基于偽譜法的空間繩系組合體最優(yōu)燃耗離軌研究*

李鵬杰,談樹萍,鐘 睿

0 引 言

目前，空間碎片清理越來越受到國內(nèi)外航天界的關注. 在所有可能的空間碎片清理方式中，空間繩系系統(tǒng)因為其具有質(zhì)量輕、結(jié)構(gòu)簡單、可作用范圍遠等優(yōu)點，是最有前景的空間碎片清理方式之一.主動星在完成拖拽目標進入目標軌道的任務中，由于主動星的載荷和續(xù)航有限，對離軌燃耗的優(yōu)化是很有必要的；其次，通過傳統(tǒng)的方法很難求解出組合體離軌最優(yōu)控制問題的解析解，而偽譜法求解最優(yōu)控制問題收斂速度快，精度高，對初值敏感度低，使用偽譜法對繩系組合體離軌最優(yōu)控制問題進行研究具有積極的意義.

對繩系組合體動力學和控制的研究已經(jīng)經(jīng)歷很長一段時間，有了一系列成熟的理論和成果. MODI等[1]在1980年提出極具一般性的繩系系統(tǒng)動力學模型，不僅考慮了系繩分布質(zhì)量、空間位形，還考慮了系繩和航天器連接點的偏置，得到了復雜的微分方程. 2001 年歐空局提出了地球靜止軌道碎片清理器(ROGER,robotic geostationary orbit restorer)項目[2]，該項目提出的控制策略能有效地抑制組合體離軌過程中系繩的擺動. 在繩系組合體離軌優(yōu)化方面，LIU 等人[3]提出了加速、平衡、旋轉(zhuǎn)、返回四階段組成的地球同步軌道上廢棄衛(wèi)星拖曳離軌方案，仿真表明方案可行，并能夠節(jié)省整個過程的燃耗. ZHONG等人[4]設計了與最優(yōu)控制結(jié)合的電動力繩系微小衛(wèi)星的快速拖曳離軌方案，該方案能夠?qū)⑾道K擺動限制在允許的范圍內(nèi)，并實現(xiàn)電動力繩系微小衛(wèi)星的快速離軌.

本文同樣與最優(yōu)控制結(jié)合，設計了拖拽、穩(wěn)定、甩擺三個離軌過程. 拖拽過程采用最優(yōu)控制方法，目的是最優(yōu)化離軌全過程燃耗. 拖拽完成后組合體以垂直構(gòu)型到達轉(zhuǎn)移軌道，在轉(zhuǎn)移軌道上主動星關閉推力，借助重力梯度作用經(jīng)過一段平衡過程到達甩擺點. 甩擺點上主動星通過推力作用獲得一定量沖量，將目標星甩到能夠到達目標軌道的速度后切斷系繩. 本文提出了適用于偽譜法求解的繩系組合體簡化動力學模型，通過偽譜法求解得到系統(tǒng)狀態(tài)最優(yōu)軌跡；然后考慮更加精確組合體動力學模型，并考慮主要外界干擾，設計了模型預測控制器來跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)最優(yōu)軌跡，實現(xiàn)了組合體燃耗最優(yōu)離軌的閉環(huán)控制.

1 繩系組合體動力學建模

繩系組合體由主動星、目標星和連接于兩星之間的系繩組成. 對于本文所使用的繩系組合體動力學進行建模，模型采用常用的啞鈴模型，考慮組合體三維空間的軌道運動和系繩在軌道平面內(nèi)和軌道平面外二維的擺振運動，并做出如下假設：1) 主動星與目標星視為質(zhì)點，系繩視為只可承受拉力的剛性桿；2) 系繩長度固定，忽略組合體質(zhì)心與重心的差異；3) 組合體運動分解為質(zhì)心的軌道運動和繞質(zhì)心的擺振運動.

(5)

Fte=Ql+

(9)

式中，m為系統(tǒng)質(zhì)量，m=m1+m2+mt.J2,RE為地球扁率系數(shù)和地球半徑，均為常值，J2=1.082 63×10-3，RE=6.378 141×106m.r,i,u分別為系統(tǒng)質(zhì)心到地心的距離、系統(tǒng)質(zhì)心軌道傾角、系統(tǒng)質(zhì)心軌道緯度幅角.

圖1 三維空間繩系組合體模型Fig.1 Three dimensional TSS model

為了降低求解最優(yōu)拖曳離軌控制問題的維度，對以上空間模型進行平面假設：1) 忽略系統(tǒng)在軌道平面外的運動；2) 忽略系繩的質(zhì)量；3) 推力F作用于軌道平面內(nèi)，與xo軸夾角為η；4) 不考慮地球扁率及其他引力攝動. 由此可得到簡化組合體質(zhì)心軌道動力學方程、系繩擺振動力學方程以及系繩張力表達式為：

Fte,plane=m1m2m-1l×

Fm2m-1sin(η+α)(19)

zo軸和xo軸方向的攝動加速度fr和fu表達式為fr=Fsinη/m，fu=Fcosη/m.Fte,plane為平面假設模型下系繩張力大小.

2 組合體離軌方案設計

2.1 問題描述

空間繩系組合體進行軌道機動轉(zhuǎn)移，需要面臨三大主要風險：一是系繩張力過大引起的系繩斷裂，二是系繩松弛引起的兩星相撞，三是目標星自旋或章動以及系繩劇烈的擺動引起的系繩纏繞. 本文將主動星和目標星視為質(zhì)點，不考慮兩星姿態(tài)運動對于組合體離軌的影響. 如何避免上述組合體離軌所必須面臨的風險，是本文方案設計的重點考慮因素. 參照空間碎片協(xié)調(diào)委員會(IADC)對地球同步軌道(GEO)上空間碎片處理的建議[7]，本文提出的組合體離軌方案目標為將目標星送入近地點高于GEO高度350 km的墳墓軌道.

2.2 設計思路

如圖2所示，該組合體軌道轉(zhuǎn)移方案可分為三個階段：

(1) 拖拽. 基于高斯偽譜法求解組合體在主動星推力作用下從GEO拖拽至轉(zhuǎn)移軌道的燃耗最優(yōu)控制問題. 最優(yōu)控制問題優(yōu)化指標為離軌三個階段總的燃耗，由于到達的轉(zhuǎn)移軌道確定了，第三階段甩擺所需要的燃耗也可確定. 拖拽結(jié)束后到達的轉(zhuǎn)移軌道為遠地點高于GEO高度350 km的橢圓軌道. 求解得到系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)軌跡，通過對最優(yōu)軌跡的跟蹤控制，組合體完成拖拽階段，并以垂直構(gòu)型且面內(nèi)擺動速率為零進入下一階段.

(2) 平衡. 主動星關閉推力，借助重力梯度作用以及適當?shù)目刂谱饔茫M合體保持垂直構(gòu)型在轉(zhuǎn)移軌道上做軌道運動，最終到達轉(zhuǎn)移軌道的遠地點. 本文忽略該階段的燃耗.

(3) 甩擺. 組合體到達轉(zhuǎn)移軌道遠地點后，通過主動星推力作用，主動星在很短的時間內(nèi)獲得一個水平方向的沖量，組合體進行甩擺.甩擺發(fā)生180°，主動星與目標星進行動量交換，目標星到達期望的離軌速度，此刻剪斷系繩，目標星進入軌道半徑高于GEO高度350 km的圓軌道，滿足墳墓軌道要求.

圖2 離軌三階段示意圖Fig.2 Three phases of TSS deorbit

2.3 拖拽階段最優(yōu)控制求解

隨著計算機技術的不斷發(fā)展，最優(yōu)控制問題的求解逐步由解析方法向數(shù)值方法轉(zhuǎn)變. 近年來，偽譜法在眾多直接法中發(fā)展較快. 迄今為止，偽譜法已經(jīng)應用于解決無人機航跡規(guī)劃、導彈制導、機械臂軌跡優(yōu)化、倒立擺的穩(wěn)定、航天器軌道機動和入軌飛行器上升段制導等大量最優(yōu)控制問題[8-12]，成為目前解決最優(yōu)控制和軌跡最優(yōu)化問題最有效的工具.

其中，式(20)加號左邊積分項為第一階段的燃耗，加號右邊為第三階段甩擺主動星需獲得的沖量，其中m1為甩擺階段主動星的質(zhì)量，表達式為：

式(21)中Δm為第一階段消耗的燃料質(zhì)量，Isp為推力器比沖.

為對于第三階段甩擺，將該階段時間視為足夠短，主動星質(zhì)心的軌道沒有變化，該過程除了受到恒定地球引力外不受其他外力干擾.對組合體從垂直構(gòu)型到甩擺180°該過程，根據(jù)動量定理和角動量定理有：

m1(v1+Δv)+m2v1=m1v1+m2v2(22)

式中,rc為目標圓軌道半徑，μ為地球引力常數(shù)，a、e分別為轉(zhuǎn)移軌道半長軸和偏心率.

該組合體離軌最優(yōu)控制問題動力學約束為式(15)～(18)，狀態(tài)初值和末端條件為：

a(τf)(1+e(τf))=rp,grave(26)

其中rp,grave為墳墓軌道近地點半徑，即轉(zhuǎn)移軌道遠地點半徑.考慮到離軌面臨的三大主要風險，對系繩張力大小、系繩面內(nèi)擺角及擺角速率施加約束.邊界條件和非線性約束為：

xmin≤x(τ)≤xmax(27)

umin≤u(τ)≤umax(28)

0

該最優(yōu)控制問題使用MATLAB最優(yōu)化求解工具箱GPOPS進行求解，獲得離軌全過程燃耗最優(yōu)，拖拽段的狀態(tài)和控制最優(yōu)軌跡.

2.4 模型預測控制器設計

由于模型的不精確性以及外界干擾的存在，所得到的開環(huán)最優(yōu)控制軌跡無法直接用于控制組合體完成拖拽段到達轉(zhuǎn)移軌道，于是設計模型預測控制器閉環(huán)控制消除系統(tǒng)狀態(tài)偏差. 閉環(huán)控制的系統(tǒng)模型采用式(1)～(7)推導的較為精確的系統(tǒng)模型，并考慮地球扁率帶來的引力攝動. 模型預測控制方法是基于最優(yōu)化的反饋控制方法，在每一個采樣時刻k的優(yōu)化指標為：

G(U(k))=

0≤k≤τf,0

xmin≤x(k+i)≤xmax(31)

Umin≤U(k+i)≤Umax(32)

x(k+N)-xopt(k+N)=0;

0

其中式(31)、式(33)對系繩面內(nèi)擺角、面內(nèi)擺動速率以及張力大小進行約束，避免離軌三大風險.式(34)保證了模型預測控制器的穩(wěn)定性. 需要說明都是模型預測控制器中預測模型仍然是平面假設下的簡化模型.

3 仿真分析

3.1 仿真參數(shù)

繩系組合體物理參數(shù)見表1，開環(huán)最優(yōu)控制問題求解仿真參數(shù)見表2，閉環(huán)模型預測控制仿真參數(shù)見表3.

表1 繩系組合體物理參數(shù)Tab.1 Space tethered system physical parameters

表2 最優(yōu)控制問題約束參數(shù)Tab.2 Constraints in the open-loop optimization

表3 模型預測控制仿真參Tab.3 Constraints in MPC

3.2 拖拽段開環(huán)最優(yōu)軌跡

圖3 拖拽段狀態(tài)量開環(huán)最優(yōu)軌跡Fig.3 Open-loop optimal trajectories of state variables in dragging phase

圖3和圖4給出了拖拽段系統(tǒng)狀態(tài)變量和控制變量的最優(yōu)軌跡. 圖5給出系統(tǒng)質(zhì)心近地點半徑和遠地點半徑變化曲線，以及系繩張力的變化曲線. 圖3中可以看出軌道半長軸和偏心率以一致的趨勢增加，系繩的面內(nèi)擺動速率控制在±2×10-3rad/s范圍內(nèi)，面內(nèi)擺角在[0,2.3]rad范圍內(nèi)變化. 圖4中可以看出推力大小限制在50 N以內(nèi)，并且推力沿著軌道運動方向. 圖5中可以看出系統(tǒng)質(zhì)心軌道近地點半徑不變，遠地點高度持續(xù)提升至墳墓軌道近地點半徑高度，并且在整個過程中系繩的張力在[0,10N]范圍內(nèi). 優(yōu)化后的總?cè)己臑?.318 7×104kg·m/s，為同質(zhì)量單體航天器進行霍曼轉(zhuǎn)移從同步軌道到達墳墓軌道所需燃耗的74.8%.

圖4 拖拽段控制量開環(huán)最優(yōu)軌跡Fig.4 Open-loop optimal trajectories of control variables in dragging phase

圖5 軌道近地點半徑和遠地點半徑以及系繩張力大小隨時間變化曲線Fig.5 Times histories of orbital perigee and apogee and tether tension

3.3 模型預測控制仿真

圖6 拖拽段系統(tǒng)質(zhì)心軌道要素變化曲線Fig.6 Times histories of orbital elements of TSS’ center of mass in dragging phase

圖7 拖拽段系繩面內(nèi)面外擺角和擺角速率變化曲線Fig.7 Times histories of tether in-plane and out-of-plane libration angle and angular velocity in dragging phase

圖8 拖拽段系推力大小和方向以及系繩張力大小變化曲線Fig.8 Times histories of closed-loop control variables and tether tension

圖6和圖7給出了系統(tǒng)在拖拽段狀態(tài)變量的跟蹤情況，以及系統(tǒng)質(zhì)心另外三個軌道要素變化情況和系繩面外擺動情況，可以看出模型預測控制器能跟蹤上最優(yōu)軌跡. 圖8給出閉環(huán)控制量推力和推力方向變化曲線，以及系繩張力變化情況. 從圖7、圖8中可以看出系繩面內(nèi)、面外擺動速率被限制在一個很小的范圍內(nèi)，系繩張力大于零，系繩保持張緊，避免了離軌的三大風險. 拖拽段閉環(huán)所用燃耗為2.260 9×104kg·m/s，由式(24)計算出甩擺段所需燃耗為1.067 8×104kg·m/s，全過程所需燃耗為霍曼轉(zhuǎn)移的75%. 比霍曼轉(zhuǎn)移更節(jié)省燃耗的原因主要是系繩的動量交換特性，在甩擺階段主動星將部分軌道能量轉(zhuǎn)移到目標星上，最終只消耗主動星75%霍曼轉(zhuǎn)移燃耗就能夠?qū)⒛繕诵撬瓦_墳墓軌道，而主動星到達轉(zhuǎn)移軌道附近.

3.4 平衡段運動說明

組合體結(jié)束拖拽段后進入平衡段，主動星推力關閉. 仿真表明，平衡段組合體借助重力梯度作用，系繩張力比較小，在一定初值范圍，組合體垂直構(gòu)型以及張力大于零可以維持，如考慮外干擾，需要引入防松弛控制，不在本文范疇，在后續(xù)工作中將進一步研究.

4 結(jié) 論

本文提出一種基于偽譜法求解的繩系組合體最優(yōu)燃耗離軌方案，通過拖拽、平衡、甩擺三個階段可將目標星以最優(yōu)的燃耗轉(zhuǎn)移至墳墓軌道. 對拖拽段仿真表明該方法能夠利用系繩動量交換特性以75%霍曼轉(zhuǎn)移的燃耗實現(xiàn)目標星的軌道轉(zhuǎn)移，并避免了三大風險. 但本文缺乏平衡段面內(nèi)擺振鎮(zhèn)定和甩擺段的仿真，有待于進一步改進.