構(gòu)造比值，集中變量，二元問題一元化

韓宏帥

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具，而不等式與函數(shù)又有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.不等式證明是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是不等式的難點(diǎn).雖然證明不等式成立的方法眾多，但有些問題很難下手，特別是含有多個(gè)變?cè)ㄖ饕莾蓚€(gè)變?cè)┑牟坏仁阶C明，一般思路為利用放縮、等量代換，將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).這里介紹一個(gè)方法：構(gòu)造比值，集中變量，二元問題一元化.

例1 已知函數(shù)f（x）=ln x-mx+2，m∈R.

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=2的兩個(gè)不等實(shí)根為x1，x2，證明： >e（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）解：由題意可知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且 f ′（x）= -m= .

①當(dāng)m<0時(shí)， f ′（x）>0，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.又f（1）=-m+2>0，f（em-2）=m-mem-2=m（1-em-2）<0，所以f（1）f（em-2）<0，即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有唯一的零點(diǎn).

②當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=ln x+2.令f（x）=0，可得x=e-2.又可知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)m>0時(shí)，令 f ′（x）=0，可得x= .在（0， ）上， f ′（x）>0，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增;在（ ，+∞）上，f ′（x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，故當(dāng)x= 時(shí)，f（x）取得極大值，且極大值為f（ ）=ln ?+1=-ln m+1，無(wú)極小值.

若函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，則f（ ）=-ln m+1=0，解得m=e.

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，0]∪{e}.

（Ⅱ）證明：設(shè)函數(shù)g（x）= f（x）-2=ln x-mx，x>0，則函數(shù)g（x）的兩個(gè)相異零點(diǎn)為x1，x2，不妨設(shè)x1>x2>0.

由g（x1）=0，g（x2）=0，可得ln x1-mx1=0，ln x2-mx2=0.兩式相減得ln x1-ln x2=m（x1-x2），兩式相加得ln x1+ln x2=m（x1+x2）.

要證 >e，只需證ln x1+ln x2>2，即證m（x1+x2）>2，即證 > ，即證ln ?> .設(shè)t= ，則t>1，即證ln t> （t>1）.

設(shè)h（t）=ln t- ，則h′（t）= >0，所以h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，可得h（t）>h（1）=0，故ln t> ，即ln x1+ln x2>2，即 >e.

例2 已知函數(shù)f（x）=ln x-ax+b（a，b∈R）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最值.

（Ⅱ）證明：x1x2 < .

（Ⅰ）解：由已知有f ′（x）= -a，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上必不單調(diào)，故a>0.由f ′（x）>0，可得x< ，則f（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，在（ ，+∞）上單調(diào)遞減，所以fmax（x）= f（ ）=-ln a-1+b，函數(shù)f（x）無(wú)最小值.

（Ⅱ）證明：由已知有l(wèi)n x1-ax1+b=0，ln x2-ax2+b=0.兩式相減得ln ?=a（x1-x2），即a= .故要證x1x2 < ，只需證x1x2 < ，即證ln2 < = -2+ .

不妨設(shè)x1h（1）=0，則g′（t）>0，g（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，所以g（t）

例3 已知函數(shù)f（x）= ，g（x）=-n（x+1），其中mn≠0.

（Ⅰ）若m=n=1，求h（x）= f（x）+ g（x）的單調(diào)區(qū)間.

（Ⅱ）若f（x）+ g（x）=0的兩根為x1，x2，且x1>x2，證明： + <0.

（Ⅰ）解：由已知可得h（x）=f（x）+ g（x）= -x-1，所以h′（x）= -1= （1-x2-ln x）.

當(dāng)00，-ln x>0，所以1-x2-ln x>0;當(dāng)x>1時(shí)，由于1-x2<0，-ln x<0，所以1-x2-ln x<0.故h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）.

（Ⅱ）證明：由已知可得 =n（x1+1），即mln x1=n（x21+x1）.①

同理可得mln x2=n（x22+x2）. ?②

由①-②，可得mln =n（x21+x1-x22-x2）=n（x1-x2）·（x1+x2+1），則n（x1+x2+1）= ，所以 = - = .

不妨設(shè)x1>x2 ，要證 + <0，只需證 + <0，即證ln ?+ >0.令t= ，則t>1，即證p（t）=ln t+ >0（t>1）.由于p′（t）= - = >0，所以p（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則p（t）> p（1）=0.

故原不等式得證.

通過上述三個(gè)例子我們可以看出：若兩個(gè)變?cè)獂1，x2之間聯(lián)系緊密，我們可以通過計(jì)算、化簡(jiǎn)，將所證明的不等式整體轉(zhuǎn)化為關(guān)于m（x1，x2）的表達(dá)式，其中m（x1，x2）為x1，x2組合成的表達(dá)式，進(jìn)而令t=m（x1，x2）進(jìn)行換元，使所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的表達(dá)式，進(jìn)而用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行證明.因此，換元的本質(zhì)是消元.