逢山開路遇水搭橋

王煒

摘? ? 要：在用代數(shù)法研究解析幾何問(wèn)題時(shí)，如果難以直接尋找x與y的關(guān)系，就需要引進(jìn)一個(gè)中間變量（稱之為參數(shù)）.教師可以通過(guò)預(yù)判性的幾何問(wèn)題代數(shù)化策略來(lái)選擇參數(shù).

關(guān)鍵詞：參數(shù)選擇;點(diǎn)相關(guān);線相關(guān)

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何對(duì)象之間的關(guān)系和性質(zhì)的一門幾何學(xué)分支.研究問(wèn)題時(shí)，需要將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，然后在代數(shù)中研究幾何問(wèn)題.如果難以直接尋找x與y之間的關(guān)系，怎樣將幾何問(wèn)題代數(shù)化？往往要引進(jìn)參數(shù)，再通過(guò)消參解決問(wèn)題.如何引進(jìn)參數(shù)？常言道：逢山開路，遇水搭橋.何時(shí)“開路”？何時(shí)“搭橋”？涉及參數(shù)的選擇.在教學(xué)中，筆者通過(guò)預(yù)判性的幾何問(wèn)題代數(shù)化策略來(lái)選擇參數(shù).

一、問(wèn)題提出

題目：在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，已知圓[C]的方程為[x2+（y-1）2=5]，點(diǎn)[A]為圓[C]與[x]軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)[A]作圓[C]的弦[AB]，記線段[AB]的中點(diǎn)為[M].若[OA=OM]，求直線[AB]的斜率.

此題是南京市、鹽城市2015屆高三年級(jí)第二次模擬考試填空題的第12題，屬于中檔題.具體解答如下.

法1：設(shè)直線[lAB]：[y=kx+2]，再與[x2+（y-1）2=5]聯(lián)立方程組，消去[y]得[x1+x2=-2k2k-11+k2]，則[xM=x1+x22=-k2k-11+k2]，即[M-k2k-11+k2，k2+2k1+k2]，由[OA=OM=2]，

得[k=2]（[k=-2]舍去）.

法2：設(shè)點(diǎn)[Mx0，y0]，則[B2x0+2，2y0]，由[OM=2]得[x02+y02=4]①.再將點(diǎn)[B]代入圓[C]，得：[x02+（y0-1）2=5]②.由①②得：[y0=2x0+4]，則[kAB=y0x0--2=2x0+4x0+2=2].

提出問(wèn)題：該題設(shè)點(diǎn)、設(shè)線均可，我們知道“點(diǎn)在線上，且線經(jīng)過(guò)點(diǎn)”，何時(shí)設(shè)點(diǎn)？何時(shí)設(shè)線？

二、問(wèn)題梳理

解析幾何問(wèn)題求解一般有三個(gè)環(huán)節(jié)：設(shè)參、轉(zhuǎn)化、消參.作為第一環(huán)節(jié)的設(shè)參是否合理，對(duì)后續(xù)的運(yùn)算有較大的影響.實(shí)踐中不少學(xué)生因?yàn)樵O(shè)參不合理，導(dǎo)致運(yùn)算量偏大而不得不中途放棄.設(shè)點(diǎn)、設(shè)線是解析幾何中兩種重要的設(shè)參方法.在平時(shí)的解題教學(xué)中，教師要努力引導(dǎo)學(xué)生選擇不同的參數(shù)，嘗試不同的路徑解題.這樣既可以訓(xùn)練思維的發(fā)散性，又可以訓(xùn)練思維的收斂性（即優(yōu)化思維），從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【名詞解釋】

點(diǎn)相關(guān)：兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)之間有明顯關(guān)系稱之為“點(diǎn)相關(guān)”.例如：已知[P，Q]兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)[P]與點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點(diǎn)[Px，y]，則Q（-x，-y），所以稱[P，Q]兩點(diǎn)為“點(diǎn)相關(guān)”.

線相關(guān)：斜率相關(guān)（兩直線斜率相等或相反數(shù)等），或能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為兩根之和（或之積），稱之為“線相關(guān)”.例如：已知兩直線[OP，OQ]互相垂直且兩直線的斜率都存在，設(shè)直線[OP]的方程為[y=kx]，則直線[OQ]的方程為[y=-1kx]，所以稱兩直線[OP，OQ]為“線相關(guān)”.

從參數(shù)的個(gè)數(shù)上來(lái)看，設(shè)線簡(jiǎn)單些;從代入曲線上來(lái)看，設(shè)點(diǎn)代入簡(jiǎn)單些.僅僅據(jù)此分析，該題的這兩種設(shè)參的方法不分高下.考慮到條件“[OM=2]”，則設(shè)點(diǎn)比設(shè)線來(lái)得更直接，所以第一思維是設(shè)點(diǎn).以后處理這類既“點(diǎn)相關(guān)”又“線相關(guān)”問(wèn)題時(shí)，需進(jìn)行兩方面的分析：①已知分析：已知中哪一種相關(guān)性更大些，或者說(shuō)哪一種設(shè)參能將已知中的幾何關(guān)系更恰當(dāng)?shù)赜么鷶?shù)方法表達(dá)出來(lái);②所求分析：哪一種設(shè)參能更有效地聯(lián)通已知與所求.

三、問(wèn)題突破

（一）若點(diǎn)相關(guān)，選擇設(shè)點(diǎn)

【路徑1】設(shè)點(diǎn)[Mx，y]，則點(diǎn)[N-x，-y]，求得[kPM?kPN]為定值.

【路徑2】設(shè)直線[lMN：y=kx]，討論直線[MN]的斜率是否存在，求得[kPM?kPN]為定值.

【總結(jié)提升】設(shè)線不僅需要對(duì)直線[MN]的斜率是否存在進(jìn)行討論，而且需要將直線[MN]與橢圓[C]聯(lián)立方程組求解.比較這兩種設(shè)參的方法，明顯“設(shè)線”不合理.“點(diǎn)相關(guān)”的理由有兩條：理由1，[M]，[N]是橢圓[C]上關(guān)于原點(diǎn)[O]對(duì)稱的兩點(diǎn);理由2，研究的對(duì)象是[kPM?kPN]，而點(diǎn)[P]是橢圓[C]上的動(dòng)點(diǎn)，需要用到斜率的坐標(biāo)公式.

（二）若線相關(guān)，選擇設(shè)線

例2? ?已知圓[O]：[x2+y2=25]是[△ABC]的外接圓，點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[3，4]，且直線[AB]與直線[AC]的傾斜角互補(bǔ).求證：直線[BC]的斜率為定值.

【分析】因?yàn)橹本€[AB]與直線[AC]的傾斜角互補(bǔ)，所以直線[AB]與直線[AC]的斜率互為相反數(shù)，它們具有“線相關(guān)”，所以考慮設(shè)線.

例3? ?（由山東2009年高考題改編）如圖4，過(guò)原點(diǎn)[O]作兩條互相垂直的射線，與橢圓[C]：[x24+y2=1]交于[A]，[B]兩點(diǎn).證明：原點(diǎn)[O]到直線[AB]的距離為定值.

【路徑1】設(shè)直線[AB]的方程為[y=kx+m]，討論直線[AB]的斜率是否存在.

【路徑2】設(shè)直線[AB]的方程為[x=ty+n]，討論直線[AB]的斜率是否為0.

【路徑3】設(shè)直線[OA]方程為[y=kx]，討論直線[OA]的斜率是否存在、是否為0.

【總結(jié)提升】設(shè)線有三條路徑，如何選擇？選擇路徑3.理由：第一，[OA⊥OB];第二，引進(jìn)的參數(shù)最少;第三，從計(jì)算量看，直線[OA]與橢圓聯(lián)立方程組明顯小于直線[AB]與橢圓聯(lián)立方程組;第四，求得[OA]的長(zhǎng)度，這樣同理可得[OB]的長(zhǎng)度，從而減少運(yùn)算量.

（三）路徑預(yù)判，優(yōu)化設(shè)參

例4? ? 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，已知橢圓[E：x24+y2=1]的左、右頂點(diǎn)分別為[A]、[B]，且點(diǎn)[C]的坐標(biāo)為[1，0].圓[O]：[x2+y2=4]上有一動(dòng)點(diǎn)[P]（[P]在[x]軸上方），直線[PA]與橢圓[E]的另一交點(diǎn)為點(diǎn)[D]，連結(jié)[PB]，[DC].設(shè)[PB]，[DC]的斜率存在且分別為[k1]，[k2]，若[k1=λk2]，求[λ]的取值范圍.

【動(dòng)態(tài)分析】運(yùn)動(dòng)元素：動(dòng)點(diǎn)有點(diǎn)[P]，點(diǎn)[D];動(dòng)線有直線[PB]，直線[DC]，直線[PA].

路徑預(yù)判：

【路徑1】設(shè)線[lPB]→表示[lPA]→聯(lián)立求點(diǎn)[D]（已知一交點(diǎn)）→表示[k2]→求[λ]范圍.

【路徑2】設(shè)線[lCD]→聯(lián)立求點(diǎn)[D]（運(yùn)算量大）→表示[kAD]→表示[k1]→求[λ]范圍.

【路徑3】設(shè)線[lPA]→表示[k1]，聯(lián)立求點(diǎn)[D]（已知一交點(diǎn)）→表示[k2]→求[λ]范圍.

【路徑4】設(shè)點(diǎn)[Px0，y0]→表示[k1]，表示[lPA]→聯(lián)立求點(diǎn)[D]→表示[k2]→求[λ]范圍.

【路徑5】設(shè)點(diǎn)[Dx0，y0]→表示[kPA]，表示[k2]→表示[k1]→求[λ]范圍.

【反思提升】根據(jù)運(yùn)算量的大小，將這五種解法按照運(yùn)算量由小到大進(jìn)行排序：路徑5，路徑1或3或4，路徑2.

學(xué)生的實(shí)際情況：①設(shè)線的學(xué)生傾向于路徑3，設(shè)直線[lPA：y=kx+2];②設(shè)點(diǎn)的學(xué)生傾向于路徑4，設(shè)點(diǎn)[Px0，y0].說(shuō)明學(xué)生參數(shù)選擇時(shí)，還是帶有盲目性，缺乏理性思考.如何理性思考？選擇參數(shù)時(shí)，要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析并挖掘幾何特征，因?yàn)閇AB]是圓[O]的直徑，則[PA⊥PB]，所以直線[PA]、直線PB的斜率之間互為倒數(shù)的相反數(shù).分析可知核心運(yùn)動(dòng)元素是點(diǎn)[D].核心運(yùn)動(dòng)元素即牽一發(fā)而動(dòng)全身的點(diǎn)或線，并且這個(gè)運(yùn)動(dòng)元素能更合理地表達(dá)問(wèn)題中的幾何關(guān)系，從而有效地聯(lián)通已知和所求.

四、問(wèn)題解決

知識(shí)可分為三類：陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)和策略性知識(shí).知識(shí)的獲得可用四象限學(xué)習(xí)特征所示（見(jiàn)圖6）.

本文所研究的“解析幾何問(wèn)題中參數(shù)選擇策略”是策略性知識(shí).策略性知識(shí)是指學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)情境中對(duì)任務(wù)的認(rèn)識(shí)、對(duì)學(xué)習(xí)方法的選擇和對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的調(diào)控，它是由學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)調(diào)控和元認(rèn)知等要素構(gòu)成的監(jiān)控系統(tǒng).所以策略性知識(shí)僅靠習(xí)得是無(wú)法獲取的，它需要在分析中比較，在評(píng)價(jià)中優(yōu)化，在創(chuàng)造中創(chuàng)新.

解析幾何中參數(shù)選擇的策略是：預(yù)判性的幾何問(wèn)題代數(shù)化.通俗地講就是：逢山開路，看路在何方;遇水搭橋，知橋通何處.參數(shù)選擇這一策略性知識(shí)的獲取途徑有：①在日常教學(xué)中教師要加強(qiáng)引進(jìn)不同參數(shù)的比較，②在教學(xué)設(shè)計(jì)中教師關(guān)注參數(shù)選擇的預(yù)設(shè)和生成，③教師調(diào)動(dòng)學(xué)生參數(shù)選擇的主動(dòng)性.對(duì)“參數(shù)選擇策略”的研究，可促使學(xué)生自覺(jué)養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維分析和解決問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)和交流問(wèn)題的習(xí)慣.教師務(wù)必培養(yǎng)學(xué)生自己“找路”（即參數(shù)選擇）的能力，讓學(xué)生自己做“司機(jī)”，而不是始終做“乘客”.在這一過(guò)程中，教師要做一個(gè)隱形的“指路人”：在直路上，大膽讓學(xué)生獨(dú)立操作;在岔路口，引導(dǎo)學(xué)生看路標(biāo);在迷路時(shí)，給予必要的點(diǎn)撥.

策略性知識(shí)的獲取并非一蹴而就，是一項(xiàng)長(zhǎng)期的工作.在這項(xiàng)工作中可進(jìn)行一些探究式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行參數(shù)選擇分析：點(diǎn)線相關(guān)分析、路徑預(yù)判分析，多一些理性的思考，少一些運(yùn)算，是進(jìn)一步優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑.