不同模量理論廣義彈性定律的深入研究

潘勤學(xué) 鄭健龍 文丕華

摘? ? 要：傳統(tǒng)不同模量理論中基于主應(yīng)力方向建立的本構(gòu)方程，僅能表述主應(yīng)力方向的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，并未體現(xiàn)出其他方向的應(yīng)力應(yīng)變特性，不能有效表征拉壓不同模量問題的力學(xué)本質(zhì).基于此，在主應(yīng)力方向的本構(gòu)方程基礎(chǔ)上，利用應(yīng)力及應(yīng)變的轉(zhuǎn)軸公式，推導(dǎo)了基于不同直角坐標(biāo)系下的拉壓不同模量本構(gòu)方程的具體形式，也即廣義彈性定律.經(jīng)理論驗(yàn)證，此廣義彈性定律揭示了拉壓不同模量問題既是非線性問題也體現(xiàn)出各向異性的力學(xué)性質(zhì);并且在拉壓模量相等時(shí)可以回退到經(jīng)典彈性理論本構(gòu)方程，而基于主應(yīng)力方向建立的本構(gòu)方程是廣義彈性定律中的特例.針對(duì)不同模量理論中不甚明晰的剪切模量和泊松比-彈性模量比值的假設(shè)，應(yīng)用所得到的廣義彈性定律對(duì)純剪應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行了力學(xué)分析，分析表明：在基于最大或最小剪應(yīng)力方向的直角坐標(biāo)系下，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成線性關(guān)系，剪切模量保持不變;并結(jié)合微元體純剪變形的幾何關(guān)系，證明了假設(shè)即拉泊松比與拉模量之比等于壓泊松比與壓模量之比在純剪受力狀態(tài)下是自然滿足的.

關(guān)鍵詞：彈性理論;不同模量;本構(gòu)方程;主應(yīng)力;純剪

中圖分類號(hào)：O343? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674—2974（2019）01—0093—08

Abstract：In classical elasticity theory with different modulus， the constitutive equations based on the direction of principal stress can only represent the relationship between the principal stress and principal strain in the main stress direction and cannot reflect the stress-strain behavior in other directions， and the mechanical essence of the problem on different modulus in tension and compression cannot be characterized effectively. Therefore， according to the constitutive equations based on the direction of principal stress，the generalized elastic laws were deduced by the rotation formulas of stress and strain under different Cartesian coordinate system， which are constitutive equations with different modulus in tension and compression. With theoretical verification， both the nonlinearity and anisotropy property of bi-modulus materials were revealed by the generalized elastic laws. Furthermore， it can also degenerate to the classical bi-modulus elasticity law， which implies that the constitutive law for material with different modulus in tension and compression is special cases of the obtained results. With respect to the indistinct issues about the shear modulus and the assumption of the ratios between Poisson's ratio and Young's modulus， bimodulus material point under pure shear state was investigated. It is shown that， in the rectangular coordinate system based on the maximum or minimum shear stress direction， the relation between shear stress and shear strain is linear. In other words， the shear modulus keeps invariant;besides，the hypothesis is proved that the ratio of tensile Poisson's ratio to tensile modulus is equal to the ratio of compressive Poisson′s ratio to compressive modulus under pure shear state， combining with the geometric relationship of pure shear deformation in differential element.

Key words：elastic theory;different modulus;constitutive equations;principal stress;pure shear

大量研究[1-3]表明許多材料的模量呈現(xiàn)拉伸模量與壓縮模量不等的性質(zhì)，導(dǎo)致工程結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)也具有拉壓不同特性.1941年Timoshenko[4]首次提出了雙模量材料概念.1965年，С.А.阿姆巴爾楚米揚(yáng)（Амбарцумян С.А.）[5]再次提出雙模量概念，并將其拓展到二維平面及三維空間問題，并于1982年編著了第一本關(guān)于拉壓不同模量問題的專著，建立了基于拉壓模量差異的本構(gòu)理論并稱之為不同模量理論.此后國內(nèi)外學(xué)者都對(duì)此問題進(jìn)行了深入研究，如Jones[6]將第2類區(qū)域的柔度矩陣非對(duì)角線的柔度系數(shù)按主應(yīng)力絕對(duì)值的大小加權(quán)計(jì)算得到，這樣保證了材料的柔度系數(shù)矩陣為對(duì)稱矩陣，其矩陣中的柔度系數(shù)不僅與主應(yīng)力的符號(hào)有關(guān)，且隨著主應(yīng)力大小的變化而改變，但是此法的理論依據(jù)不足;1987年，Vijayakumar等[7]從理論上提出把計(jì)算模型分成小塊子矩陣，將受拉和受壓區(qū)劃分為更細(xì)的區(qū)域來進(jìn)行分析，此法基于拉壓分塊或分區(qū)思想，假如構(gòu)件處于復(fù)雜受力狀態(tài)，拉壓分區(qū)將會(huì)十分困難.

自張?jiān)收娴萚8]將С.А.阿姆巴爾楚米揚(yáng)的專著《不同模量理論》于1986年翻譯出版后，開啟了國內(nèi)學(xué)者對(duì)此理論的研究熱潮，如Yao等[9]提出按主應(yīng)變的正負(fù)確定彈性本構(gòu)矩陣系數(shù)的方法;姚文娟等[10-11]基于平截面假設(shè)得到了結(jié)構(gòu)中性層判據(jù)定理，并推導(dǎo)了不同模量柱、梁、擋土墻等二維受力構(gòu)件的解析解;何曉婷等[12]放棄了平截面假設(shè)，推導(dǎo)了均布荷載簡支梁的解析解;吳曉等[13]采用能量法和變分法研究了不同模量板的彎曲問題等.數(shù)值解方面：張?jiān)收娴萚14]在國內(nèi)首次提出了拉壓模量不同的有限元方法，國內(nèi)學(xué)者以此為基礎(chǔ)進(jìn)行了深入研究，如楊海天等[15]提出了有限元計(jì)算的初應(yīng)力迭代法;劉相斌等[16]提出了加權(quán)收斂因子;He等[17]從理論上推導(dǎo)出了剪切模量通式的具體形式，并提出了具有物理意義的收斂因子;張洪武等[18]通過建立含參變量的拉壓不同模量理論的統(tǒng)一本構(gòu)方程，基于參變量變分原理將拉壓模量不同問題轉(zhuǎn)化為互補(bǔ)問題進(jìn)行求解;Du等[19-20]通過引入內(nèi)變量，給出了拉壓不同模量材料統(tǒng)一的本構(gòu)關(guān)系和能量表達(dá)式，進(jìn)而發(fā)展了系列變分原理和界限理論.他們還證明了拉壓不同模量問題的勢(shì)能泛函為嚴(yán)格的凸函數(shù)，具有解的唯一性和半線性，并基于Newton-Raphson算法思想，提出了求解拉壓不同模量問題的切線本構(gòu)算法，此算法對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)及復(fù)雜受力也具有高效的收斂效率.

總的來說，國內(nèi)外絕大部分研究幾乎都是將С.А.阿姆巴爾楚米揚(yáng)建立的不同模量理論應(yīng)用到具體問題中去，得到了符合某些特殊受力工況下的解析解或數(shù)值解，而對(duì)理論的本構(gòu)模型研究較少且均是在С.А.阿姆巴爾楚米揚(yáng)建立的理論框架下進(jìn)行的一定改進(jìn)，同時(shí)大部分研究者在應(yīng)用不同模量理論進(jìn)行求解時(shí)，均沿用了С.А.阿姆巴爾楚米揚(yáng)提出的拉壓模量與拉壓泊松比之間的關(guān)系假設(shè)即μ+ /E+ = μ-/E-.基于此假設(shè)會(huì)使材料的柔度矩陣或彈性矩陣變?yōu)閷?duì)稱矩陣，使計(jì)算推導(dǎo)過程大為簡化，尤其對(duì)于有限元等數(shù)值計(jì)算，節(jié)約計(jì)算成本明顯.然而此假設(shè)正確與否并未得到理論或試驗(yàn)證明.

基于此，本文在拉壓不同模量理論原始定義的本構(gòu)方程基礎(chǔ)上，利用應(yīng)力及應(yīng)變?cè)诓煌苯亲鴺?biāo)系下的轉(zhuǎn)軸公式，推導(dǎo)拉壓不同模量問題的廣義彈性定律，以理清不同模量問題的力學(xué)本質(zhì)，并應(yīng)用廣義彈性定律來證明假設(shè)μ+ /E+ = μ-/E-的正確性，以期為拉壓不同模量問題的求解提供參考或新的思路.

1? ?不同模量理論廣義彈性定律的推導(dǎo)

拉壓不同模量理論的研究對(duì)象是固體和連續(xù)體，認(rèn)為物體是勻質(zhì)和各向同性的，且基于小變形假設(shè).С.А.阿姆巴爾楚米揚(yáng)指出：對(duì)于不同彈性模量的大部分材料，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系曲線可用兩條直線來表示，用這種分段直線函數(shù)來表示的簡化本構(gòu)關(guān)系，具有足夠的精度，完全滿足工程應(yīng)用的要求.在雙直線模型中，材料的本構(gòu)關(guān)系分為受拉與受壓兩種情況：受拉時(shí)取拉模量E+及拉泊松比 μ+，受壓時(shí)取壓模量E-和壓泊松比 μ-，以此建立了基于主應(yīng)力方向的本構(gòu)方程如下：

式中：εα，εβ，εγ為主應(yīng)變;σα，σβ，σγ為主應(yīng)力;A為柔度矩陣;模量E和泊松比μ由各自對(duì)應(yīng)相乘的主應(yīng)力正負(fù)性質(zhì)確定，若σα > 0，則模量Eα和泊松比μα取E+及μ+，反之取E-及μ-.由式（1）可知，當(dāng)3個(gè)主應(yīng)力都為正或都為負(fù)時(shí)，其本構(gòu)方程與現(xiàn)有經(jīng)典彈性理論相同，稱為不同模量問題的第1類區(qū)域.當(dāng)3個(gè)主應(yīng)力正負(fù)不完全相同時(shí)，其本構(gòu)方程則有明顯的差別，稱為不同模量問題的第2類區(qū)域，如σα > 0，σβ < 0，σγ > 0，則柔度矩陣A為：

由式（1）和（2）可知，若假設(shè) μ+ /E+ = μ-/E-，則無論主應(yīng)力正負(fù)如何組合，則A都為對(duì)稱矩陣.由于我們一般是在普通的直角坐標(biāo)系下進(jìn)行力學(xué)計(jì)算，因此需要將建立在主應(yīng)力方向的本構(gòu)方程轉(zhuǎn)化為普通直角坐標(biāo)系下的本構(gòu)方程，以便于實(shí)際應(yīng)用.對(duì)于直角坐標(biāo)系的x、y、z 3軸與主應(yīng)力（σα，σβ，σγ）方向之間的方向余弦如表1所示，它們之間的關(guān)系如式（3）所示.

式（12）中Θ為體應(yīng)力.由式（7）和式（12）可知，基于普通直角坐標(biāo)系下拉壓模量不等的本構(gòu)方程，與經(jīng)典的等模量本構(gòu)方程已完全不同，應(yīng)力與應(yīng)變不再是簡單的線性關(guān)系.由式（12）可知，除了熟知的經(jīng)典彈性關(guān)系中的線性項(xiàng)外，還有非線性項(xiàng);且其線性項(xiàng)的系數(shù)不再是常量，而是隨著主應(yīng)力正負(fù)的變化而變化.非線性項(xiàng)則與主應(yīng)力的正負(fù)、大小及方向有關(guān).

基于以上分析，將式（6）代入式（7），將其整理為任意方向直角坐標(biāo)系下的本構(gòu)方程為：

其他5個(gè)方程同理可證明.基于此，具有普遍意義的本構(gòu)方程可寫為如下形式：

矩陣C可稱為廣義柔度矩陣，矩陣中元素分別對(duì)應(yīng)式（13）～式（18）中與每個(gè)對(duì)應(yīng)應(yīng)力相乘的多項(xiàng)式，當(dāng)直角坐標(biāo)軸與主應(yīng)力方向重合時(shí)，即：l1 = m2 = n3 = 1，l2 = l3 = m1 = m3 = n1 = n2 = 0時(shí)，則有廣義柔度矩陣各元素為：c11 = 1/Eα，c22 = 1/Eβ，c33 = 1/Eγ，c21 = c31 = -μα /Eα，c12 = c32 = -μβ/Eβ，c13 = c23 = -μγ/Eγ，矩陣C中的第4、5、6行及第4、5、6列元素均等于0，形式如式（22）所示.

由式（22）可知，廣義柔度矩陣回退到了不同模量理論的原始定義柔度矩陣（見式（1）），這表明本文建立的廣義彈性定律符合拉壓模量的原始定義，且更具普遍性;基于主應(yīng)力方向建立的本構(gòu)方程，是廣義彈性定律中的特例，由于剪應(yīng)力及剪應(yīng)變?yōu)?，避免了對(duì)剪應(yīng)力及剪應(yīng)變的討論，其柔度矩陣變?yōu)? × 3階矩陣，使得本構(gòu)方程得到簡化.

文獻(xiàn)[17]指出：由基于主方向上的本構(gòu)方程直接推導(dǎo)復(fù)雜應(yīng)力狀況下的本構(gòu)矩陣不滿足回退特性，必須要加上剪切通項(xiàng)即當(dāng)直角坐標(biāo)系建立在主應(yīng)力方向時(shí)，柔度系數(shù)c44、c55、c66必須要賦予合適的非零值，才能滿足拉壓回退特性.本文推導(dǎo)表明，在利用應(yīng)力應(yīng)變的轉(zhuǎn)軸公式后，廣義彈性本構(gòu)方程的拉壓回退特性是滿足的，與是否補(bǔ)全剪切通項(xiàng)無關(guān).

2? ?拉壓不同模量問題力學(xué)性質(zhì)討論

由具有拉壓不同模量特性的材料組成的結(jié)構(gòu)在復(fù)雜受力狀態(tài)下，任意一點(diǎn)的受力狀態(tài)可分為如下3種情形：1）該點(diǎn)的3個(gè)主應(yīng)力同為正或同為負(fù)，即所謂的第1類區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的本構(gòu)方程與各向同性本構(gòu)方程類似;2）3個(gè)主應(yīng)力符號(hào)不完全相同，但主應(yīng)力方向剛好與整體的直角坐標(biāo)軸方向相同，此時(shí)該點(diǎn)的本構(gòu)方程可簡化為原始定義的本構(gòu)方程即式（1），這與正交各向異性的本構(gòu)方程類似，其主軸與該點(diǎn)的主應(yīng)力方向相同;3）3個(gè)主應(yīng)力符號(hào)不完全相同，主應(yīng)力方向與整體的直角坐標(biāo)軸也不重合，復(fù)雜受力狀態(tài)下此類區(qū)域一般占絕大比例，其本構(gòu)方程形式即為式（13）～（18），此類區(qū)域中各點(diǎn)的主應(yīng)力大小及方向一般都各不相同，即任一點(diǎn)的3個(gè)主應(yīng)力及其方向余弦均不相等.則由式（13）～ （18）可知，該區(qū)域各點(diǎn)的廣義本構(gòu)方程形式上一樣，但對(duì)應(yīng)的各系數(shù)項(xiàng)均不相等.且從本構(gòu)方程的形式上看，正應(yīng)變不只與正應(yīng)力有關(guān)，也受剪應(yīng)力的影響;剪應(yīng)變也不只與對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)力有關(guān)，也受3個(gè)正應(yīng)力和其他兩個(gè)方向剪應(yīng)力的影響.因此，從廣義彈性本構(gòu)方程角度來講，該區(qū)域的本構(gòu)方程與各向異性的本構(gòu)方程類似.

由以上兩節(jié)分析可得，即使在各個(gè)應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力空間內(nèi)，本構(gòu)關(guān)系具有線彈性形式，但對(duì)于整個(gè)拉壓不同模量彈性系統(tǒng)，其本構(gòu)方程由于決定于主應(yīng)力正負(fù)而表現(xiàn)出非線性性質(zhì);并且在一般直角坐標(biāo)軸中，本構(gòu)關(guān)系依賴于該方向與主應(yīng)力方向的夾角，形式上具有各向異性特征，顯然沒有固定的材料主軸.因此拉壓不同結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為受其應(yīng)力狀態(tài)及整體坐標(biāo)軸方向的影響，已屬非線性及各向異性范疇.

3? ?純剪應(yīng)力狀態(tài)受力分析

應(yīng)用廣義彈性定律，對(duì)二維純剪應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析，以正方形微元體為例，其受力模式如圖1所示.

對(duì)比式（26）和式（27）可得，純剪狀態(tài)下，在基于最大（或最?。┘魬?yīng)力方向的直角坐標(biāo)系下，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成線性關(guān)系，剪切模量不隨剪應(yīng)力的大小和正負(fù)發(fā)生改變.同時(shí)表明圖1（c）所示微元體中左右兩個(gè)直角的減小量與上下兩個(gè)直角的增加量相等.

由于本文建立的本構(gòu)方程及推導(dǎo)時(shí)并沒有采用假設(shè)μ+ /E+ = μ-/E-，這表明只要材料具有拉壓模量不同的性質(zhì)，且基于拉壓模量雙線性模型建立的本構(gòu)方程，在純剪受力狀態(tài)下，自然滿足μ+ /E+ = μ-/E-.同時(shí)基于此結(jié)論，可大為簡化廣義柔度矩陣C，并可證明C為對(duì)稱矩陣，這與材料的勻質(zhì)性假設(shè)相符合.

5? ?結(jié)? ?論

在基于主應(yīng)力方向的本構(gòu)方程基礎(chǔ)上，利用應(yīng)力及應(yīng)變的轉(zhuǎn)軸公式，推導(dǎo)了不同模量理論的廣義彈性定律，此定律滿足拉壓模量相同時(shí)的回退特性，且深刻揭示了拉壓不同模量問題的各向異性和非線性特性.應(yīng)用廣義彈性定律對(duì)純剪應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行了力學(xué)分析，結(jié)果表明：在基于最大（或最?。┘魬?yīng)力方向的直角坐標(biāo)系下，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成線性關(guān)系，剪切模量保持不變;并結(jié)合微元體純剪變形的幾何關(guān)系證明了假設(shè)μ+/E+ = μ-/E-在純剪受力狀態(tài)下是自然滿足的.

參考文獻(xiàn)

[1]? ? ZHANG H W，ZHANG L，GAO Q. An efficient computational method for mechanical analysis of bimodular structures based on parametric variational principle[J]. Computers & Structures， 2011， 89：2352-2360.

[2]? ? GIANLUCA M. A nonlinear elastic model for isotropic materials with different behavior in tension and compression[J]. Transactions of the ASME，1982，104（26）：26—28.

[3]? ? QU C Z. Deformation of geocell with different tensile and compressive modulus [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2009，14：1—14.