撓性衛(wèi)星姿態(tài)的有限時間終端滑模穩(wěn)定控制

常雅杰,趙 晨，段傳輝

0 引 言

隨著航天科技的迅猛發(fā)展，衛(wèi)星結構的大型化和復雜化已經是當今這個航天任務多樣化的時代不可避免的發(fā)展趨勢.為在延長衛(wèi)星在軌壽命的同時高效完成任務需求，各類功能附件的安裝十分必要.衛(wèi)星在軌運行時，附件結構受環(huán)境干擾產生的振動響應以及撓性附件與衛(wèi)星本體之間的動力學強耦合效應一直以來都是撓性衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制中亟待解決的問題.

近年來，在撓性衛(wèi)星的姿態(tài)控制方面，現代控制理論研究成果受到了越來越多的關注，魯棒控制[1-2]、自抗擾控制[3]、預測控制[4-5]、最優(yōu)控制[6-7]等控制方法得到了廣泛的應用，例如文獻[8]針對CNES微小撓性衛(wèi)星TARANIS具有的轉動慣量、固有頻率及阻尼存在不確定性的情況，基于LMI方法使用S函數設計了增益可調的魯棒自適應控制器；WU等[9]針對安裝有大型撓性附件和有效載荷的航天器高精度姿態(tài)控制問題，首先建立了拉格朗日形式的姿態(tài)動力學模型，然后針對在軌航天器受到的干擾設計了基于LMI的H∞輸出反饋控制器，并采用凸優(yōu)化算法處理模型的不確定性；文獻[10]將撓性航天器受到的外干擾和執(zhí)行機構約束考慮在內，基于Sontag型公式和Lyapunov方法設計了一種新型魯棒逆最優(yōu)控制策略實現姿態(tài)的機動控制; 文獻[11]針對無角速度敏感器的撓性衛(wèi)星提出了一種將ADRC和輸入成型技術相融合的新型控制方案，采用機動路徑規(guī)劃與輸入成型相結合的過渡過程削弱振動響應，設計ESO估計干擾和姿態(tài)角速度信息，并引入了非線性反饋控制律實現期望姿態(tài)跟蹤和實時干擾補償.如上所述，有大量的控制方法可以實現衛(wèi)星姿態(tài)的收斂，然而對于控制系統而言，有限時間收斂與現有控制方法的漸近收斂特性相比，往往意味著更好的控制性能和魯棒性，而采用連續(xù)狀態(tài)反饋的終端滑模方法就是一種性能優(yōu)良的有限時間控制方法[12-13].但其中很大一部分文獻忽略或簡化了衛(wèi)星的剛柔耦合效應，并簡單的將外干擾力矩設為零或常值，而忽視了衛(wèi)星在軌運行的真實特性.

因此，致力于實現撓性衛(wèi)星的有限時間姿態(tài)穩(wěn)定控制，并充分考慮衛(wèi)星在軌運行時的真實特性，本文提出了一種基于雙冪次趨近律的終端滑?？刂破鳎⑼ㄟ^兩種不同類型的觀測器將外干擾力矩和剛柔耦合效應考慮在內.論文結構如下所述：第1節(jié)建立了撓性衛(wèi)星的數學模型；第2節(jié)構造了非線性干擾觀測器、超螺旋觀測器和終端滑?？刂破?，并采用Lyapunov理論證明了閉環(huán)控制系統的穩(wěn)定性；最后，在第3節(jié)通過仿真驗證了所提控制算法的有效性.

1 撓性衛(wèi)星的數學模型

1.1 姿態(tài)運動學模型

基于四元數描述的衛(wèi)星姿態(tài)運動學方程如下[14]：

1.2 姿態(tài)動力學方程

考慮在姿態(tài)控制過程中，帆板相對于衛(wèi)星主體無轉動的情況，采用混合坐標建立撓性衛(wèi)星的姿態(tài)動力學模型[14]：

根據衛(wèi)星的動力學方程可以很明顯的看出，衛(wèi)星本體的角速度影響帆板附件的撓性模態(tài)，相應的，帆板模態(tài)的振動響應也對衛(wèi)星姿態(tài)產生影響.

2 撓性衛(wèi)星有限時間姿態(tài)控制器設計

將衛(wèi)星運行過程中受到的外干擾力矩和剛柔耦合效應考慮在內，本文結合兩種不同的觀測器設計了終端滑?？刂破鲗崿F撓性衛(wèi)星的有限時間姿態(tài)穩(wěn)定控制.

2.1 非線性干擾觀測器設計

在衛(wèi)星的動力學模型(2)中存在未知的外界干擾Td,為了提高撓性衛(wèi)星控制系統的控制精度，基于物理意義明確、工程實現便捷的考慮，本文設計了非線性干擾觀測器來逼近不確定系統(2)中的未知干擾，從而補償干擾給系統帶來的影響，提高系統的控制性能.

J-1Tc+J-1Td(3)

可以得到狀態(tài)空間方程如下：

針對系統(4)可以設計如下形式的NDO：

根據式(5)及衛(wèi)星動力學方程(2)可以得到如下表達式

為證明干擾估計的有效性，定義Lyapunov函數

對式(7)求導得

2.2 超螺旋觀測器設計

引理1[16].考慮系統

設計超螺旋觀測器形式如下：

2.3 終端滑模控制器設計

首先假設期望的姿態(tài)四元數為qd,則姿態(tài)的誤差四元數可以定義為

其次，假設期望的姿態(tài)角速度為ωd,則姿態(tài)的誤差角速度可以定義為

ωe=ωs-ωr(13)

根據式(11)～式(14)，可以由運動學和動力學方程(1)、(2)獲得撓性衛(wèi)星的姿態(tài)誤差方程如下：

s=x2+α0sigχ0(x1)(16)

其中：α0>0，χ0∈(0,1)，sigχ0(x)=|x|χ0sgn(x). 由于“抖振”現象是傳統滑?？刂浦械囊粋€顯著缺點，容易對控制系統的穩(wěn)定性產生威脅，因此，為同時實現削弱系統抖振和提高狀態(tài)遠離滑模面時的運動速度，采用如下形式的雙冪次趨近律：

其中：α>1,0<β<1,k1>0,k2>0.

采用上述趨近律時，在滑模面附近，k1sigα(s)項可以忽略，則由0<β<1可知，趨近滑動模態(tài)的速度逐漸減小，抖振現象有所削減；在遠離滑模面時，k2sigβ(s)項可以忽略，則由α>1可知，趨近滑動模態(tài)的速度顯著加快，減小了運動時間.

為了同時實現系統狀態(tài)到達滑模面和在滑模面上趨近零平衡點的有限時間特性，本文選取如下形式的控制律：

Tc=ueq+ureach(18)

其中，ueq為等效控制律.

式(18)中的第二項主要在到達階段發(fā)生作用，用于確保系統狀態(tài)在到達階段的有限時間特性.控制律的形式如下：

ureach=-J[k1sigα(s)+k2sigβ(s)](21)

因此，本文設計的撓性衛(wèi)星終端滑?？刂坡尚问饺缦拢?/p>

引理2[17].考慮系統

(1)V是正定函數

(2) 存在k1>0,00且為常值時，如果V滿足下列任一微分不等式

則系統(23)是有限時間穩(wěn)定的.

定理1.對系統(15)采用控制律(22)可使得衛(wèi)星姿態(tài)在有限時間內趨于平衡點.

(1) 當系統狀態(tài)(x1,x2)位于A區(qū)域時，式(22)中的飽和函數取為

因此可將控制律改寫為

定義Lyapunov函數

對其求導得

根據引理2可知，系統(15)將在有限時間內到達滑模面(16).

圖1 狀態(tài)空間的區(qū)域劃分示意圖Fig.1 Regional division of state space

(2) 當系統狀態(tài)(x1,x2)位于B區(qū)域時，式(22)中的飽和函數取為

sat(uf,us)=us(30)

則可以將控制律(22)改寫為

J[k1sigα(s)+k2sigβ(s)](31)

則有

因此在區(qū)域B上總有以下情況成立：

根據式(15)可知，狀態(tài)x1(t)的解可以表示為

則根據圖1可知，在區(qū)域B內，當x2(t)>0時，x1(t)單調遞增直到穿越區(qū)域B和區(qū)域A的邊界；當x2(t)<0時，x1(t)單調遞減直到穿越區(qū)域B和區(qū)域A的邊界.因此可知，狀態(tài)(x1,x2)不會始終保持在區(qū)域B內，而是會在有限時間內從區(qū)域B穿越到區(qū)域A.一旦狀態(tài)(x1,x2)到達區(qū)域A,系統將滿足s有限時間穩(wěn)定條件.

最后，當系統到達滑模面s=0以后，定義Lyapunov函數

對其求導得

根據引理2可知，系統(15)的狀態(tài)將在有限時間收斂到(0,0).

證明完畢.

3 仿真結果與分析

為了驗證本文提出的控制器的控制效果，本節(jié)對帶有兩副太陽帆板的撓性衛(wèi)星進行仿真分析，并與采用一般滑模控制方法的仿真結果進行對比.

用于對比的滑?？刂坡扇缦拢?/p>

u=-K1s-D1F(s)+ueq(38)

式中K1=diag{ki}，D1=diag{di}，ki>0，di>0，i=1,2,3,F(s)={sgn(s1),sgn(s2),sgn(s3)}T.

滑?？刂破鞑捎玫那袚Q函數為

s=ωe+kqve(39)

(1) 衛(wèi)星本體相關參數的取值如表1所示.

(2) 定義Ci=2εΩ，Ki=Ω2(i=1,2),相關參數取值如表2所示.

(3) 仿真過程中選取控制參數如表3所示.

表1 衛(wèi)星本體相關參數Tab.1 Parameters of the satellite body

表2 太陽帆板前六階振型頻率與阻尼比Tab.2 Parameters of solar panel

表3 仿真過程控制參數Tab.3 Parameters of observer and controller

首先，為了驗證本文提出的非線性干擾觀測器(5)對環(huán)境干擾力矩的估計效果，給出環(huán)境干擾力矩觀測誤差曲線如下圖2所示.

圖2 環(huán)境干擾力矩觀測誤差曲線Fig.2 Response of observing error of disturbance torque

根據圖2可知，仿真施加的環(huán)境干擾力矩與非線性干擾觀測器估計的干擾力矩誤差收斂迅速，100 s內誤差收斂到0附近，400 s后穩(wěn)態(tài)觀測誤差達到2.3×10-4N·m數量級，說明本文提出的非線性干擾觀測器對環(huán)境干擾力矩具有良好的觀測效果.

下面首先給出一般滑?？刂破?38)的仿真結果.圖3～圖6給出了采用一般滑模控制器對衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制的仿真結果，根據圖3和圖4可知，衛(wèi)星姿態(tài)四元數誤差及姿態(tài)角速度誤差曲線在50 s后收斂到5×10-3數量級，但“抖振”現象劇烈，衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制的誤差在平衡點附近產生了振蕩，衛(wèi)星姿態(tài)角速度誤差最大達到0.27(°)/s，且姿態(tài)角速度誤差在370s后才收斂到1×10-5數量級.圖5和圖6給出了撓性帆板的6階模態(tài)振動響應，可以看出在50 s后兩塊帆板的振動幅值均收斂到1×10-4數量級，但是模態(tài)坐標曲線波動劇烈.圖7～圖10給出了本文所提終端滑?？刂破鲗πl(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制的仿真結果，根據圖7和圖8可以看出，雖然仍舊存在“抖振”現象，但姿態(tài)角速度誤差最大值僅為-0.025(°)/s，且衛(wèi)星姿態(tài)四元數誤差及姿態(tài)角速度誤差曲線在50 s后分別收斂到6.5×10-3和1×10-5數量級；圖9及圖10給出了衛(wèi)星+Y及-Y方向撓性太陽帆板的6階模態(tài)振動響應，從圖中可以看出，模態(tài)坐標收斂迅速，在50 s后兩塊帆板的振動幅值均收斂到5×10-5數量級.從上述變化曲線及數據分析可以看出，本文提出的終端滑?？刂破鬏^一般控制器而言具有良好的收斂速度、控制精度和穩(wěn)定度，在有效抑制撓性帆板結構振動響應的同時實現了衛(wèi)星姿態(tài)的高精度高穩(wěn)定度控制.

圖3 姿態(tài)四元數誤差曲線Fig.3 Response of quaternion error

圖4 姿態(tài)角速度誤差曲線Fig.4 Response of attitude angular velocity error

圖5 +Y方向帆板模態(tài)坐標曲線Fig.5 Response of vibration modes in +Y

圖6 -Y方向帆板模態(tài)坐標曲線Fig.6 Response of vibration modes in -Y

圖7 姿態(tài)四元數誤差曲線Fig.7 Response of quaternion error

圖8 姿態(tài)角速度誤差曲線Fig.8 Response of attitude angular velocity error

圖9 +Y方向帆板模態(tài)坐標曲線Fig.9 Response of vibration modes in +Y

圖10 -Y方向帆板模態(tài)坐標曲線Fig.10 Response of vibration modes in -Y

4 結 論

本文針對存在外部干擾和剛柔耦合效應的撓性衛(wèi)星，采用觀測器估計未知信息，提出了一種終端滑模有限時間控制方法，該控制方法具有以下優(yōu)點：

(1) 通過非線性干擾觀測器和超螺旋觀測器估計了外部干擾力矩和衛(wèi)星角加速度信息；

(2) 采用雙冪次趨近律實現了在削弱系統抖振的同時提高狀態(tài)遠離滑模面時的運動速度；

(3) 通過Lyapunov理論證明和數據仿真分析驗證了該方法在有效抑制撓性振動的同時可以快速、高效的實現衛(wèi)星姿態(tài)的有限時間穩(wěn)定.