)列的公比為______.

解 設(shè)此數(shù)列的公比為q，由已知條件可知S200=10S100 ，則由結(jié)論可得S200=S100 +S100 q100=10S100 ，解得q= .

小結(jié) 一般地，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，如果它的前2n項(xiàng)之和為前n項(xiàng)之和的m倍，則此數(shù)列的公比為 .

例4 已知等比數(shù)列{an}的公比q=2，前n項(xiàng)和為Sn，則 =______.

解 由結(jié)論可得S11=S4+S7·24=S7+S4·27，整理可得15S7=127S4，即 = .

小結(jié) 此題如果由S7=S3+S4·23=S4+S3·24往下做，也可以求解，但要復(fù)雜一些.

應(yīng)用3 分子、分母是Sm與Sn的和或差的分式及公比q的求值問題

例5 已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且 = ，則q=______.

解 由結(jié)論可得S5-S1=S4q，S9-S5=S4q5，則 = = ，解得q=2或q=-2.

小結(jié) 由結(jié)論可將此題推廣為：已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比為q，如果n-p=m-k，那么 =qp-k.

應(yīng)用4 分子與分母都是若干項(xiàng)的和的分式的求值問題

例6 已知{an}為等比數(shù)列，且 = ，則 =

A. ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.

解 由 = = = ，可得q=3.由結(jié)論可得S4-S1=S3q=3S3，S7-S4=S3q4=81S3，所以 = = .選C.

小結(jié) 像這類題型，用一般方法去解，思路比較僵化，過程也很復(fù)雜，但用結(jié)論處理，卻思路清晰，過程簡(jiǎn)捷，既能提高解題速度，又能避免復(fù)雜運(yùn)算可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤.

應(yīng)用5 項(xiàng)與和的最值問題

例7 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a5的最大值為______.

解 由結(jié)論及已知條件可得a5=a1q4=S1q4=S5-S4≤15-10=5，所以a5的最大值為5.

小結(jié) 一般地，設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn≥a，Sm≤b，則當(dāng)n>m時(shí)，Sn-mqm的最小值為a -b;當(dāng)n