Shearlet變換在圖像重建中的應(yīng)用

權(quán)雪寧，何文章，冀東江

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

CT 層析成像技術(shù)是指通過(guò)從物體外部檢測(cè)到的數(shù)據(jù)重建物體內(nèi)部（橫截面）信息的技術(shù)，也叫計(jì)算機(jī)輔助斷層成像技術(shù)[1]。目前主要的CT 重建算法有解析法[2]和迭代法[3]。解析類重建算法具有較低的時(shí)間復(fù)雜度，但在投影數(shù)據(jù)不充分的情況下重建得到的圖像質(zhì)量非常差，濾波反投影算法（FBP）是解析重建算法中應(yīng)用最廣泛的一種。目前運(yùn)用較多的迭代類重建算法有代數(shù)重建算法（ART）[4]、聯(lián)合迭代重建算法（SIRT）[5]和聯(lián)合代數(shù)重建算法（SART）[6]。Gordon 等[4]于 1970年提出ART 算法，該算法收斂速度快，但在數(shù)據(jù)不完全或有噪聲的情況下，重建質(zhì)量不佳；Gilbert[5]于1972年提出SIRT 算法，該算法收斂性好，但其收斂所需的迭代次數(shù)多，計(jì)算成本高；Andersen 等[6]于 1984年提出SART 算法，該算法是SIRT 和ART 的一種折衷，其迭代次數(shù)少，重建質(zhì)量高[1]。近些年關(guān)于對(duì)圖像重建進(jìn)行去噪的研究也取得了一些成果[7-9]。相對(duì)于FBP 算法，SART 算法在有限角度下能較好地抑制圖像中含有的偽影和噪聲，然而卻并不能完全去除重建圖像中的噪聲，進(jìn)而影響了對(duì)圖像的理解和分析。

針對(duì)這一問(wèn)題，本研究利用Shearlet 變換對(duì)重建圖像去噪。Shearlet 變換是近年來(lái)提出并逐漸成熟的超小波中的一種，克服了傳統(tǒng)小波缺乏方向表達(dá)的缺點(diǎn)，同時(shí)能采用相同的方式處理離散和連續(xù)數(shù)據(jù)。Shearlet 變換是一種多尺度幾何分析工具，可以看作是小波變換的一種改進(jìn)。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，Shearlet 變換存在著多尺度的規(guī)律，它能夠?qū)D像進(jìn)行稀疏表示且產(chǎn)生最優(yōu)逼近[10]。本文分別在[0°，150°]、[0°，160°]和[0°，170°]范圍內(nèi)，采用 SART 算法和 FBP 算法對(duì)經(jīng)典Shepp-Logan 模型進(jìn)行初步重建，對(duì)于FBP-Shearlet算法，就是將FBP 算法重建結(jié)果進(jìn)行Shearlet 變換閾值去噪，得到更新后的重建圖像；區(qū)別于FBP-Shearlet算法，SART-Shearlet 算法則需要將Shearlet 去噪后的重建圖像作為SART 算法的初值繼續(xù)交替迭代。本文將對(duì)Shearlet 變換閾值去噪和SART-Shearlet 算法進(jìn)行詳細(xì)介紹。

1 算法介紹

1.1 SART算法

CT 圖像重建的實(shí)質(zhì)是對(duì)線性方程組的求解，也可以表示為：

式中：A=aij為 M ×N 的系統(tǒng)矩陣，aij為第 j 個(gè)像素對(duì)第i 條射線投影值的貢獻(xiàn)；p∈RM為探測(cè)器經(jīng)過(guò)必要處理后采集的投影數(shù)據(jù)；f∈RN為被測(cè)對(duì)象的線性衰減系數(shù)。

SART 算法是一種聯(lián)合代數(shù)重建技術(shù)，其迭代公式為[6]：

1.2 Shearlet變換

Guo 等[10]通過(guò)對(duì)仿射系統(tǒng)理論和多尺度分析理論的理解，提出合成小波的數(shù)學(xué)表達(dá)模型。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，Shearlet 變換存在著多尺度的規(guī)律，對(duì)母函數(shù)做尺度調(diào)整以及平移，調(diào)整尺度參數(shù)以及平移距離的取值得出一組Shearlet 的基函數(shù)，利用基函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，能對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度的分析。

當(dāng)維度N=2，任取平方可積的連續(xù)函數(shù)f，即?f∈L2（R2）時(shí)：

從而形成了Parseval 緊框架，所提出的φj，l，k（x）即為合成小波。在系統(tǒng)MAB（φ）中，矩陣Aj與尺度變換存在一定的聯(lián)系，相當(dāng)于小波變換中的尺度參數(shù)，而矩陣Bl與旋轉(zhuǎn)剪切等操作存在相關(guān)性。

Shearlet 變換則是從上述模型中衍生出來(lái)的，若滿足如下條件：

則系統(tǒng)MAB（φ）是Shearlet 變換的表達(dá)形式。

對(duì)于函數(shù)f∈L2（R2），定義其連續(xù)Shearlet 變換為：

可以通過(guò)Shearlet 系數(shù)進(jìn)行反變換重構(gòu)原始函數(shù)f：

1.3 SART-Shearlet算法實(shí)現(xiàn)步驟

采用Shearlet 變換閾值方法[11]對(duì)SART 算法重建圖像結(jié)果進(jìn)行去噪，稱該方法為SART-Shearlet 算法。

其中Shearlet 變換閾值去噪方法的實(shí)質(zhì)是將重建圖像經(jīng)過(guò)Shearlet 變換得到相應(yīng)的Shearlet 系數(shù)，采用閾值函數(shù)去除較小的Shearlet 系數(shù)，保留較大的部分，從而達(dá)到去除噪聲的目的。再對(duì)得到的新的Shearlet系數(shù)進(jìn)行Shearlet 反變換，得到去噪后的圖像。

②通過(guò)閾值函數(shù)對(duì)Shearlet 變換系數(shù)進(jìn)行閾值化處理，保留大于閾值的Shearlet 變換系數(shù)，舍棄小于閾值的Shearlet 變換系數(shù)。處理過(guò)程如下：

其中，

③對(duì)閾值函數(shù)處理后的Shearlet 變換系數(shù)Cnew（j，l，k）進(jìn)行Shearlet 反變換，恢復(fù)去噪后的有效數(shù)據(jù) f′：

SART-Shearlet 算法有 2 個(gè)步驟：SART 步驟和Shearlet 變換去噪步驟。將這2 個(gè)步驟依次迭代得到去噪圖像。SART-Shearlet 算法包括：

①初始化：

SART 步驟中將循環(huán)迭代次數(shù)記為N1，迭代指標(biāo)K∈[1，N1]，松弛因子為 λ，f(1)=0。

②SART 步驟：

利用公式（2），對(duì)圖像f 進(jìn)行一次迭代。

③Shearlet 變換步驟：

將一次迭代結(jié)果代入式（9），經(jīng)過(guò)Shearlet 正變換和閾值處理，得到新的Shearlet 變換系數(shù)Cnew（j，l，k），又經(jīng)過(guò)Shearlet 反變換，得到去噪后的有效數(shù)據(jù)f′。

④交替迭代步驟：

將去噪后的有效數(shù)據(jù)f′返回步驟②、③，交替迭代，直到滿足重建圖像質(zhì)量要求，停止迭代。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證Shearlet 變換對(duì)有限角CT 重建圖像去噪效果的可行性和有效性，本文對(duì)Shepp-Logan 頭部模型進(jìn)行仿真模擬，所有算法均采用Matlab 軟件在PC 機(jī)（4.0 GB 內(nèi)存，3.4 GHz CPU）上實(shí)現(xiàn)。為了評(píng)價(jià)Shearlet 算法在有限角重建圖像中的有效性，在相同有限角度范圍內(nèi)對(duì) FBP-Shearlet 算法和SARTShearlet 算法進(jìn)行客觀的對(duì)比評(píng)價(jià)。

本文選用峰值信噪比（peak signal to noise ratio，PSNR）和均方誤差（mean square error，MSE）作為評(píng)價(jià)圖像質(zhì)量的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo),其計(jì)算公式如下：

式中：MAXI表示原圖的最大灰度值。顯然，MSE 值越小，PSNR 值越大，表明重建效果越好（去噪效果越好）。

其中，MSE 的計(jì)算公式為：

式中：M×N 為圖像的大?。籪 和f^分別為參考圖像和重建圖像（去噪圖像）的像素值。

2.1 SART算法和FBP算法重建結(jié)果比較

不同有限角度下SART 算法和FBP 算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。

圖1 不同有限角度下SART 算法和FBP 算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

仿真實(shí)驗(yàn)以Shepp-Logan 為原始模型，圖像大小為 256 × 256，探測(cè)元個(gè)數(shù)設(shè)置為 256 個(gè),在[0°，150°]、[0°，160°]以及[0°，170°]范圍內(nèi)均勻采樣 150、160 和170 個(gè)投影數(shù)據(jù)，在SART 算法中，迭代次數(shù)設(shè)置為100 次，松弛因子設(shè)置為0.9；在相同有限角度范圍內(nèi)，采用FBP 算法進(jìn)行重建。從圖1可知，采用SART 重建結(jié)果要明顯優(yōu)于FBP 重建結(jié)果。

SART 算法和FBP 算法在不同有限角下的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)如表1所示。通過(guò)表1中數(shù)據(jù)可知，在有限角度范圍內(nèi)，SART 算法的均方誤差小，峰值信噪比大，重建圖像質(zhì)量明顯優(yōu)于FBP 算法。隨著投影數(shù)據(jù)的增多，2 種算法的均方誤差變小，峰值信噪比增大。

表1 SART 算法和FBP 算法在不同有限角下的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)

2.2 SART-Shearlet算法和FBP-Shearlet算法比較

SART-Shearlet 算法經(jīng)過(guò)SART-Shearlet 步驟實(shí)現(xiàn)交替迭代，得到重建圖像。而FBP-Shearlet 算法，將FBP 重建結(jié)果通過(guò)Shearlet 正變換得到Shearlet 系數(shù)，舍棄小于設(shè)定閾值的Shearlet 變換系數(shù)，隨后經(jīng)過(guò)Shearlet 反變換得到更新后的圖像結(jié)果，直接輸出更新后的圖像。為了獲得更好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，將分解尺度設(shè)置為2，不同有限角度下SART-Shearlet 算法和FBP-Shearlet 算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同有限角度下SART-Shearlet 算法和FBP-Shearlet 算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

直觀上看，Shearlet 變換對(duì)SART 算法和FBP 算法的重建結(jié)果均有較好的去噪效果。SART-Shearlet 算法和FBP-Shearlet 算法在不同有限角下的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)如表2所示。

表2 SART-Shearlet 算法和FBP-Shearlet 算法在不同有限角下的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)

從圖2的圖像和表2的數(shù)據(jù)可知，在相同有限角度范圍內(nèi)，SART-Shearlet 算法的 MSE 小于 FBPShearlet 算法的 MSE 值，PSNR 值均大于 FBP-Shearlet算法的 PSNR 值。在[0°，150°]和[0°，160°]范圍內(nèi)，由于[0°，150°] 范圍視角較少的原因，F(xiàn)BP-Shearlet 算法的去噪效果最差。而在[0°，170°]范圍內(nèi)，SART-Shearlet算法的MSE 值最小，PSNR 值最大?？梢?，相對(duì)于FBP-Shearlet 算法，經(jīng)過(guò)交替迭代的SART-Shearlet 算法在投影數(shù)據(jù)多的情況下能夠重建出高質(zhì)量的圖像。表2與表1比較，Shearlet 變換對(duì) SART 算法和 FBP算法的重建結(jié)果均具有較好的去噪效果。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了在采集有限角度投影數(shù)據(jù)情況下的FBP-Shearlet 算法和SART-Shearlet 算法。為了評(píng)價(jià)有限角情況下這2 種算法的有效性，在相同有限角度范圍內(nèi)分別對(duì) FBP 算法、SART 算法、FBP-Shearlet 算法和SART-Shearlet 4 種算法進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在相同有限角度范圍內(nèi)，基于Shearlet 變換的FBP-Shearlet 算法和SART-Shearlet 算法要優(yōu)于FBP算法和SART 算法。而FBP-Shearlet 算法和SARTShearlet 算法相比較，SART-Shearlet 算法在有限角度情況下能夠重建出相對(duì)更高質(zhì)量的圖像。