“分?jǐn)?shù)”學(xué)習(xí)中的直覺與錯(cuò)誤文獻(xiàn)綜述

熊倍 郜舒竹

【摘? ?要】與分?jǐn)?shù)相關(guān)的內(nèi)容貫穿數(shù)學(xué)課程始終，在整數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)相關(guān)內(nèi)容，會(huì)出現(xiàn)多種類型的錯(cuò)誤。在國內(nèi)外已有研究中歸納出的這些錯(cuò)誤主要反映在分?jǐn)?shù)比較大小、分?jǐn)?shù)運(yùn)算以及分?jǐn)?shù)稠密性等方面。錯(cuò)誤的原因可以用直覺規(guī)律進(jìn)行解釋。

【關(guān)鍵詞】直覺;錯(cuò)誤;誤解;分?jǐn)?shù)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤往往源于誤解，而誤解往往源于直覺。通過梳理已有研究發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤主要反映在分?jǐn)?shù)比較大小、分?jǐn)?shù)運(yùn)算以及分?jǐn)?shù)稠密性三個(gè)方面。

一、分?jǐn)?shù)比較大小

分?jǐn)?shù)比較大小通常分為同分母分?jǐn)?shù)比較大小、同分子分?jǐn)?shù)比較大小以及異分母、異分子分?jǐn)?shù)比較大小三類。無論是哪一類，均容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。以異分母、異分子分?jǐn)?shù)[46]和[23]比較大小為例，一些學(xué)生會(huì)因?yàn)?>3，4>2，而錯(cuò)誤地判斷[46]>[23]。

早在1983年，貝爾（Merlyn Behr，1932—1995）等人通過研究發(fā)現(xiàn)，針對以上三類分?jǐn)?shù)比較問題，學(xué)生均能使用多種策略進(jìn)行判斷。在尚未實(shí)施分?jǐn)?shù)大小比較的教學(xué)之初，大量四年級的學(xué)生會(huì)基于4>3的整數(shù)主導(dǎo)策略（whole number dominance）而得出[14]>[13]的錯(cuò)誤判斷。[1]

馬克（Nancy Mack，1935—1995）和亨廷（Robert Hunting，1948—）等人的研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決與分?jǐn)?shù)相關(guān)的問題時(shí)，會(huì)將分子、分母看作是由兩個(gè)不相關(guān)的整數(shù)所組成的數(shù)，而不會(huì)將分?jǐn)?shù)看成是一個(gè)數(shù)。[2]馬克進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)，通常在以現(xiàn)實(shí)中的分物情境為背景時(shí)，學(xué)生能夠正確比較東西的大小。[3]比如，將兩塊一樣大小的披薩分別平均分成八份和六份，學(xué)生會(huì)因?yàn)榉值姆輸?shù)少，分后的每一份所占量多，而選擇分成六份的比較多。但當(dāng)直接要求學(xué)生比較[16]和[18]的大小時(shí)，學(xué)生又誤以為分母比較大的分?jǐn)?shù)，其值也比較大。

臺(tái)灣學(xué)者楊德清、洪素敏等人也曾做過類似的研究。在小學(xué)四年級關(guān)于分?jǐn)?shù)比較大小的課堂上，他們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)允許學(xué)生使用具體操作物時(shí)，學(xué)生能求出該分?jǐn)?shù)所代表的具體的量，然后比較分?jǐn)?shù)大小。但是當(dāng)抽離具體物體時(shí)，學(xué)生卻無法直接比較分?jǐn)?shù)的大小。[4]他們還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生可以機(jī)械地比較分?jǐn)?shù)大小，但要求學(xué)生對如何比較分?jǐn)?shù)的大小進(jìn)行有意義的解釋則比較困難。例如，當(dāng)要求學(xué)生比較異分母、異分子分?jǐn)?shù)[15]與[210]的大小時(shí)，學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為[15]<[210]，因?yàn)閇210]是占2份，而[15]只有1份，所以[210]比較大。抑或是學(xué)生認(rèn)為1<2，5<10，因此，[15]<[210]。

諸如此類的錯(cuò)誤也同樣出現(xiàn)在對澳大利亞學(xué)生的研究中。323名六年級學(xué)生被要求通過觀察分?jǐn)?shù)卡片，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)直接給出八組分?jǐn)?shù)大小比較的結(jié)果。測試過程中，不僅不能通過通分、筆算書寫、圖畫等方法比較大小，而且應(yīng)答的時(shí)間也被控制。結(jié)果顯示，部分學(xué)生會(huì)使用差值比較的方法判斷分?jǐn)?shù)大小。進(jìn)一步了解，當(dāng)學(xué)生利用差值思維（gap thinking）比較分?jǐn)?shù)大小時(shí)，較易出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果。[5]以“[34]和[79]”“[56]和[78]”為例，學(xué)生會(huì)認(rèn)為3差1“份”（bit），就可以使[34]變成1，而7差2“份”（bits），才可以使[79]變成1。因此，[34]>[79]。然而，[56]和[78]均差1“份”（bit）就可以變成1，因此，[56]=[78]。

基于蒂羅什和斯塔維提出的直覺規(guī)律理論，分別從“越多的A-越多的B”和“相同的A-相同的B”兩條直覺規(guī)律出發(fā)，對學(xué)生在分?jǐn)?shù)比較大小中出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行整理與解釋。要特別指出的是，在分?jǐn)?shù)比較大小中，A指構(gòu)成一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子或分母的大小，B指這個(gè)分?jǐn)?shù)所表示的值（以下分?jǐn)?shù)均為真分?jǐn)?shù)）。

（一）“越多的A-越多的B”直覺規(guī)律

（1）當(dāng)[a]>[b]時(shí)，若要求學(xué)生比較分?jǐn)?shù)[ma]，[mb]（[m≠][0]，[a]，[b]，[c]，[d][∈][Z+]）的大小時(shí)，一些學(xué)生可能會(huì)因?yàn)榉帜冈酱?，分?jǐn)?shù)值越大，得到[ma]>[mb]的錯(cuò)誤答案。例如，因?yàn)?>3，所以[15]>[13]。

（2）當(dāng)[a]>[b]，[c]>[d]時(shí)，若要求學(xué)生比較分?jǐn)?shù)[ca]，[db]的大小，一些學(xué)生可能會(huì)因?yàn)閇a]>[b]，[c]>[d]，得到 [ca]>[db]的錯(cuò)誤答案。例如，因?yàn)?>3，4>2，所以[46]>[23]。

（3）學(xué)生受同分子分?jǐn)?shù)比較大小的影響，“分母越大，分?jǐn)?shù)越小”，使得他們會(huì)進(jìn)一步使用“越多的A-越少的B”直覺規(guī)律比較分?jǐn)?shù)大小，即當(dāng)分子與分母的差值越大，分?jǐn)?shù)值反而越小。例如，因?yàn)閇（4-3）<（9-7）]，所以[34]>[79]。

（二）“相同的A-相同的B”直覺規(guī)律

（1）當(dāng)[a]>[b]時(shí)，若要求學(xué)生比較分?jǐn)?shù)[ma]，[mb]（[m≠][0]，[a]，[b]，[c]，[d][∈][Z+]）的大小時(shí)，一些學(xué)生可能會(huì)因?yàn)榉肿又狄粯佣雎苑帜?，直接得到[ma=mb]的錯(cuò)誤答案。例如，[34]=[36]。

（2）當(dāng)[a]>[b]，[c]>[d]時(shí)，若要求學(xué)生比較分?jǐn)?shù)[ca]，[db]的大小，一些學(xué)生可能會(huì)因?yàn)閇（a-c）=（b-d）]，得到[ca]=[db]。即錯(cuò)誤地認(rèn)為，分子與分母的差值相同，分?jǐn)?shù)大小也相同。例如，因?yàn)閇（9-8）=（4-3）]，所以[89]=[34]。

二、分?jǐn)?shù)運(yùn)算

直覺規(guī)律對學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的影響不僅限于分?jǐn)?shù)比較大小中，類似的直覺錯(cuò)誤在分?jǐn)?shù)運(yùn)算、分?jǐn)?shù)稠密性、等值分?jǐn)?shù)、代數(shù)式等其他內(nèi)容中均有所涉及。

一些研究是從參與運(yùn)算的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是否相同著手，對學(xué)生在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分析。從198份答卷中可以看出，學(xué)生在分?jǐn)?shù)的加法運(yùn)算中表現(xiàn)最好，而在分?jǐn)?shù)的除法運(yùn)算中表現(xiàn)較差。[6]在分?jǐn)?shù)加（減）法中，一些學(xué)生分別將分子與分子的和（差），分母與分母的和（差）作為分?jǐn)?shù)加（減）法計(jì)算結(jié)果中的分子與分母;而在同分母分?jǐn)?shù)乘（除）法中，受分?jǐn)?shù)加（減）法運(yùn)算的影響，一些學(xué)生則錯(cuò)誤地保留兩個(gè)分?jǐn)?shù)的共有分母作為計(jì)算結(jié)果的分母，如[29×79=149]，[910÷310=310]。

臺(tái)灣學(xué)者林天麒針對上述現(xiàn)象，對小學(xué)四、五年級學(xué)生也進(jìn)行了相應(yīng)的問卷測試。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，小學(xué)高年級學(xué)生只會(huì)機(jī)械地進(jìn)行分?jǐn)?shù)運(yùn)算，難以真正理解分?jǐn)?shù)運(yùn)算的算理。學(xué)生會(huì)把之前學(xué)過的整數(shù)算法不恰當(dāng)?shù)剡w移到分?jǐn)?shù)的計(jì)算上來。因此，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)分母相加減、分子相加減的錯(cuò)誤。林先生將這種現(xiàn)象解釋為學(xué)生只具有程序性知識(shí)的理解，而缺乏概念性知識(shí)的理解。[7]

特夫那（V Trivena）等人的觀點(diǎn)與上述觀點(diǎn)基本一致。基于調(diào)查學(xué)生關(guān)于分?jǐn)?shù)加減法概念理解情況的目的，23名10至11歲的學(xué)生參與了相關(guān)測試。測試表明，在同分母和異分母分?jǐn)?shù)加法中，學(xué)生存在誤解的比率均高達(dá)73.91%，但是學(xué)生在同分母和異分母分?jǐn)?shù)減法中出現(xiàn)錯(cuò)誤的比率分別為26.09%和60.87%。[8]例如，面對問題“[14+24]等于多少”，一些學(xué)生因?yàn)椤?+1=3，4+4=8”，而錯(cuò)誤地認(rèn)為結(jié)果應(yīng)為[38]。在異分母分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算中，持有誤解的學(xué)生同樣存在類似的表現(xiàn)。例如，他們認(rèn)為[25+12=37]，[25-12=13]。但是當(dāng)面對同分母分?jǐn)?shù)相減時(shí)，學(xué)生的表現(xiàn)會(huì)發(fā)生細(xì)微變化。例如，在“[46-26]等于多少”的問題中，學(xué)生會(huì)因?yàn)?-6=0，與分母不能為0的概念沖突，而“被迫”選擇運(yùn)算結(jié)果應(yīng)為[26]。

實(shí)際上，針對以上種種關(guān)于分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算的錯(cuò)誤，可以運(yùn)用直覺規(guī)律“相同的A-相同的B”加以解釋。其中，A代表參與運(yùn)算的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母或分子，B代表運(yùn)算結(jié)果的分?jǐn)?shù)的值的大小。那么，用直覺規(guī)律解釋學(xué)生在分?jǐn)?shù)加減法中的運(yùn)算錯(cuò)誤就主要分為以下兩類。

（1）當(dāng)[a+b=m]，[c+d=n]（[m≠][0]，[a]，[b]，[c]，[d][∈][Z+]）時(shí)，學(xué)生會(huì)因?yàn)椤癧a+b=m]，[c+d=n]”，而認(rèn)為[ca+db]=[nm]。同樣地，當(dāng)[a-b=m]，[c-d=n]時(shí)，學(xué)生也會(huì)因?yàn)椤癧a-b=m]，[c-d=n]”，而認(rèn)為[ca-db=nm]。

（2）當(dāng)[a+b=m]時(shí)，學(xué)生會(huì)因?yàn)椤癧a+b=m]”，而認(rèn)為[ca+cb=cm]。同樣地，當(dāng)[a-b=m]時(shí)，學(xué)生會(huì)因?yàn)椤癧a-b=m]”，而認(rèn)為[ca-cb=cm]。

同樣，一些常見的分?jǐn)?shù)乘除法的計(jì)算錯(cuò)誤也可以從“相同的A-相同的B”直覺規(guī)律的角度加以解釋，具體存在以下兩種情況。

（1）當(dāng)[a×n=b]，[c×n=d]（[n≠][0]，[a]，[b]，[c]，[d][∈][Z+]）時(shí)，學(xué)生會(huì)因?yàn)椤癧a×n=b]， [c×n=d]”，而認(rèn)為[ca×n=db]。可逆地，當(dāng)[a÷n=b]，[c÷n=d]時(shí)，學(xué)生也會(huì)因?yàn)椤癧a÷n=b]， [c÷n=d]”，而認(rèn)為[ca÷n=db]。

（2）當(dāng)[a×n=b]（[n≠][0]，[a]，[b]，[c]，[d][∈][Z+]）時(shí)，學(xué)生會(huì)因?yàn)椤癧a×n=b]”，而認(rèn)為[ca×cn=cb]，[ac×nc=bc]?？赡娴?，當(dāng)[a÷n=b]時(shí)，學(xué)生會(huì)因?yàn)椤癧a÷n=b]”，而認(rèn)為[ac÷nc=bc] ， [ca÷cn=cb]。

三、其他類型的錯(cuò)誤

蘇洪雨的研究表明，不同于西方國家，類似于“[12+12=24]”的錯(cuò)誤，在我國數(shù)學(xué)教學(xué)中很少出現(xiàn)。[9]他發(fā)現(xiàn)，當(dāng)要求學(xué)生寫出一個(gè)介于[18]與[17]之間的分?jǐn)?shù)時(shí)，不少學(xué)生做錯(cuò)，有學(xué)生甚至無法給出任何答案。

國外也有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生并沒有意識(shí)到位于一條數(shù)軸上的兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間，擁有無窮多個(gè)分?jǐn)?shù)。當(dāng)問及15歲的學(xué)生“[14]和[12]之間，存在多少個(gè)分?jǐn)?shù)”時(shí)，84%的學(xué)生均回答錯(cuò)誤，僅有16%的學(xué)生給出正確的答案。在回答錯(cuò)誤的學(xué)生中，又有36%的學(xué)生認(rèn)為只有一個(gè)。[10]

通過以上研究可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在判斷分?jǐn)?shù)稠密性時(shí)會(huì)存在誤解?，F(xiàn)根據(jù)直覺規(guī)律理論，對學(xué)生在分?jǐn)?shù)稠密性方面的錯(cuò)誤判斷和理解進(jìn)行解釋與說明。即學(xué)生會(huì)利用“越多的A-越多的B”“相同的A-相同的B”兩個(gè)直覺規(guī)律對分?jǐn)?shù)的稠密性進(jìn)行判斷。其中，A指兩個(gè)同分母分?jǐn)?shù)的分子之差，或者是兩個(gè)同分子分?jǐn)?shù)的分母之差;B指這兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間所存在的分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)。學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為A值越大，B值越大，當(dāng)A值相同時(shí)，B值也相同，即如下。

（1）當(dāng)[a-b=n]（[n≠][0]，[a]，[b]，[c]，[n][∈][Z+]）時(shí)，面對問題“[ca]與[cb]之間，可以找到多少個(gè)分?jǐn)?shù)”，學(xué)生會(huì)基于[a-b=n]，直覺地判斷出[ca]與[cb]之間，僅存在[n-1]個(gè)分?jǐn)?shù)。

（2）當(dāng)[b-a=n]（[n≠][0]，[a]，[b]，[c]，[n][∈][Z+]）時(shí)，面對問題“[ac]與[bc]之間，可以找到多少個(gè)分?jǐn)?shù)”，學(xué)生會(huì)基于[b-a=n]，錯(cuò)誤地判斷出[ac]與[bc]之間，僅存在[n-1]個(gè)分?jǐn)?shù)。

另外，學(xué)生對等值分?jǐn)?shù)存在誤解，會(huì)誤用加法策略。韓玉蕾、辛自強(qiáng)等人將其解釋為學(xué)生之前接受了大量的加法思維訓(xùn)練，因此阻礙了學(xué)生乘法思維和守恒觀念的自然發(fā)展。[11]例如，學(xué)生會(huì)認(rèn)為[38=49]，因?yàn)?+1=4，8+1=9，這種現(xiàn)象與前文中所提及的分?jǐn)?shù)比較大小中的“相同的A-相同的B”直覺規(guī)律類似。于是，當(dāng)面對“將[25]的分子增加2，如果要使分?jǐn)?shù)的大小保持不變，那么應(yīng)該如何”的問題時(shí)，一些學(xué)生依然錯(cuò)誤地回答“分母也增加2”，類似的錯(cuò)誤也會(huì)保留至初中、高中甚至大學(xué)。例如，一些學(xué)生總是認(rèn)為，當(dāng)一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母分別是另一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母的平方時(shí)，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)就是所謂的等值分?jǐn)?shù)，如[49]=[23]。

現(xiàn)從直覺規(guī)律“相同的A-相同的B”出發(fā)，對學(xué)生關(guān)于等值分?jǐn)?shù)的錯(cuò)誤理解進(jìn)行解釋。其中，A是指對分子和分母進(jìn)行某種運(yùn)算，B是指兩個(gè)分?jǐn)?shù)的值的大小。學(xué)生基于直覺規(guī)律認(rèn)為對分子、分母同時(shí)進(jìn)行相同的運(yùn)算，分?jǐn)?shù)的大小并不會(huì)發(fā)生改變。比如，將分子、分母同時(shí)加（減）上一個(gè)數(shù)，同時(shí)平方、立方，等等，分?jǐn)?shù)大小不變。

四、后續(xù)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤

小學(xué)階段關(guān)于分?jǐn)?shù)的誤解與錯(cuò)誤會(huì)延續(xù)到中學(xué)階段相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中。比如，學(xué)生會(huì)因?yàn)?>2，而斷定[3x]>[2x]。

在Rapaport的研究中，讓高中生分別比較[16y8]與[2y]，[2a-82]與[6a-246]的大小時(shí)，大部分學(xué)生對前一題的解答比較正確，但只有一半甚至更少的學(xué)生對后一題的解答比較正確。學(xué)生受直覺規(guī)律的影響，認(rèn)為[6a-246]要大于[2a-82]，因?yàn)?和24都比2和8要大。[12]

杜倫（Wim Van Dooren）等人通過研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)要求學(xué)生比較[6]和[93]的大小時(shí)，雖然有大部分的學(xué)生回答正確，但僅有7%的學(xué)生給出正確的推斷理由。仍有37%的學(xué)生運(yùn)用“相同的A-相同的B”直覺規(guī)律，誤認(rèn)為“因?yàn)閇9×13=3]，[6×12=3]，所以[6]=[93]”。另外，還有一些學(xué)生利用“越多的A-越多的B”直覺規(guī)律，即因?yàn)?>6，3>2，錯(cuò)誤地判斷出[93]>[6]。[13]

綜上，在分?jǐn)?shù)比較大小、分?jǐn)?shù)運(yùn)算、分?jǐn)?shù)稠密性、等值分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤的出現(xiàn)與學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)密切相關(guān)。并且，學(xué)生在分?jǐn)?shù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中所出現(xiàn)的錯(cuò)誤不僅具有一定的必然性，還具有一定的頑固性和普遍性。

分析學(xué)生在分?jǐn)?shù)相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)中所出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因主要有以下兩種：一是從學(xué)生學(xué)習(xí)出發(fā)，認(rèn)為學(xué)生受之前所學(xué)整數(shù)知識(shí)的影響，傾向于將分?jǐn)?shù)的分子、分母看成是獨(dú)立的兩個(gè)整數(shù)，將整數(shù)所適用的一些規(guī)則泛化于分?jǐn)?shù)的知識(shí)領(lǐng)域內(nèi)，從而產(chǎn)生整數(shù)主導(dǎo)、差值比較等策略錯(cuò)誤;二是從教師教學(xué)出發(fā)，指出以程序、方法、技巧、規(guī)則與算法等技術(shù)取向訓(xùn)練為主的課堂教學(xué)，往往忽略了引導(dǎo)學(xué)生對分?jǐn)?shù)概念本質(zhì)的理解與解釋，也就造成了學(xué)生片面理解分?jǐn)?shù)的多重含義、分?jǐn)?shù)概念混淆、機(jī)械地進(jìn)行分?jǐn)?shù)運(yùn)算的現(xiàn)狀。然而，不容忽視的是，這兩種解釋雖然在一定程度上說明了學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，但仍然不能很好地反映出學(xué)生在分?jǐn)?shù)比較大小中所犯錯(cuò)誤的必然性、頑固性和普遍性。與此同時(shí)，直覺規(guī)律理論的研究為解釋學(xué)生錯(cuò)誤提供了契機(jī)。因此，從直覺規(guī)律的角度出發(fā)，深入探索致使學(xué)生在分?jǐn)?shù)比較大小、分?jǐn)?shù)稠密性、等值分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)中頻頻出錯(cuò)的原因成為必要。

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048）