對(duì)一道數(shù)學(xué)習(xí)題的探究

顧宣松

[摘 要]數(shù)學(xué)教學(xué)中難免會(huì)遇到一些令人棘手的問(wèn)題，這些問(wèn)題有時(shí)甚至是有爭(zhēng)議的，各種信息撲面而來(lái)，各種解法相互沖突，教師要保持冷靜、深思熟慮，用審慎嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度將問(wèn)題搞清楚，然后再用學(xué)生容易接受的方法將問(wèn)題講清楚。

[關(guān)鍵詞]習(xí)題;查閱;教輔資料;網(wǎng)絡(luò)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）14-0033-01

在一次數(shù)學(xué)綜合測(cè)試中出現(xiàn)了這樣一道幾何題：在長(zhǎng)12.4 cm、寬7.2 cm的長(zhǎng)方形卡紙上剪出一些半徑為1 cm的圓，最多能剪出多少個(gè)這樣的圓片？

許多學(xué)生認(rèn)為是“18個(gè)”，他們認(rèn)為在長(zhǎng)方形卡紙上可以切割出6[×]3，即18個(gè)邊長(zhǎng)為2 cm的正方形，而每個(gè)正方形恰好是對(duì)應(yīng)半徑為1 cm的圓形的最小外切正方形，可剪出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓，即可剪出18個(gè)圓片。還有的學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，最后算出最多可以裁剪出“28個(gè)”圓，他們先算出長(zhǎng)方形的面積12.4[×]7.2=89.28（cm2），然后求出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓的面積3.14[×]1[2]=3.14（cm2），最后用總面積除以單個(gè)圓片的面積，即89.28[÷]3.14[≈]28.43[≈]28（個(gè)）。很顯然在實(shí)際操作中，于長(zhǎng)方形卡紙上裁剪圓片，圓片與圓片之間必然會(huì)留有空隙，會(huì)有大量的、分散的邊角余料，所以得數(shù)“28個(gè)”是不符合實(shí)際的。那么，到底能剪出多少個(gè)圓片呢？筆者針對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了實(shí)踐研究和科學(xué)論證。

一、綜合參考教輔資料

査閱教師教學(xué)用書和一些權(quán)威教輔資料后發(fā)現(xiàn)，在長(zhǎng)方形卡紙上裁剪圓片，兩個(gè)圓片之間必然會(huì)留有空隙，這些空隙累計(jì)起來(lái)就是廢料，所以用長(zhǎng)方形的面積除以一個(gè)圓片的面積，得出的數(shù)據(jù)是不精確的，因此28個(gè)圓片是剪不出的?？尚械姆桨甘牵合葘㈤L(zhǎng)方形卡紙切分為邊長(zhǎng)為2 cm的正方形紙片，則可得到一行6個(gè)、一共3行的方陣，共有18個(gè)正方形，每個(gè)正方形又可以剪出一個(gè)最大內(nèi)切圓，這個(gè)內(nèi)切圓的直徑剛好就是外切正方形的邊長(zhǎng)——2厘米，這樣一算，恰好可以剪出18個(gè)圓。出于想辦法盡力減少空隙，或者巧妙利用圖形邊線的嵌合將圖形進(jìn)行密鋪的目的，可進(jìn)行如下操作：第一行排列6個(gè)圓片，第二行每個(gè)圓片都可以正好嵌入第一排兩個(gè)圓片之間，形成兩兩相切的形態(tài)，則第二行可以剪出5個(gè)圓片，盡管偶數(shù)排的圓片數(shù)量減少了1個(gè)，但是卻節(jié)省了大量空間，這樣平均算下來(lái)，每行圓片占據(jù)的垂直高度就不足2 cm（約為1.85 cm），寬為7.2 cm的長(zhǎng)方形可容納這樣交錯(cuò)嵌入的圓片4排，即6+5+6+5=22（個(gè)）。練習(xí)時(shí)，不妨先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再通過(guò)畫圖驗(yàn)證。由此可以看出，本題的正解是22個(gè)。

二、網(wǎng)絡(luò)查證與質(zhì)疑

筆者上網(wǎng)檢索，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)友也是眾說(shuō)紛紜，各執(zhí)己見。筆者在原有舊方案的基礎(chǔ)上，又得出一個(gè)新的方案。如圖1所示，AB=1，AC=2，△ABC是直角三角形，于是求得BC=[3]。長(zhǎng)度分配上1+6[×][3]+1=12.3923<12.4，可以排下7列;在寬度分配上，2[×]3+1=7<7.2，每列3個(gè)，共可剪出圓片3[×]7=21（個(gè)）。

到底能不能剪出22個(gè)圓片呢？筆者決定動(dòng)手試一試，先畫一個(gè)長(zhǎng)12.4 cm、寬7.2 cm的長(zhǎng)方形，剪出幾個(gè)半徑是1 cm的圓片，可是一旦用力擠壓圓片，圓片就會(huì)變形，影響測(cè)量，而且操作起來(lái)非常麻煩。對(duì)此，筆者用五角錢硬幣來(lái)代替。筆者將22枚五角錢硬幣按“6+5+6+5”進(jìn)行拼擺，但擺來(lái)擺去，有幾枚硬幣總是超出邊線1～2 mm的距離。無(wú)論怎么調(diào)整位置，都無(wú)法消除這個(gè)尺寸差距，筆者不敢斷言一定能擺下22枚硬幣。此時(shí)筆者深感疑惑：是畫出的長(zhǎng)方形尺碼不夠標(biāo)準(zhǔn)，還是測(cè)量工具有誤差，抑或是硬幣變形了？

三、實(shí)踐操作驗(yàn)證

真相究竟如何呢？為了查明真相，筆者著手畫圖分析，試圖從幾何學(xué)的角度將問(wèn)題搞清楚。筆者規(guī)規(guī)矩矩地畫了22個(gè)圓并連接頂層和底層三個(gè)圓的圓心，組成一個(gè)正三角形ABC，它的每條邊剛好是兩條半徑和兩條直徑連接而成（如圖2所示），于是有AB=AC=BC=6 cm，由點(diǎn)A作邊BC的高AD，根據(jù)三角函數(shù)或者勾股定理可以得出AD=[62-32]=[27][≈]5.196。從長(zhǎng)度上進(jìn)行分配，可擺放6列，6[×]2<12.4;從寬度上分配，減去正三角形的高度后，上、下各剩下一個(gè)半徑的間距，于是上、下總高度為1+5.196+1=7.196<7.2，由此可以判斷能剪出22個(gè)圓片。

回顧整個(gè)解題過(guò)程，筆者先在參閱資料時(shí)產(chǎn)生了一些獨(dú)特的見解;接著通過(guò)各種渠道，進(jìn)一步深入研究;然后利用操作實(shí)驗(yàn)小心求證;最后成功地找到正確答案。在一步步的探索與求證中，“真相”終于浮出水面。

（責(zé)編 黃春香）