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    初中數(shù)學(xué)勾股定理的多種證明方法

    2019-07-22 02:45:22江西省南昌市廣南學(xué)校
    數(shù)學(xué)大世界 2019年14期
    關(guān)鍵詞:勾股定理邊長直角三角形

    江西省南昌市廣南學(xué)校 劉 瑩

    引領(lǐng)學(xué)生探索多種證明勾股定理的方法,對扎實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、提高學(xué)生解決問題的能力具有重要作用。本文從以下幾點(diǎn)闡述初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生從多角度探索勾股定理的證明方法。

    一、平移推理法

    平移推理法簡單有趣,有助于學(xué)生的理解記憶。在學(xué)生初次接觸勾股定理時(shí),教師不妨引導(dǎo)學(xué)生使用平移法證明勾股定理,以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

    圖1

    圖2

    圖3

    二、割補(bǔ)拼接法

    割補(bǔ)拼接法證明方法變化多,對鍛煉學(xué)生思維的靈活性、獨(dú)創(chuàng)性和敏捷性具有一定的作用。因此教師便可引導(dǎo)學(xué)生利用割補(bǔ)拼接法證明勾股定理,以提高學(xué)生的思維能力。

    首先,我讓學(xué)生準(zhǔn)備若干正方形和直角三角形的卡片,讓學(xué)生自由拼接出其他圖形,試圖找出其中勾股定理的證明方法。待學(xué)生思考一陣,我便用多媒體為學(xué)生展示上圖3,并介紹道:“這是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的‘勾股圓方圖’,他利用這幅圖證明了勾股定理,同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)這幅圖的奧妙嗎?”我讓學(xué)生利用手邊的卡片拼出“趙爽弦圖”,并提示學(xué)生:“設(shè)圖中直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b(b>a),斜邊長為c,那么這個(gè)大正方形的面積有幾種表示方法呢?”在我的引導(dǎo)下,一名學(xué)生寫出證明過程:

    大正方形的邊長為c,其面積為c2。

    因?yàn)閳D中四個(gè)直角三角形全等,

    所以小正方形的邊長為b-a,其面積為(b-a)2。

    然后,我再鼓勵學(xué)生拼出其他圖形并進(jìn)行證明。通過這一過程,可以讓學(xué)生了解到多種證明勾股定理的渠道,并有效鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力,從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

    三、圓形輔助法

    以上證明勾股定理的方法都離不開正方形的輔助,為拓展學(xué)生思維,我又引入“圓形輔助法”,即通過作直角三角形的外接圓、內(nèi)切圓來證明勾股定理。這種方法涉及一些圓的知識,但并不復(fù)雜,可作為勾股定理的拓展學(xué)習(xí)。且由于這種證明方法較為新穎,可以有效激發(fā)學(xué)生的探索欲望,教師也可以借此鍛煉學(xué)生自主探究的能力。

    首先,我利用多媒體為學(xué)生展示圖4,并做簡單介紹:在Rt △ABC 中,直角邊BC=a,AC=b,斜邊AB=c。作△ABC 的內(nèi)切圓,切點(diǎn)為D、E、F,半徑為r。

    然后我向?qū)W生說明“過切點(diǎn)的半徑垂直于該切線”的性質(zhì),接著便讓學(xué)生自主探究勾股定理的證明方式。結(jié)果,學(xué)生便根據(jù)三角形全等的性質(zhì),找出圖中幾組長度相等的邊,得出AC+BCAB=2r,即a+b-c=2r,進(jìn)而得出a2+b2+2ab=4(r2+rc)+c2。然后,又將△AOC、△AOB、△BOC 的面積相加,得出△ABC 的面積為r2+rc。又因?yàn)樗杂蒩2+b2+2ab=4(r2+rc)+c2可以得出a2+b2=c2。

    圖4

    學(xué)生先是利用圓的性質(zhì)和全等三角形的知識找出有價(jià)值的條件,然后根據(jù)以往證明思路找出計(jì)算大三角形面積的兩種方法,并找出等量關(guān)系,進(jìn)而證明了勾股定理。所以說這種證明方法對于開拓學(xué)生思維、鍛煉學(xué)生探究能力大有裨益。

    總之,在初中數(shù)學(xué)勾股定理的教學(xué)中,教師可適當(dāng)為學(xué)生介紹多種勾股定理的證明方法,以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)潛能,開拓思維,進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。

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