談數(shù)學(xué)思想方法在2018年高考中的考查實踐

呂艷儀

摘 要 數(shù)學(xué)高考重點考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基礎(chǔ)能力和數(shù)學(xué)思想方法，筆者認(rèn)為一線教師應(yīng)該認(rèn)真研究高考考綱、真題并分析數(shù)學(xué)思想方法在高考中的考查。本文借助2018年全國1卷部分試題分別從函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、或然與必然這五種思想來研究數(shù)學(xué)思想方法在高考中的考查，并提出關(guān)于如何在高中數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的三點教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)思想方法 高考考查 教學(xué)建議

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

《2018年高考考試大綱》明確指出：對數(shù)學(xué)思想方法的考查是對數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象與概括的考查，考查時必須與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，通過對數(shù)學(xué)知識的考查，反映學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度。

數(shù)學(xué)高考重點考查基礎(chǔ)知識、基本技能和和基本思想方法，考查通性通法，重在考查學(xué)生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想和方法的理解和掌握程度。而對數(shù)學(xué)思想方法的考查體現(xiàn)綜合性與應(yīng)用性，即在選擇填空題和解答題中分層次地考查，一道試題考查一種或多種思想方法或者多種題型綜合考查一種思想方法。

筆者受文啟發(fā)，對2018年高考理科數(shù)學(xué)全國1卷親自詳細(xì)解題并對其考查內(nèi)容、方法、思想作結(jié)構(gòu)化地分析。本文借助全國1卷部分試題，分別從函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、或然與必然這五個數(shù)學(xué)思想方法來研究數(shù)學(xué)思想方法在2018年高考中的考查，有利于在實際教學(xué)中有意識地滲透數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)學(xué)生的解題能力。

1函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程思想是通過構(gòu)造函數(shù)或方程，運用函數(shù)的圖像與性質(zhì)或方程的性質(zhì)來分析、轉(zhuǎn)化、解決問題。它是歷年高考考查的重點內(nèi)容，在選擇題填空題中一般以三角函數(shù)為載體考查基本運算和基本應(yīng)用，在解答題中一般以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)為載體深入考察綜合應(yīng)用。

【例1】（2018年全國1卷理科第16題）已知函數(shù)=2+，則的最小值是

【解析】該試題借助正弦函數(shù)構(gòu)造了一個新函數(shù)，通過求導(dǎo)、因式分解解導(dǎo)數(shù)方程、解三角不等式分析單調(diào)性和求最值。命題形式簡單，不需特殊解題技巧，考查了通性通法和函數(shù)與方程思想的基本運算和基本應(yīng)用。

【例2】（2018年全國1卷理科第21題）已知函數(shù)=+ln，

（2）若存在兩個極值點，證明：<2。

【解析】該題以基本初等函數(shù)為載體，考查求導(dǎo)法則，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性后分析求極值和最值。第（2）問重點考查對需證明不等式<2進(jìn)行變形化簡得到等價命題2+2ln2<0，再利用函數(shù)與方程思想構(gòu)造一個新函=+2ln數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性證得<0。

2數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，一直是高考的考查重點。高考重點考查“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化，再由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化， 一般以分段函數(shù)及其圖像為載體考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用能力。

【例3】（2018年全國1卷理科第9題）已知函數(shù)，，若存在2個零點，則a的取值范圍是（ ??）

【解析】該題以分段函數(shù)為載體考查零點問題，運用函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)=與函數(shù)=的圖象有2個交點。關(guān)鍵的是準(zhǔn)確作出分段函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可快速找到參數(shù)所滿足的不等式，并解出參數(shù)的取值范圍。這題主要考查由“形”到“數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力。

3分類與整合思想

分類與整合思想是指解決某些數(shù)學(xué)問題時按照某一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，并逐類討論求解，最后綜合各類求解。它不僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是一種重要的解題策略。高考一般以絕對值不等式、解析幾何、導(dǎo)數(shù)題求參數(shù)取值范圍等為載體，主要考查有無分類意識，如何科學(xué)地、有標(biāo)準(zhǔn)地、不重不漏地進(jìn)行分類，分類討論后如何整合。

【例4】（2018年全國1卷理科第21題）已知函數(shù)=+ln，

（1）討論的單調(diào)性;

【解析】該題以基本初等函數(shù)為載體，考查基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性后分析求得極值和最值。第（1）問重點考查準(zhǔn)確求導(dǎo)=后要有分類意識，然后根據(jù)0，0<2，>2來分類討論單調(diào)性，最后整合三類成兩類2，>2。

【例5】（2018年全國1卷理科第23題）已知=|+1|||。

（1）當(dāng)=1，求不等式>1的解集。

（2）若∈（0，1）時不等式>成立，求的取值范圍。

【解析】該題以絕對值函數(shù)為載體考查分類討論思想，第（1）問重點考查用零點分區(qū)間，分3類討論來去掉絕對值符號，從而求出不等式的解集。第（2）問再次利用∈（0，1）來把雙絕對值的不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為含單絕對值的不等式恒成立問題。

4化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想是指將待研究的問題通過畫圖、列表等方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化為一些子問題，把復(fù)雜問題簡單化，通過一步步解決子問題達(dá)到解決原問題的思想方法，即將未知化歸為已知。因此可以說高考中的每一道試題，都在考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，偏向于結(jié)合推理證明，推理運算來考查。

【例6】（2018年全國1卷理科第19題）設(shè)橢圓C：+2=1的右焦點為F，過F的直線與C交于A，B兩點，點M坐標(biāo)為（2，0）。（1）當(dāng)⊥軸，求直線AM的方程。

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA=∠OMB。

【解析】該題主要考查橢圓的方程、圖象及其性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合和化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。第（2）問主要考查要證的兩角相等∠OMA=∠OMB轉(zhuǎn)化為證明+=0，這樣把復(fù)雜抽象問題轉(zhuǎn)化為一個具體可操作的問題。

5或然與必然思想

或然與必然思想，是指統(tǒng)計與概率的思想，通過收集樣本數(shù)據(jù)，分析樣本數(shù)據(jù)得出規(guī)律，再用樣本估計總體、用頻率估計概率，從而解決分析總體的問題。統(tǒng)計與概率是高考必考內(nèi)容，通過對等可能事件的概率，互斥事件有一個發(fā)生的概率，相互獨立事件同時發(fā)生的概率，n次獨立重復(fù)試驗發(fā)生了k次的概率隨機(jī)事件的分布列與數(shù)學(xué)期望等重點內(nèi)容的考查，重在考查基本概念和基本方法，運用概率統(tǒng)計思想解決實際問題。

【例7】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為（0<<1）且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立。

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點。

（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值，已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用。

（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX：

（ii）以檢測費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？

【解析】本題主要通過考查相互獨立事件的概率、二項分布及數(shù)學(xué)期望、決策性問題來考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理和運算求解能力、或然與必然的數(shù)學(xué)思想。結(jié)合獨立重復(fù)實驗即可求出20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率，利用導(dǎo)數(shù)求出概率取最大值時的，分析出不合格品件數(shù)服從二項分布，不合格品數(shù)與費用和X有等量關(guān)系，最后利用期望性質(zhì)求出EX，最后做出決策。

因此，為了精準(zhǔn)備考，實際教學(xué)需要初步滲透數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)、發(fā)展數(shù)學(xué)能力和提高數(shù)學(xué)思維。關(guān)于如何在高中數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，給出一下建議：

（1）借助新課教學(xué)有意識地滲透數(shù)學(xué)思想方法;數(shù)學(xué)思想方法一般會隱含在知識背后、某一個概念形成過程、問題的發(fā)現(xiàn)或解決過程、結(jié)論的推導(dǎo)或推廣過程中，往往會被忽視，因此應(yīng)借助新課教學(xué)有意識地挖掘、提煉出知識背后反映的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生學(xué)到知識掌握思想方法。

（2）借助習(xí)題課加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法訓(xùn)練和梳理總結(jié);數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練必須借助不同類型的問題做有針對性地訓(xùn)練，配合老師有條理地梳理、總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法，從而增強(qiáng)解題能力。

（3）反復(fù)應(yīng)用不斷鞏固和深化數(shù)學(xué)思想方法。借助高考真題、模擬考試題或解決某一難點來凸顯數(shù)學(xué)思想方法的重要作用，只有在反復(fù)應(yīng)用中數(shù)學(xué)思想方法才得以不斷鞏固和深化，最后形成能力。

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