偏微分方程數(shù)值解法在生物持久生存中的應(yīng)用

周紅玲

(黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 駐馬店 463000)

引言

偏微分方程可以用來(lái)解釋和預(yù)見(jiàn)各種自然現(xiàn)象，在眾多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用. 但由于偏微分方程本身的復(fù)雜性，使得絕大多數(shù)偏微分方程都得不到其解析形式的解，因此，求偏微分方程的數(shù)值解同樣具有重大意義. 對(duì)于偏微分方程數(shù)值解，國(guó)內(nèi)大多數(shù)學(xué)者研究的是具有物理背景的偏微分方程的數(shù)值解法，如文獻(xiàn)[1-3]，而偏微分方程數(shù)值解法在生物周期持久生存中的應(yīng)用還較少涉及.

本文主要研究下面的偏微分方程：

(1)

1 差分格式

系統(tǒng)(1)在一個(gè)周期τ內(nèi)的向前差分格式為

2 數(shù)值模擬

為了便于數(shù)值模擬, 取種群生存區(qū)間長(zhǎng)度l=1,生長(zhǎng)周期τ=1,環(huán)境容納量r=1,初始值φ1(x)=sinπx, 其余參數(shù)取值見(jiàn)表1.

表1 參數(shù)取值

當(dāng)參數(shù)q=0.2時(shí), 利用向前差分法求解偏微分方程(1)數(shù)值解的Matlab程序如下：

clear;clc;

d=0.021; q=0.2; alpha=-0.0345;gama=1; m=8.7;a=0.2;

xa=0;xb=1;T=1;TT=10;nn=TT/T;

DeltaT=0.01;h=0.01;

N=1/DeltaT;J=(xb-xa)/h;

r=d*DeltaT/h.^2;

qq=DeltaT*q/h;

u=zeros(N+1,J+1);v=zeros(nn+1,J+1);

A1=diag((qq-r)*ones(J-2,1),1)+diag(-(r+qq)*ones(J-2,1),-1)+diag((1+2*r)*ones(J-1,1),0);

x=xa:h:xb; t=0:DeltaT:T;

u(:,1)=0;u(:,J+1)=0;

v(1,:)=7*sin(pi*x);

k=find(abs(x)>5);

v(1,k)=0;

for n=1:nn

u(1,:)=m*v(n,:) .* v(n,:)/(a+ v(n,:) .* v(n,:));

for i=1:N

bb1=u(i,2:J)+alpha*DeltaT*u(i,2:J)-gama*DeltaT*u(i,2:J).^2;

bb1([1 end])=bb1([1 end])+[-r*u(i+1,1) -r*u(i+1,J+1)];

u(i+1,2:J)=A1b1';

u(u<0)=0;

end

v(n+1,:)=u(end,:);

end

figure

tt=0:1:TT;

[X,Y]=meshgrid(x,tt);

surf(X,Y,v);

xlabel('x');

ylabel('t');

zlabel('Population density');

hold on

figure

plot(x,v)

xlabel('Control zone');

ylabel('Population density');

運(yùn)行上述程序后, 可得圖1； 當(dāng)參數(shù)q=0.35時(shí), 可得圖2；當(dāng)參數(shù)q=0.45時(shí), 可得圖3.

圖1 q=0.2 時(shí),Nn(x) 的數(shù)值模擬

圖2 q=0.35時(shí), Nn(x) 的數(shù)值模擬

圖3 q=0.45時(shí), Nn(x) 的數(shù)值模擬

3 結(jié)論

通過(guò)圖1和圖2可以發(fā)現(xiàn), 當(dāng)g(N)為Holling-III型函數(shù)時(shí), 種群數(shù)量在經(jīng)過(guò)一個(gè)周期后就基本穩(wěn)定, 這也意味著一個(gè)周期后種群可以持久生存. 比較圖1和圖2 中的右邊兩個(gè)圖可發(fā)現(xiàn), 當(dāng)介質(zhì)流速由0.2升高到0.35時(shí), 生物種群明顯向下游集中, 說(shuō)明介質(zhì)流速對(duì)種群的持久生存有顯著影響, 上述結(jié)論與文獻(xiàn)[5]中g(shù)(N)為Holling-II型和 Ricker型情況下相同. 隨著介質(zhì)流速的升高, 當(dāng)q=0.45時(shí), 從圖3 可發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)間的推移, 種群向右偏移的程度越強(qiáng), 經(jīng)過(guò)10個(gè)周期后, 種群數(shù)量基本趨近于零, 這也說(shuō)明在該介質(zhì)區(qū)域內(nèi)該種群不能持久生存, 該區(qū)域內(nèi)的生態(tài)平衡被破壞. 此外, 與文獻(xiàn)[5]中g(shù)(N)為Holling-II型的結(jié)論比較, 當(dāng)g(N)為Holling-III型函數(shù)時(shí), 種群能更快地適應(yīng)環(huán)境, 在區(qū)域內(nèi)可以持久生存(文獻(xiàn)[5]需要10個(gè)周期后, 種群數(shù)量才趨于穩(wěn)定)，但種群主要集中在后半?yún)^(qū)域, 這說(shuō)明當(dāng)g(N)為Holling-III型函數(shù)時(shí), 種群更容易受介質(zhì)流速的影響, 種群的持久存活更容易遭到介質(zhì)流動(dòng)速度的破壞.