考慮巖石變形的頁(yè)巖氣藏雙重介質(zhì)數(shù)值模擬

姜瑞忠，原建偉，崔永正，潘 紅，李 廣，張海濤

（1.中國(guó)石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東青島266580；2.中國(guó)石油大港油田分公司采油工藝研究院，天津300280）

近年來(lái)，頁(yè)巖氣作為新型非常規(guī)能源受到世界各國(guó)的關(guān)注，頁(yè)巖儲(chǔ)層具有低孔低滲透的特性，開(kāi)采必須進(jìn)行壓裂改造，水平井壓裂技術(shù)及裂縫監(jiān)測(cè)技術(shù)已經(jīng)逐漸變得成熟。納米級(jí)孔隙在頁(yè)巖儲(chǔ)層中占主導(dǎo)地位。通常，頁(yè)巖氣以游離態(tài)的形式存在于基質(zhì)孔隙和裂縫中，而以吸附態(tài)的形式吸附在基質(zhì)表面，因此，頁(yè)巖氣藏中特定的孔隙大小以及儲(chǔ)氣形式意味著頁(yè)巖儲(chǔ)層的滲流機(jī)理（黏性流、Knudsen擴(kuò)散和表面擴(kuò)散）應(yīng)被全面考慮，這樣才能使模擬更真實(shí)準(zhǔn)確［1-7］。

針對(duì)表面擴(kuò)散，JAVADPOUR提出了基于表面擴(kuò)散和Knudsen擴(kuò)散線性疊加的頁(yè)巖儲(chǔ)層中氣體流動(dòng)的表觀模型，并利用該模型模擬雙連續(xù)頁(yè)巖氣藏［8］。XIONG等分析了非Darcy流動(dòng)效應(yīng)和理想氣體表面擴(kuò)散對(duì)表觀滲透率的影響［9］。WANG等討論了多層吸附對(duì)表面擴(kuò)散的影響以及表面擴(kuò)散對(duì)表觀滲透率的影響［10］。吳克柳等基于Hwang模型，推導(dǎo)了頁(yè)巖氣表面擴(kuò)散模型，并對(duì)影響表面擴(kuò)散能力的因素進(jìn)行了分析［11］。吳明錄等基于吳克柳等的表面擴(kuò)散模型，進(jìn)行了頁(yè)巖氣藏多級(jí)壓裂水平井?dāng)?shù)值模擬［12］，證明了表面擴(kuò)散對(duì)頁(yè)巖氣產(chǎn)量有很大的影響，但是所建模型缺乏對(duì)地層應(yīng)力敏感的考慮，不能準(zhǔn)確反映地層的實(shí)際情況。

針對(duì)應(yīng)力敏感效應(yīng)，趙謙平等建立了考慮應(yīng)力敏感的頁(yè)巖氣滲透率模型，并討論了應(yīng)力敏感對(duì)頁(yè)巖氣滲透率的影響［13］。JIANG等提出了完全耦合的流體流動(dòng)和地質(zhì)力學(xué)模型，用來(lái)模擬裂縫性頁(yè)巖氣藏中的復(fù)雜生產(chǎn)現(xiàn)象［14］，但未考慮表面擴(kuò)散對(duì)頁(yè)巖氣產(chǎn)能的影響。XU等采用離散裂縫模型，研究了巖石變形對(duì)儲(chǔ)層流動(dòng)特性的影響，模型中考慮了由耦合地質(zhì)力學(xué)得到的滲透率［15］，同樣，模型中未全面考慮頁(yè)巖氣的相關(guān)滲流機(jī)理。李凱等在冪律模型的基礎(chǔ)上，建立了考慮應(yīng)力敏感的頁(yè)巖氣產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型，并確定了井的合理產(chǎn)量［16］。朱維耀等開(kāi)展了應(yīng)力敏感實(shí)驗(yàn)，并研究了應(yīng)力敏感性對(duì)頁(yè)巖氣產(chǎn)能的影響，證明了在研究中必須考慮應(yīng)力敏感［17］。

綜上所述，尚未有人全面考慮頁(yè)巖氣黏性流、表面擴(kuò)散及Knudsen擴(kuò)散與應(yīng)力敏感對(duì)頁(yè)巖氣產(chǎn)能的影響。為此，筆者通過(guò)耦合地質(zhì)力學(xué)得到的頁(yè)巖滲透率與考慮黏性流、表面擴(kuò)散及Knudsen擴(kuò)散得到的滲透率進(jìn)行耦合，得到更為全面的頁(yè)巖滲透率模型。離散裂縫模型可以更真實(shí)解釋單個(gè)裂縫的特征［18］，所以采用離散裂縫模型對(duì)微裂縫及水力裂縫進(jìn)行描述，采用有限元求解，從而進(jìn)行模擬研究，然后對(duì)相關(guān)因素進(jìn)行敏感性因素分析，最后通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證新建模型的準(zhǔn)確性。

1 頁(yè)巖氣滲流相關(guān)機(jī)理

1.1 耦合地質(zhì)力學(xué)

在常規(guī)油氣藏中，巖石的應(yīng)力敏感性往往被忽略，但在頁(yè)巖儲(chǔ)層中，巖石的滲透率極低，以及異常高的孔隙壓力會(huì)對(duì)巖石的變形產(chǎn)生顯著影響，所以在頁(yè)巖氣開(kāi)采過(guò)程中，孔隙壓力降低將導(dǎo)致有效壓力增加，從而使儲(chǔ)層致密，降低了儲(chǔ)層的孔隙度和固有滲透率；同時(shí)基質(zhì)表面頁(yè)巖氣的解吸也會(huì)導(dǎo)致基質(zhì)收縮，使得孔隙空間增大，從而造成滲透率增加。因此，有學(xué)者推導(dǎo)了耦合地質(zhì)力學(xué)效應(yīng)下的滲透率公式［15，19］，其表達(dá)式為：

頁(yè)巖的吸附應(yīng)變可以近似為L(zhǎng)angmuir方程形式：

1.2 表面擴(kuò)散

表面擴(kuò)散可以描述吸附氣在孔隙中的運(yùn)移，由表面擴(kuò)散表征的頁(yè)巖基質(zhì)視滲透率［11-12］為：

1.3 頁(yè)巖氣黏度與壓縮因子

在頁(yè)巖氣開(kāi)采過(guò)程中，溫度與壓力的變化將會(huì)影響氣體的相關(guān)性質(zhì)。傳統(tǒng)的氣體黏度模型已經(jīng)不適用于頁(yè)巖氣的長(zhǎng)期生產(chǎn)，LEE等提出了計(jì)算氣體黏度的相關(guān)公式［20］，其表達(dá)式為：

壓縮因子可以通過(guò)擬對(duì)比壓力與擬對(duì)比溫度計(jì)算［21］，其計(jì)算式為：

氣體密度通過(guò)氣體狀態(tài)方程計(jì)算，其表達(dá)式為：

1.4 頁(yè)巖氣吸附與解吸機(jī)理

頁(yè)巖中含有大量的有機(jī)質(zhì)和黏土礦物，因此可以吸附大量的頁(yè)巖氣，一般用吸附氣的體積含量來(lái)衡量頁(yè)巖基質(zhì)的吸附能力，一般用Langmuir等溫吸附定律來(lái)描述頁(yè)巖氣藏中基質(zhì)表面吸附含量［22］，其表達(dá)式為：

1.5 Knudsen擴(kuò)散

頁(yè)巖氣藏中，平均孔隙半徑為4～200 nm，與氣體分子平均自由程相當(dāng)，因此Knudsen擴(kuò)散必須被考慮到氣體的流動(dòng)機(jī)制中，Knudsen擴(kuò)散產(chǎn)生的氣體流量［18］為：

2 頁(yè)巖氣藏多級(jí)壓裂水平井滲流模型

2.1 物理模型

如圖1所示，建立頁(yè)巖氣藏多級(jí)壓裂水平井物理模型，取水平井上部分（下部分與其對(duì)稱），四周為不滲透邊界，使用離散裂縫描述天然裂縫和水力裂縫，建立綜合考慮地質(zhì)力學(xué)效應(yīng)、Knudsen擴(kuò)散、表面擴(kuò)散、吸附解吸的物理模型。其假設(shè)條件為：①頁(yè)巖儲(chǔ)層為基質(zhì)和離散天然裂縫雙重介質(zhì)。②吸附氣僅存在于基質(zhì)表面，而游離氣存在于基質(zhì)孔隙、天然裂縫和水力裂縫中。③頁(yè)巖氣只有單一組分甲烷，且為等溫滲流，不考慮重力作用。

圖1 頁(yè)巖氣雙重介質(zhì)離散裂縫模型Fig.1 Dual media model of shale gas reservoir considering discrete fractures

2.2 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)頁(yè)巖氣滲流相關(guān)機(jī)理及模型假設(shè)，采用質(zhì)量守恒定律，分別建立基質(zhì)、天然裂縫的連續(xù)性方程。

2.2.1 基質(zhì)

在頁(yè)巖基質(zhì)中，頁(yè)巖氣以游離態(tài)的形式存在于基質(zhì)孔隙中，以吸附態(tài)的形式吸附在頁(yè)巖基質(zhì)表面，所以建立頁(yè)巖基質(zhì)的連續(xù)性方程時(shí)，必須考慮頁(yè)巖氣黏性流動(dòng)、Knudsen擴(kuò)散、表面擴(kuò)散和吸附解吸這些機(jī)理，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，得到的頁(yè)巖基質(zhì)的連續(xù)性方程為：

則同時(shí)考慮頁(yè)巖氣Knudsen擴(kuò)散、表面擴(kuò)散、吸附解吸及應(yīng)力敏感的頁(yè)巖基質(zhì)滲透率公式可表示為：

2.2.2 天然裂縫

在天然裂縫中，只有游離氣存在，所以建立考慮應(yīng)力敏感的頁(yè)巖氣擴(kuò)散方程為：

2.2.3 初始條件與邊界條件

初始條件為：

邊界條件為：

2.2.4 求解

將基質(zhì)和天然裂縫的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行聯(lián)立，采用有限元方法進(jìn)行求解，模型中所采用的參數(shù)主要包括：頁(yè)巖基質(zhì)初始滲透率為2×10-18m2，天然裂縫初始滲透率為1×10-14m2，泊松比為0.25，地層初始?jí)毫?5 MPa，井底壓力為3.5 MPa，楊氏模量為8 GPa，Langmuir壓力為5 MPa，Langmuir體積為0.003 m3/kg，表面擴(kuò)散系數(shù)為8.29×10-9m2/s，吸附氣擁塞率與遷移率之比為0.5，頁(yè)巖氣平均摩爾質(zhì)量為0.016 04 kg/mol，基質(zhì)孔隙度為0.05，納米毛細(xì)管的迂曲度為4.3，孔隙中心到吸附層距離為1.9×10-10m，平均孔隙半徑為1×10-9m，地層溫度為423 K，頁(yè)巖密度為2 600 kg/m3，標(biāo)況下頁(yè)巖氣摩爾體積為0.022 4 m3/mol，模擬時(shí)間為10 a，對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行分析。

3 結(jié)果與討論

3.1 地層壓力分布

通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，可以得到開(kāi)采過(guò)程中不同時(shí)間段的地層壓力分布。由圖2可以看出，隨著時(shí)間的增加，地層壓力不斷從多級(jí)壓裂水平井附近沿著裂縫向邊界降低，頁(yè)巖氣被采出。

圖2 不同時(shí)間段水平井附近地層壓力變化Fig.2 Formation pressure changes near horizontal wells at different time stages

3.2 頁(yè)巖氣滲流機(jī)理對(duì)頁(yè)巖氣累積產(chǎn)氣量的影響

分析黏性流、表面擴(kuò)散、Knudsen擴(kuò)散和應(yīng)力敏感對(duì)頁(yè)巖氣累積產(chǎn)氣量的影響（圖3）可以看出：表面擴(kuò)散使得頁(yè)巖氣累積產(chǎn)氣量增加近11.4%；Knudsen擴(kuò)散使頁(yè)巖氣累積產(chǎn)氣量增加了2.7%；而考慮應(yīng)力敏感效應(yīng)后頁(yè)巖氣累積產(chǎn)氣量降低了約3.24%；綜合考慮頁(yè)巖氣黏性流、Knudsen擴(kuò)散、表面擴(kuò)散和應(yīng)力敏感，比只考慮黏性流動(dòng)時(shí)總產(chǎn)量增加了20.2%。這是因?yàn)?，在Knudsen擴(kuò)散及表面擴(kuò)散的作用下，頁(yè)巖基質(zhì)的視滲透率顯著增加，使得頁(yè)巖氣更容易滲流，累積產(chǎn)氣量增加；而應(yīng)力敏感效應(yīng)使頁(yè)巖基質(zhì)的滲透率隨著地層壓力降低而減小，導(dǎo)致頁(yè)巖氣的累積產(chǎn)氣量減小。在實(shí)際生產(chǎn)中，應(yīng)綜合考慮這幾種機(jī)理對(duì)產(chǎn)量的影響，缺一不可，從而更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)頁(yè)巖氣的產(chǎn)量，指導(dǎo)生產(chǎn)。

圖3 不同頁(yè)巖氣滲流機(jī)理下的累積產(chǎn)氣量Fig.3 Cumulative gas production of different shale gas percolation mechanisms

3.3 表面擴(kuò)散系數(shù)對(duì)頁(yè)巖氣累積產(chǎn)氣量的影響

表面擴(kuò)散系數(shù)對(duì)頁(yè)巖氣累積產(chǎn)氣量的影響（圖4）表明，隨著表面擴(kuò)散系數(shù)的增加，頁(yè)巖氣的累積產(chǎn)氣量增加。這是由于，表面擴(kuò)散系數(shù)越大，頁(yè)巖氣表面擴(kuò)散表征的滲透率增加，從而頁(yè)巖氣的滲流能力增強(qiáng)，累積產(chǎn)氣量增加。

圖4 不同表面擴(kuò)散系數(shù)下的累積產(chǎn)氣量Fig.4 Cumulative gas production at different surface diffusion coefficients

3.4 Langmuir體積對(duì)頁(yè)巖氣累積產(chǎn)氣量的影響

Langmuir體積對(duì)頁(yè)巖氣累積產(chǎn)氣量的影響（圖5）顯示，Langmuir體積越大，累積產(chǎn)氣量越大。這是由于，Langmuir體積越大，頁(yè)巖氣吸附氣含量就越高，從而在頁(yè)巖氣開(kāi)采時(shí)，隨著壓力的降低，從基質(zhì)表面解吸的吸附氣含量就越高，從而表面擴(kuò)散和Knudsen擴(kuò)散的吸附氣就越多。

圖5 不同Langmuir體積下的累積產(chǎn)氣量Fig.5 Cumulative gas production at different Langmuir volumes

圖6 不同井底壓力下的累積產(chǎn)氣量Fig.6 Cumulative gas production at different bottom hole pressures

3.5 井底壓力對(duì)頁(yè)巖氣累積產(chǎn)氣量的影響

由圖6可以看出，井底壓力越低，頁(yè)巖氣的累積產(chǎn)氣量越高。這是因?yàn)?，井底壓力降低，吸附在基質(zhì)表面的吸附氣越容易解吸，從而Knudsen擴(kuò)散和表面擴(kuò)散越容易，因此頁(yè)巖氣累積產(chǎn)氣量越高。在實(shí)際生產(chǎn)中，應(yīng)盡可能地降低井底壓力，促進(jìn)頁(yè)巖氣解吸，增加產(chǎn)能。

4 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證新建模型的準(zhǔn)確性，選取Barnett頁(yè)巖氣藏一口井［23-25］，相關(guān)參數(shù)包括：井底壓力為3.69 MPa，初始?jí)毫?0.34 MPa，基質(zhì)初始滲透率為0.000 2 mD，裂縫初始滲透率為50 mD，基質(zhì)孔隙度為 0.03，儲(chǔ)層溫度為 352 K，Langmuir體積為0.002 72 m3/kg，Langmuir壓力為4.48 MPa，泊松比為0.2。采用由黏性流、Knudsen擴(kuò)散、表面擴(kuò)散及應(yīng)力敏感所表征的滲透率模型，模擬計(jì)算1 600 d的日產(chǎn)氣量，并與Barnett頁(yè)巖氣藏實(shí)際日產(chǎn)氣量進(jìn)行比對(duì)。

由圖7可知，本文模型模擬的結(jié)果與實(shí)際氣藏的日產(chǎn)氣量擬合效果較好，說(shuō)明所建模型是準(zhǔn)確的，表明在實(shí)際生產(chǎn)時(shí)，必須考慮Knudsen擴(kuò)散、表面擴(kuò)散和應(yīng)力敏感對(duì)頁(yè)巖氣產(chǎn)量的影響，這樣才能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)頁(yè)巖氣產(chǎn)能，指導(dǎo)開(kāi)發(fā)。

圖7 模擬結(jié)果與實(shí)際產(chǎn)氣量擬合結(jié)果Fig.7 Comparison of simulation results with actual gas production results

5 結(jié)論

建立綜合考慮頁(yè)巖氣黏性流、Knudsen擴(kuò)散、表面擴(kuò)散以及應(yīng)力敏感的多級(jí)壓裂水平井滲流模型，采用離散裂縫模型對(duì)微裂縫和水力裂縫進(jìn)行描述，并進(jìn)行有限元求解。

表面擴(kuò)散與Knudsen擴(kuò)散使得頁(yè)巖滲透率增加，從而使累積產(chǎn)氣量增加，而應(yīng)力敏感效應(yīng)使得基質(zhì)滲透率降低，從而使得累積產(chǎn)氣量降低，所以實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)綜合考慮這幾種因素對(duì)頁(yè)巖氣產(chǎn)能的影響，從而更準(zhǔn)確預(yù)測(cè)產(chǎn)能，指導(dǎo)生產(chǎn)。

表面擴(kuò)散系數(shù)越大、Langmuir體積越大及井底壓力越低，頁(yè)巖氣累積產(chǎn)氣量越高。Langmuir體積越高的頁(yè)巖氣藏，通過(guò)降低井底壓力開(kāi)采，更有開(kāi)發(fā)潛力。所建模型與實(shí)際歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合效果較好，驗(yàn)證了所建模型的準(zhǔn)確性。

符號(hào)解釋

Km1——考慮巖石變形的基質(zhì)滲透率，m2；Km0——頁(yè)巖基質(zhì)初始滲透率，m2；Kp——孔隙的彈性模量，GPa；v——泊松比；p——地層壓力，MPa；p0——地層初始?jí)毫?，MPa；E——楊氏模量，GPa；εs——頁(yè)巖的吸附應(yīng)變，即頁(yè)巖氣吸附（解吸附）過(guò)程中巖石的相對(duì)變形；εs0——壓力為p0時(shí)頁(yè)巖的吸附應(yīng)變；εL——壓力趨于無(wú)窮大時(shí)的吸附應(yīng)變；pL——Langmuir壓力，當(dāng)吸附氣含量達(dá)到最大吸附量的50%時(shí)的地層壓力，MPa；Kf——考慮巖石變形的天然裂縫滲透率，m2；Kf0——天然裂縫的初始滲透率，m2；cf——裂縫的壓縮系數(shù)，1/MPa；αB——BIOT系數(shù)，本文取值近似為1；pf——裂縫壓力，MPa；Ksf——表面擴(kuò)散表征的頁(yè)巖基質(zhì)視滲透率，m2；ζms——頁(yè)巖氣藏納米孔隙中的吸附氣修正系數(shù)；Ds——表面擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；Cs——吸附氣的質(zhì)量濃度，kg/m3；μg——地層氣體黏度，Pa·s；Mg——頁(yè)巖氣平均氣體摩爾質(zhì)量，kg/mol；φm——基質(zhì)孔隙度；τ——納米毛細(xì)管的迂曲度，無(wú)因次；rad——孔隙中心到吸附層的距離，m；rt——平均孔隙半徑，m，θ——天然氣的覆蓋率；dM——孔隙直徑，m；NA——阿伏伽德羅常數(shù)，mol-1，其值為6.022×1023；Ds0——吸附氣覆蓋率為0時(shí)的表面擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；κ——吸附氣擁塞率與遷移率之比；H(1-κ)——分段函數(shù)；T——頁(yè)巖儲(chǔ)層的溫度，K；X，Y，K——黏度表達(dá)式相關(guān)系數(shù)；μ——頁(yè)巖氣的黏度，mPa·s；ρ——頁(yè)巖氣的密度，kg/m3；Z——?dú)怏w壓縮因子；Tpr——天然氣的擬對(duì)比溫度；ppr——天然氣的擬對(duì)比壓力；R——理想氣體常數(shù)，J/(kg·mol)，取值為8.314；qad——吸附氣體積含量，kg/m3；ρr——頁(yè)巖密度，m3/kg；Vstd——標(biāo)況下頁(yè)巖氣摩爾體積，m3/mol；VL——Langmuir體積，m3/kg；Nk——Knudsen擴(kuò)散產(chǎn)生的氣體流量，kg/m3；Dkm——基質(zhì)中擴(kuò)散系數(shù)；Cm——?dú)怏w摩爾濃度，mol/m3；pm——基質(zhì)的壓力，MPa；ρm——巖石的密度，kg/m3；ck——常數(shù)，取值為1；t——模擬時(shí)間，a；Km——同時(shí)考慮頁(yè)巖氣Knudsen擴(kuò)散、表面擴(kuò)散、吸附解吸及應(yīng)力敏感的頁(yè)巖基質(zhì)滲透率，m2；μm——基質(zhì)中氣體黏度，mPa·s；Q ——基質(zhì)向裂縫的竄流量，kg/m3；Km2——考慮黏性流、Knudsen擴(kuò)散及表面擴(kuò)散的基質(zhì)滲透率，m2；Γ1——內(nèi)邊界條件；phf——水力裂縫壓力，MPa；pw——井底壓力，MPa；L——儲(chǔ)層長(zhǎng)度，m；h——儲(chǔ)層高度，m。