以學(xué)生為主體的本原性課堂解題教學(xué)

葛建華

摘? ? 要：本原性課堂解題教學(xué)注重從學(xué)生出發(fā)、從知識本原出發(fā)，學(xué)生帶著思考觀察、聯(lián)想，不斷在尋求解題思路的過程中接觸問題本質(zhì)，進而形成從問題核心出發(fā)解題的思維方式.課堂是開放性的，教師在不確定的課堂中要有敏銳的觀察能力，能洞察學(xué)生的動態(tài)，及時捕捉學(xué)生的本原性想法，并迅速做出反應(yīng)，促成課堂教學(xué)的高效性和有效性.

關(guān)鍵詞：本原性課堂;解題教學(xué);微專題

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要部分，不教如何解題的數(shù)學(xué)教學(xué)，一定不是真正的數(shù)學(xué)教學(xué)，更談不上數(shù)學(xué)教育.解題教學(xué)如果讓學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，那必將提高解題效率，而問題需要教師從學(xué)生的思考和理解出發(fā)，共同探討，逐級研究，引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)現(xiàn).不可急于求成，為了把題目講完，而直接挑明問題的本質(zhì)，缺乏學(xué)生的認(rèn)知，雖然學(xué)生“聽”懂了，但不能讓學(xué)生“悟”出其中的道理，對問題的本質(zhì)也認(rèn)識不足，而這中間從探求解題到認(rèn)識問題的本質(zhì)才是最重要的，才是“授人以漁”的途徑.

一、“本原性課堂”解題教學(xué)的基本要素

（一）“本原性課堂”解題教學(xué)的內(nèi)涵

“本原性課堂”是指以探尋數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)為目標(biāo)的數(shù)學(xué)課堂，數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)是對學(xué)生而言的，是從學(xué)生角度理解的本質(zhì)，而并不是教師或?qū)I(yè)學(xué)科領(lǐng)域的本質(zhì)屬性.“本原性課堂”中的解題教學(xué)是站在學(xué)生角度探求問題的解決思路，通過學(xué)生獨立思考和師生互助探尋問題的本質(zhì)，感悟問題的本質(zhì)，進而引導(dǎo)學(xué)生形成抓住問題核心的解題教學(xué).

（二）“本原性課堂”解題教學(xué)的一般模式

首先，必須給學(xué)生一定的時間獨立思考、嘗試解題.其次，將學(xué)生的各種解法或想法進行交流，包括思路是如何得到的.若學(xué)生沒有什么想法，教師要進行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)（主要引導(dǎo)學(xué)生分析已知、抓住所求往回探尋、結(jié)合已知與所求找聯(lián)系等），再讓學(xué)生提出自己的想法，結(jié)合眾家之長尋求解題思路，其間教師和學(xué)生都可以針對教師或?qū)W生提出的某個想法進行反駁或推進，在解題探究過程中學(xué)生也可以提出新問題和想法，不僅局限于變題，也可以是創(chuàng)新的想法，不妨稱作本原性想法 [1].再次，師生共同總結(jié)解決問題的思路與方法，比較多種解法的優(yōu)劣，并歸納問題的本質(zhì)屬性.最后，對課堂中教師或?qū)W生提出的新問題作一點分析，由教師布置給學(xué)生課后繼續(xù)探討，并形成對應(yīng)的微專題，以供后續(xù)學(xué)習(xí)和探究.

（三）“本原性課堂”解題教學(xué)的實踐價值

“本原性課堂”解題教學(xué)使得數(shù)學(xué)教學(xué)不再是日復(fù)一日地重復(fù)某種固定的模式.“本原性課堂”把人帶入一個追求本質(zhì)、回歸本原的境界，體味教師的數(shù)學(xué)觀、教師對數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)課程的理解與開發(fā)，幫助學(xué)生重視觀察與分析，從自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知角度和學(xué)習(xí)背景出發(fā)，在數(shù)學(xué)“實踐”中把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，回歸本原圍繞問題的核心解題，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，“學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”[2]，從而提高學(xué)習(xí)的效果，優(yōu)化學(xué)生的知識和思維結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生的終身良好發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ).

二、“本原性課堂”解題教學(xué)案例

（一） 揭示問題的本質(zhì)來源于學(xué)生的深入挖掘

案例1? ?（2014年江蘇高考）已知函數(shù)[f0（x）=sinxx（x>0）]，設(shè)[fn（x）]為[fn-1（x）]的導(dǎo)數(shù)，[n∈N*].

（1）求[2f1（π2）+π2f2（π2）]的值;

（2）證明：對任意[n∈N*]，等式[nfn-1（π4）+π4fn（π4）=22]都成立.

此題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識，第（1）問比較容易，第（2）問則不容易把握.筆者讓學(xué)生提前思考解決再和學(xué)生進行深入探討.

師：對于第（2）問大家覺得它考查了什么內(nèi)容？可以用什么方法來解決？

生1：此題是與自然數(shù)有關(guān)的命題，我覺得應(yīng)該可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但是我沒有證出來.

師：方法應(yīng)該沒錯，那證明時是哪里出現(xiàn)了困難？這個困難應(yīng)如何突破？

生2：無法用歸納假設(shè)來證明歸納遞推，找不到它們之間的聯(lián)系.因為在由[fk（π4）]推[fk+1（π4）]時，由于[fk（π4）]對[x]求導(dǎo)為零，這樣就沒法找它們之間的關(guān)系，要求導(dǎo)，那必須含[x]才行.

師：對，必須研究含x的函數(shù)或相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系，所以本題直接證明該結(jié)論是困難的，應(yīng)該證明什么樣的命題呢？

生2：將[π4]換成變量[x]的一個命題，也就是左邊變?yōu)閇nfn-1（x）+π4fn（x）]，但右邊[22]應(yīng)該是與[π4]有關(guān)的三角函數(shù)，這里需要歸納[nfn-1（x）+π4fn（x）].

及時表揚與鼓勵，并讓學(xué)生歸納，之后發(fā)現(xiàn)呈周期變化，而且周期為2，于是學(xué)生嘗試著證明.經(jīng)過一段時間后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)很難證明歸納遞推，因為[kfk-1（x）+π4fk（x）]絕對值內(nèi)的函數(shù)要對[x]求導(dǎo)，但這時已經(jīng)很難把握[kfk-1（x）+π4fk（x）]到底等于什么，沒法求導(dǎo).所以有學(xué)生提出應(yīng)該對[nfn-1（x）+π4fn（x）]進行歸納.

這樣發(fā)現(xiàn)周期為4，故可以找到對[n]來說周期為4的函數(shù)，很自然想到正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，于是歸納出來這樣一個結(jié)論：等式[nfn-1（x）+xfn（x）=sin（x+nπ2）]對所有的n[∈N*]都成立，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這里不再贅述，最后令[x=π4]，可得[nfn-1（π4）+π4fn（π4）=sin（π4+nπ2）]（[n∈N*]）.

所以[nfn-1（π4）+π4fn（π4）=22]（[n∈N*]）.

學(xué)生總結(jié)，教師補充：解題時要有用前面問題結(jié)論的意識;新問題要學(xué)會轉(zhuǎn)化，注意運用辯證思想，如常量[π4]與變量[x]的轉(zhuǎn)化、形與數(shù)的轉(zhuǎn)化、動與定的轉(zhuǎn)化等;解題時要學(xué)會“知難而退”，就是在難點處要學(xué)會重新讀題并思考有何“退路”“新角度”，領(lǐng)會到此時無招勝有招.

在總結(jié)基礎(chǔ)上，教師布置學(xué)生課后收集并研究與自然數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題，然后以微專題形式在課堂上師生共同探討，最后形成微專題《用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題》.

【教法點評】教師讓學(xué)生提前思考研究，可以提高學(xué)生對題目的理解，并發(fā)現(xiàn)難點，有利于課堂的繼續(xù)探討，課堂上并非讓會的學(xué)生答題，可追問同一個學(xué)生，其他學(xué)生也跟著思考并適當(dāng)補充.讓學(xué)生在研究題目的過程中從自身的思考出發(fā)，發(fā)現(xiàn)難點，再和同學(xué)、老師一起探討如何突破.教師引領(lǐng)學(xué)生把握問題的本質(zhì)，從而形成水到渠成、理所當(dāng)然的一條解題思路，并且領(lǐng)悟此條思路的源頭在哪里，為何如此清晰，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)探究的過程中享受解題的樂趣，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心.

（二） 自然生成源于帶著思考的觀察

案例2? ? （2018年南通二模）在平面四邊形[ABCD]中，已知[AB=1]，[BC=4]，[CD=2]，[DA=3]，則[AC·BD]的值為________.

這是一道向量數(shù)量積計算題，學(xué)生大都用基底法和坐標(biāo)法，但是真正做出來的并不多，于是共同探討，首先讓做對的學(xué)生講解.

生3：注意到各邊長都已知，所以我想向邊轉(zhuǎn)化，對角線對應(yīng)向量乘，可以想到平行四邊形法則，但又沒有平行四邊形，所以我想到取中點，不斷用到兩個“半平行四邊形”轉(zhuǎn)化，解法如下.

解法一：（基底法）如圖1，取[BD]中點[O]，連結(jié)[AO，CO].

師：很好，聯(lián)想分析得很到位！還有其他想法嗎？

生4：由于邊長已知，可以通過建立直角坐標(biāo)系來處理，為使變量較少，我利用三角函數(shù)來表示點的坐標(biāo)，再用整體思想就可以得到結(jié)果了，略解如下.

解法二：（坐標(biāo)法）如圖2，以點[B]為原點，[BC]所在直線為[x]軸建立直角坐標(biāo)系，則[B（0，0），C（4，0）]，設(shè)[A（cosα，sinα）]，[D（2cosβ+4，2sinβ）]，得到[4cosβ-cosα-cos（α-β）=-3]，從而[AC·BD=（4-cosα，-sinα）·（2cosβ+4]，

生5：注意到[AD-AB=CD-CB=2]，可知點[A，C]都在以[B， D]為焦點，實軸長為[2]的雙曲線上（如圖3），然后只要表示出四點的坐標(biāo)就可以了.

該生展示了自己的解法（解法三）.在大家驚嘆之余，又有學(xué)生有想法?。▽W(xué)生的思維火花被迸發(fā)出來）

生6：由于此題是各邊為定值的形狀不定的四邊形，而[AC·BD]為定值的問題，可以取特殊情形來求，如使得某個三角形為直角三角形來求邊長和角，但感覺運算一下子就復(fù)雜了.如果將四邊形（圖4）再特殊，甚至抽象化，注意[AB+BC=AD+DC=5]，可以將四邊形壓縮為一條線段（見圖5），使得[B，D]在線段[AC]上，雖然不是四邊形，但從連續(xù)變化和極限角度看，可以用這種特殊情形來求值（解法四）.

師：很好的想法！發(fā)現(xiàn)此題為定值問題，所以用特殊化處理，并不簡單，于是采用極限思想，將圖形由四邊形變?yōu)榫€段，似乎不可思議，但合情合理，這種解法很妙.

學(xué)生總結(jié)教師補充：遇到基本問題，我們要掌握通性通法解題（如解法一、解法二），有時也需要變通，目標(biāo)意識和變形技巧不能固化，如本題中設(shè)點時可以借助定長引入三角函數(shù)，簡化問題，解法二中要用到整體思想.通法比較繁時可以繼續(xù)觀察，新的發(fā)現(xiàn)常常是解題的一個突破口，如本題中長度之差相等得到解法三，長度之和關(guān)系得到解法四，解題要有審美的觀點，題目的妙解總是有的，只要我們有雙發(fā)現(xiàn)的眼睛，帶著思考的觀察就會獲得獨特的發(fā)現(xiàn).

總結(jié)之后，教師布置學(xué)生研究能方便運用基地法和坐標(biāo)法解決的向量數(shù)量積問題，還搜集研究有些不容易用這兩種方法解決的數(shù)量積問題，最終我們形成微專題《平面向量中“基地法”和“坐標(biāo)法”》，由解法一取中點策略從而研究了微專題《極化恒等式在平面向量中應(yīng)用》.

【教法點評】問題的本質(zhì)緣于深入思考和探究，教師讓學(xué)生從通性通法入手，不斷引導(dǎo)學(xué)生觀察、聯(lián)想，出現(xiàn)不同的更巧妙的解法，看似有新的發(fā)現(xiàn)，其實是步步深入探尋問題的本質(zhì)，才會瞬間被解.帶著思考的觀察需要教師在教學(xué)中不斷地引導(dǎo)，使學(xué)生形成一種解題熟路.

（三）本原性想法源于思維的遷移

案例3? ? （2017年江蘇模擬）已知實數(shù)[x]，[y]滿足[x2+y2≤3]，則[x+y-xy]的最大值為______.

此題為一道有條件的二元變量最值問題，學(xué)生已具備一些解題套路，但真正解題時仁者見仁、智者見智.本題有點難度，因為已知的是個不等式，對學(xué)生來說有挑戰(zhàn)，學(xué)生思考10分鐘后，教師讓學(xué)生分享解題成果.

生7：此題條件和所求中出現(xiàn)“和、積、平方和”聯(lián)想到基本不等式，條件中為帶等號的不等式，確定應(yīng)該能求出最值，于是有如下解法.

由[x2+y2≤3]得[（x+y）2-2xy≤3]，所以[2（x+y）-2xy≤-（x+y）2+2（x+y）+3]，而[-（x+y）2+2（x+y）+3=-（x+y-1）2+4≤4]（當(dāng)且僅當(dāng)[x+y=1]時取等號），從而[x+y-xy≤2]，檢驗發(fā)現(xiàn)可以取等號，故最大值為[2].

該生很興奮，可見他的這種數(shù)學(xué)直覺幫助他迅速解決了問題，其樂無窮，并且講清楚了如何想到這種解法.

生8：注意到已知條件中是平方和的形式，故可以三角代換，從而達(dá)到減元的目的，于是得到如下解法.

令[x=rcosθ，y=rsinθ（θ∈[0，2π]）]，[0≤r][ ≤][3]，

可以很快求出最大值.

師：很好！二元變量通過雙變量換元使得問題更加明朗.這是此法的關(guān)鍵，那還有其他想法嗎？

生9：考慮將所求換元，注意到有和又有積，因此局部因式分解，再雙變量換元，然后從幾何角度處理.

令[s=x+y-xy]，[（x-1）（y-1）=1-s]，令[t=1-s]，[m=x-1]，[n=y-1]，則[n=tm]，由[x2+y2≤3]得[（m+1）2+（n+1）2≤3]，由題意知雙曲線[n=tm]與圓[C]：[（m+1）2+（n+1）2=3]有公共點，這里要求[s]的最大值，則令[t<0]，借助圖形（如圖6）可知當(dāng)兩曲線相切時[t]最小，則[s]取最大值.

學(xué)生在這里遇到的問題是兩條曲線相切不知道如何處理，我們比較熟悉的是直線與曲線相切.

師：雖然我們沒有著重研究兩條曲線相切，但我們不妨從“相切”這個概念出發(fā)，給它一個定義，再遷移到我們熟悉的直線與曲線相切.

生10：我們利用割線逼近切線的方法得到曲線在某一點處的切線，也就是得到直線與曲線相切.我想這里可以用以直代曲的思想，給出兩條曲線相切的定義，兩條曲線在公共點處的切線相同，這兩條曲線在該點處相切.

師：很好！能用類比以直代曲的思想來下定義很有見解，曲線在某點處的變化趨勢可以用該點的切線來刻畫（如圖7）.

下面利用公切線可馬上求出t最小，從而得出s的最大值.

學(xué)生總結(jié)教師補充：解題時的數(shù)學(xué)直覺很重要，它形成于平時的思考與積累中，達(dá)到解題時的“零思考”.對特定的結(jié)構(gòu)，如“和、積式”等要有比較深刻的理解和條件轉(zhuǎn)化能力，會將代數(shù)式進行合理變形.一個問題若不能較輕松解決時，要多角度考慮，可以從“數(shù)”“形”兩個角度分析，遇到新問題，不妨轉(zhuǎn)化到已學(xué)問題，或回歸概念抓本質(zhì)屬性解題，甚至仿照所學(xué)概念給出定義，再考慮解題途徑，讓問題回歸本原.

總結(jié)后，教師布置學(xué)生研究兩條二次曲線相切的條件和用切線刻畫曲線的問題，形成兩個微專題《兩條二次曲線相切與相交問題》和《切線刻畫曲線某點處的變化趨勢》.

【教法點評】中等難度問題讓學(xué)生分享自己的解法，增加學(xué)生的參與度和信心，提高學(xué)生解題的嚴(yán)謹(jǐn)性，分享時的成就感會促使其增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心. 德國數(shù)學(xué)家康托爾提出“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由”，學(xué)生不必受傳統(tǒng)束縛.學(xué)生之間的補充有提醒和互助作用，數(shù)學(xué)問題上的爭論是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種常態(tài)，有助于師生對問題的深入理解，接近問題的本質(zhì).學(xué)生新的發(fā)現(xiàn)，哪怕是不對的，教師也要鼓勵積極參與，引導(dǎo)其他學(xué)生從該角度出發(fā)探尋解題思路.偶遇新的問題時，師生共同研究解決，這樣數(shù)學(xué)中的研究性微課題將不斷出現(xiàn)，研究學(xué)習(xí)氛圍不斷加強，數(shù)學(xué)探究延伸到更深的方向.

三、“本原性課堂”解題教學(xué)的實踐感悟

（一）分享解題思路的獲取歷程是其他同學(xué)借鑒和深層次理解的需要

課堂上聽某個學(xué)生或教師的解題思路是正常的聽課狀態(tài)，但從“聽得懂”到“做起來”有一段距離，這需要學(xué)生思路的多方面消化.教師讓學(xué)生在課堂上分享解題思路的獲得過程，有利于其他同學(xué)借鑒，知道如何思考，從哪個角度思考，彌補自己的不足，明確今后的努力方向;有利于學(xué)生對問題的深層次理解，更接觸問題的本質(zhì)，從而提高解題效率. 師生講解思路的獲取歷程，展示學(xué)生“對數(shù)學(xué)的理解”和教師“對學(xué)生的理解”“對教學(xué)的理解”.

（二）帶著思考的觀察和聯(lián)想是“本原性課堂”解題教學(xué)的關(guān)鍵

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中提出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).”一方面，課堂中遇到難于解決的問題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生帶著思考觀察，對題目條件和結(jié)論的聯(lián)系要深入剖析，在自身理解的基礎(chǔ)上看懂每個條件，充分聯(lián)想，更快找到解題思路，利于進一步分析和解題.另一方面，“教學(xué)是動態(tài)的過程，課堂上必然會有課前難以預(yù)料的事情發(fā)生” [3]，教師在不確定的課堂中要有敏銳的觀察能力，能洞察學(xué)生的動態(tài)，及時捕捉學(xué)生的想法，充分挖掘教師的知識儲備，迅速做出反應(yīng)，調(diào)整課堂教學(xué).

（三）解題之后的“學(xué)生總結(jié)教師補充”是解題教學(xué)的升華

解完題不能就此結(jié)束，而應(yīng)及時總結(jié).學(xué)生的總結(jié)能幫助其再認(rèn)識問題，形成對數(shù)學(xué)的理解，完善自身的數(shù)學(xué)體系，增強學(xué)生的表達(dá)能力，教師補充可以站在學(xué)生角度發(fā)表啟發(fā)性見解，也可站在教師角度進行總結(jié)性概括，總結(jié)更簡潔，更嚴(yán)謹(jǐn)，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)和數(shù)學(xué)思維.

（四）鼓勵性教學(xué)評價是“本原性課堂”解題教學(xué)的保障

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究中學(xué)生參與度的提高，需要科學(xué)合理的評價，學(xué)生的信心來源于解題的成功感和鼓勵性評價.課堂中鼓勵性評價可以是教師的評價，也可以是同學(xué)之間的評價.學(xué)生信心的提升，能增強學(xué)生的課堂投入，是有效課堂教學(xué)的保障，指出別人的不足也能促進同學(xué)間的相互交流與理解，增強班級的凝聚力，提高學(xué)習(xí)的能力.

參考文獻：

[1]楊玉東，李傳峰.例談用本原性問題驅(qū)動數(shù)學(xué)概念教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬刊），2006（1/2）：15-18.

[2]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：3.

[3]章建躍，陶維林.注重學(xué)生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報，2009（6）：19-24.