高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)命題展望

石向陽

編者按：本期我們特地邀請了常年對全國卷進行深入研究，具有豐富經(jīng)驗的教師來探索高考命題的趨勢，同時給出相應(yīng)的預(yù)測題，以此為考生指明復(fù)習(xí)的方向，幫助考生把握高考的熱點，啟發(fā)考生的思維，以期各位考生能在今年的高考中多拿分.

熱點1：函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)的四大性質(zhì)是高考對函數(shù)內(nèi)容考查的重中之重，其中單調(diào)性與奇偶性更是高考的必考內(nèi)容.在高考命題中，函數(shù)常與方程、不等式等其他知識結(jié)合進行考查.

預(yù)測題1 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）= f（x），且當(dāng)x≥0時，f（x）=-x2+1，0≤x<1，2-2x，x≥1.若對任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1-x）≤f（x+m）恒成立，則實數(shù)m的最大值為

A.-1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?C.- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D.

參考答案 C

熱點2：函數(shù)圖像的判斷

根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖像，要從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面入手，結(jié)合給出的函數(shù)圖像進行全面分析，有時也可結(jié)合特殊的函數(shù)值進行輔助推斷，這是判斷函數(shù)圖像問題的基本方法.

判斷復(fù)雜函數(shù)的圖像，常借助導(dǎo)數(shù)這一工具，先對原函數(shù)進行求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值，從而對選項進行篩選.要注意函數(shù)求導(dǎo)之后，導(dǎo)函數(shù)發(fā)生了變化，故導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)定義域會有所不同，我們必須在原函數(shù)的定義域內(nèi)研究函數(shù)的極值和最值.

預(yù)測題2 函數(shù)f（x）=ex+ae-x與g（x）=x2+ax在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像不可能是

參考答案 C

熱點3：函數(shù)的零點

類型一 函數(shù)零點（即方程的根）的確定

常見的有：函數(shù)零點大致存在區(qū)間的確定，零點個數(shù)的確定，兩函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)或有幾個交點的確定.解決這類問題的常用方法有：解方程法、利用零點存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是等號兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程，多以數(shù)形結(jié)合法求解.

預(yù)測題3 已知函數(shù)f（x）滿足：①定義域為R;②？坌x∈R，都有f（x+2）= f（x）;③當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=-|x|+1，則方程f（x）= log2|x|在區(qū)間[-3，5]上解的個數(shù)是

A.5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? C.7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.8

參考答案 A

類型二 由函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題

解決這類問題的關(guān)鍵是利用函數(shù)與方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式進行求解.

預(yù)測題4 設(shè)f1（x）=|x-1|，f2（x）=-x2+6x-5.函數(shù)g（x）是這樣定義的：當(dāng)f1（x）≥f2（x）時，g（x）= f1（x）;當(dāng)f1（x）< f2（x）時，g（x）= f2（x）.若方程g（x）=a有四個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是

A.（-∞，4） ? ? ? ? B.（0，4） ? ? ? ? C.（0，3） ? ? ? ? D.（3，4）

參考答案 D

熱點4：不等式恒成立時逆求參數(shù)的取值范圍 （最值）

不等式恒成立問題一直是高考命題的熱點，把函數(shù)問題、導(dǎo)數(shù)問題和不等式恒成立問題交匯命制壓軸題成為一個新的熱點命題方向.

預(yù)測題5 已知函數(shù)f（x）= + ，當(dāng)x>0且x≠1時，f（x）> + ，求k的取值范圍.

參考答案 （-∞，0].

由不等式恒成立求解參數(shù)的取值范圍問題，直接含參討論函數(shù)的性質(zhì)，有點煩瑣，卻是官方青睞的正統(tǒng)解法，考生要仔細體會和掌握.分離變量法也很有效，但部分題型利用分離變量法處理時，會出現(xiàn)“ ”型代數(shù)式，利用洛必達法則雖能較好地處理，但有超綱的嫌疑.在這種情況下使用導(dǎo)數(shù)的定義，既能避免煩瑣的分類討論，又能避免使用洛必達法則.

熱點5：虛設(shè)零點整體代換證明不等式恒成立

要證明f（x）>0恒成立，只要證明fmin（x）= f（x0）>0.一般情況下，x0是導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的變號零點.如果f ′（x）=0是超越形式，我們無法求出導(dǎo)函數(shù)零點，這時我們一律對零點“設(shè)而不求”，通過形式化的合理代換或推理，謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過渡，將超越式化簡為普通式.

預(yù)測題6 已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.當(dāng)m≤2時，證明：f（x）>0.

提示 由已知推理得f（x）≥ex-ln（x+2）.令g（x）=ex-ln（x+2）.通過求導(dǎo)可得g′（x）在（-2，+∞）上單調(diào)遞增.又g′（-1）=e-1-1<0，g′（0）= >0，所以存在唯一的x0∈（-1，0），使得g′（x0）=0.通過函數(shù)單調(diào)性可得gmin（x）=g（x0）= -ln（x0+2）.通過推理得g（x0）>0，可得gmin（x）>0，即g（x）>0，所以f（x）>0.

熱點6：分離函數(shù)法證明函數(shù)型不等式

在用差值函數(shù)法直接證明F（x）= f（x）-g（x）>0無法完成的情況下，就要考慮用分離函數(shù)法了.先將f（x）>g（x）同解變形，整理成H（x）>G（x），整理的原則是不等式兩邊的函數(shù)H（x），G（x）容易用導(dǎo)數(shù)法研究它們的單調(diào)性，然后證明Hmin（x）≥Gmax（x），再說明兩邊取最值的自變量不一致，即證得H（x）>G（x），從而F（x）>0.該方法主要適用于同時含有l(wèi)n x，ex的不等式.

預(yù)測題7 已知f（x）=exln x+ ，證明：f（x）>1.

提示 即證xln x+ > .令h（x）=xln x+ （x>0），求導(dǎo)可知h（x）≥h（ ）= .令g（x）= （x>0），求導(dǎo)可知g（x）≤g（1）= .于是有h（x）>g（x），從而f（x）>1.

熱點7：放縮法證明含參數(shù)的函數(shù)型不等式

給定參數(shù)的取值范圍，證明含參函數(shù)f（x）>0恒成立，一般先利用參數(shù)取值范圍的端點值對f（x）>0進行放縮，變成新的不含參數(shù)的不等式.常用的放縮有：ex≥x+1，ln x≤x-1， ≤ln（1+x）≤x， < < .（在解答題中使用時一定要給出證明過程）

預(yù)測題6其他證法提示 經(jīng)分析只需證明ex-ln（x+2）>0，（另法1）即證ex >ln（x+2），或（另法2）即證 > ，或（另法3）即證 > e2.

熱點8：雙變量不等式問題

類型一 整體換元構(gòu)建函數(shù)

一般地，在變形過程中若出現(xiàn)指數(shù)形式 - = [1- ]，可考慮對k（x1-x2）作整體換元;若出現(xiàn)對數(shù)形式ln x2-ln x1=ln ，可考慮對 作整體換元.

預(yù)測題8 已知函數(shù)g（x）= -k有兩個不同的零點x1，x2，證明：x1x2>e2.

類型二 利用結(jié)構(gòu)相似構(gòu)建函數(shù)

在關(guān)于x1，x2的雙變量問題中，若無法將所要證明的不等式整體轉(zhuǎn)化為關(guān)于m（x1，x2）的表達式，可通過分離變量，凸顯出原不等式隱藏的規(guī)律，即左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征相似，則考慮將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題進行處理，進而實現(xiàn)消元的目的.

預(yù)測題9 已知f（x）=x-aln x（a<0）對（0， ）上的任意兩個不等的實數(shù)x1，x2，恒有|f（x1）- f（x2）|< | - |，求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案 - ≤a<0.（責(zé)任編校？筑馮琪）