借助操作，深化“轉(zhuǎn)化”思想

毛亞峰

[摘 要]學(xué)生在學(xué)習(xí)圓的面積之前，已經(jīng)積累了一定的推導(dǎo)面積計(jì)算公式的經(jīng)驗(yàn)。針對(duì)推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式時(shí)存在的轉(zhuǎn)化方法單一的現(xiàn)象，在推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式時(shí)，教師要給予學(xué)生足夠的時(shí)間與空間，引導(dǎo)學(xué)生積極、主動(dòng)地進(jìn)行探究，進(jìn)一步感悟“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，從而促進(jìn)探究能力的發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]操作;轉(zhuǎn)化;相異構(gòu)想;圓的面積

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）14-0019-03

一、緣起

“圓的面積”是小學(xué)階段學(xué)習(xí)的最后一個(gè)平面圖形的面積，在此之前，學(xué)生已經(jīng)積累了一定的學(xué)習(xí)平面圖形面積的經(jīng)驗(yàn)，特別是對(duì)“轉(zhuǎn)化”的思想方法有了初步的認(rèn)識(shí)和理解?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：通過操作，了解圓的周長(zhǎng)與直徑的比為定值，掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)公式;探索并掌握?qǐng)A的面積公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。可見，在學(xué)習(xí)圓的周長(zhǎng)和面積時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生自主地進(jìn)行“探索”。

當(dāng)前的教學(xué)中，對(duì)圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，存在以下三種現(xiàn)象：1.教師操作代替學(xué)生操作。不少教師為了節(jié)約時(shí)間，在推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式時(shí)，直接借助教具演示和講解圓的面積計(jì)算公式。2.課件演示代替學(xué)生思考。有些教師沒有實(shí)物操作，直接在課件動(dòng)態(tài)演示的基礎(chǔ)上通過歸納和比較得出圓的面積計(jì)算公式。3.推導(dǎo)方式單一。由于受教材的限制，學(xué)生在推導(dǎo)時(shí)都把圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形。

可見，學(xué)生在探究圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程中，缺乏主動(dòng)性——要么沒有真切的經(jīng)驗(yàn)積累，要么操作方式單一，“走走過場(chǎng)”;教師把主要的時(shí)間花在了讓學(xué)生應(yīng)用公式計(jì)算圓的面積，進(jìn)而熟記計(jì)算公式上。這樣的教學(xué)方式帶有鮮明的“應(yīng)試”烙印，學(xué)生的主動(dòng)性、創(chuàng)造性和創(chuàng)新性根本得不到培養(yǎng)和發(fā)展，長(zhǎng)此以往，將會(huì)使學(xué)生的思維僵化，不利于學(xué)生個(gè)性化的發(fā)展。

二、對(duì)學(xué)生相異構(gòu)想的評(píng)估

1.實(shí)施前測(cè)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果（前測(cè)數(shù)：47人;前測(cè)方法：訪談法、觀察法）

第一題：圓的面積指什么？請(qǐng)你指一指。（提供一個(gè)標(biāo)有圓心的圓形紙片）

第二題：這個(gè)圓的面積有多大？你會(huì)解決嗎？（提供筆、尺、紙、剪刀）

對(duì)于回答“會(huì)的”37名學(xué)生再給出三個(gè)問題：

追問一：怎么解決的？請(qǐng)你試一試。（提供半徑為3厘米的圓形紙片）

追問二：你是怎么知道計(jì)算圓的面積計(jì)算方法的？

追問三：你能推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式嗎？試一試。

2.分析學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)

（1）基礎(chǔ)知識(shí)：在完全理解圓的面積的意義的基礎(chǔ)上，有72.4%的學(xué)生能通過測(cè)量、計(jì)算得出圓的面積，說明他們已初步掌握?qǐng)A的面積的計(jì)算方法。

（2）基本技能：有51.1%的學(xué)生能通過剪拼成近似的長(zhǎng)方形（或平行四邊形）推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式;有18.3%的學(xué)生會(huì)計(jì)算圓的面積，不會(huì)推導(dǎo)計(jì)算公式。

（3）基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：課外輔導(dǎo)班對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)影響深遠(yuǎn)，但僅限于把圓轉(zhuǎn)化成近似的長(zhǎng)方形或平行四邊形來推導(dǎo)，轉(zhuǎn)化方式比較單一。

（4）基本的思想方法：63.7%的學(xué)生已基本形成“轉(zhuǎn)化”的思想方法，但仍有36.3%的學(xué)生沒有想到可通過“轉(zhuǎn)化”進(jìn)行推導(dǎo)。

3.基于上述分析，評(píng)估學(xué)生的相異構(gòu)想

相異構(gòu)想1：“轉(zhuǎn)化”的思想方法沒有完全形成。

調(diào)整策略——通過回顧平行四邊形、三角形和梯形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，喚醒“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn)，并利用這一經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行圓的面積的計(jì)算公式推導(dǎo)，進(jìn)一步理解、鞏固“轉(zhuǎn)化”的思想方法。

相異構(gòu)想2：轉(zhuǎn)化方法單一。

調(diào)整策略——引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷把圓形紙片剪、拼成不同的圖形來推導(dǎo)面積計(jì)算公式的過程，感悟推導(dǎo)方法的多樣性，發(fā)展推理能力。

三、教學(xué)實(shí)踐

學(xué)具準(zhǔn)備：每人一把剪刀、2個(gè)圓形紙片。

【片段1】基本操作——把圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形（或長(zhǎng)方形）

師：我們一起來回顧，在推導(dǎo)平面圖形面積計(jì)算公式時(shí)，用的是什么方法？請(qǐng)舉例說明。（課件展示推導(dǎo)平面圖形面積計(jì)算公式時(shí)的“轉(zhuǎn)化”方法）能不能用這種方法推導(dǎo)圓的面積的計(jì)算公式呢？先想一想準(zhǔn)備怎么轉(zhuǎn)化，再動(dòng)手試一試。（有一半左右的學(xué)生會(huì)操作）

師：操作成功了嗎？請(qǐng)說說你的想法。

生1：我先把這個(gè)圓形紙片平均分成8份，這8份可以拼成一個(gè)平行四邊形（如圖1）。

師：這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的平行四邊形嗎？

生1：不是的，它是一個(gè)近似的平行四邊形。

師：還有誰(shuí)也是把圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形？（大多數(shù)學(xué)生都舉起了手）

師（出示圖2）：這是幾個(gè)同學(xué)“轉(zhuǎn)化”的結(jié)果，我們一起來看看。

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：看上去越來越像平行四邊形了。

師：請(qǐng)想象一下，如果平均分的份數(shù)越來越多，它就——

生（齊）：越來越像平行四邊形。

師：你們?yōu)槭裁聪氲揭褕A轉(zhuǎn)化成平行四邊形呢？

生3：這樣就可以推導(dǎo)圓的面積的計(jì)算公式了，我還畫了圖（如圖3）。平行四邊形的底正好是圓的周長(zhǎng)的一半，高就是半徑，平行四邊形的面積計(jì)算公式是底乘高，那圓的面積就是πr2。

生4：平均分的份數(shù)越多，也越來越像長(zhǎng)方形了。

師：通過剛才的研究，把圓轉(zhuǎn)化成了近似的平行四邊形或長(zhǎng)方形，就可以推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式是S=πr2。

【片段2】拓展性操作——把圓轉(zhuǎn)化成三角形和梯形

師：還有沒有不同的推導(dǎo)方法？（沒有學(xué)生回應(yīng)）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些圖形的面積計(jì)算方法？（板書：長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形）我們已經(jīng)成功地把圓轉(zhuǎn)化成了平行四邊形和長(zhǎng)方形來推導(dǎo)面積計(jì)算公式，可不可以將圓轉(zhuǎn)化成其他圖形呢？請(qǐng)?jiān)囈辉嚒?/p>

學(xué)生介紹：

師：圓不但能轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長(zhǎng)方形，也能轉(zhuǎn)化成梯形和三角形。那有沒有成功轉(zhuǎn)化成正方形的？

生1：我做到了。（如圖5）

生2：你轉(zhuǎn)化的圖形看上去有點(diǎn)像正方形，但不是正方形。你這個(gè)圖形下面的底是圓周長(zhǎng)的[14]，可以用[12]πr表示，高是2r，[12]πr和2r是不相等的，所以不是正方形。

生1：確實(shí)不是正方形。

生3：我拼成的是三角形，我的同桌拼成的是梯形。但我卻拼不成梯形，他也拼不成三角形，這是怎么回事？

師：一起展示你們的作品，我們來看看。（兩人把圓分別進(jìn)行 8等分和9等分。）

生4：他們平均分的份數(shù)不一樣，就會(huì)影響拼的結(jié)果。

師：看樣子要拼成梯形或三角形，對(duì)平均分的份數(shù)是有要求的。有什么要求呢？請(qǐng)你們課后繼續(xù)研究?，F(xiàn)在思考一下，對(duì)拼成平行四邊形或長(zhǎng)方形有份數(shù)要求嗎？

生（齊）：沒有！

師：我們已經(jīng)成功地把圓轉(zhuǎn)化成了三角形或梯形，請(qǐng)把轉(zhuǎn)化的結(jié)果用草圖的形式畫下來，并寫出推導(dǎo)過程。

【片段3】創(chuàng)造性操作——選取部分轉(zhuǎn)化、推導(dǎo)

師：大家真的很會(huì)想辦法，能把圓轉(zhuǎn)化成不同的圖形后推導(dǎo)出圓的面積的計(jì)算公式……

生1：我還有不同的方法。我把圓邊平均分成了8份，我只取了1份，它是一個(gè)近似的三角形，底是圓周長(zhǎng)的[18]，高是半徑r，根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法可以知道它的面積是[18]πr2，因?yàn)橛?份，再乘8就是πr2了。（如圖6）

師：你真厲害！只用了圓的一部分就推導(dǎo)出圓的面積的計(jì)算公式了！

生2：我也有跟他差不多的方法。我在將圓八等分后取了其中的4塊，這樣可以拼成一個(gè)近似的三角形，也能推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式。（如圖7）

四、思考

一節(jié)圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)課在學(xué)生意猶未盡的操作中結(jié)束了，不少學(xué)生還沉浸在推導(dǎo)的過程中，仿佛都忘卻了時(shí)間，只有不停地探索、驗(yàn)證?！稗D(zhuǎn)化”的思想在操作中得以深化。這節(jié)課，引發(fā)了我諸多思考。

思考一：要相信學(xué)生具有主動(dòng)探究的能力。

學(xué)生的探究活動(dòng)是建立在一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程可用圖8表示：

小學(xué)六年級(jí)的學(xué)生，已經(jīng)具備了主動(dòng)探究的能力（結(jié)合前測(cè)分析可知），特別是對(duì)“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想，已有一定的感悟，但還不穩(wěn)定。此外，不少學(xué)生已通過多種渠道學(xué)習(xí)了圓的面積的計(jì)算方法，但存在兩個(gè)問題：一是重計(jì)算輕操作;二是操作、推導(dǎo)方法單一，只會(huì)把圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長(zhǎng)方形后再推導(dǎo)。為此，在教學(xué)中，我在所有學(xué)生掌握了基本的推導(dǎo)方法后，引導(dǎo)學(xué)生思考“可不可以轉(zhuǎn)化成其他圖形進(jìn)行推導(dǎo)？”。學(xué)生通過思考、嘗試，“驚喜”地發(fā)現(xiàn)：能轉(zhuǎn)化成三角形、梯形后進(jìn)行推導(dǎo)。對(duì)他們來說，這是他們自己發(fā)現(xiàn)的，特別有成就感，探究的興趣就更濃了。難怪下課后，有學(xué)生說：“這節(jié)課過得真快啊！”

思考二：要給予學(xué)生足夠的探究時(shí)空。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程。反觀日常教學(xué)，很多教師往往為了趕進(jìn)度而大大縮短操作探究的時(shí)間，即使課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)“四基”，但實(shí)際的教學(xué)中還是以“雙基”作為教學(xué)目標(biāo)。這樣將導(dǎo)致學(xué)生操作經(jīng)驗(yàn)匱乏，探究能力和推理能力得不到提升，不利于學(xué)生的后續(xù)發(fā)展。在上述課例中，我根據(jù)實(shí)際情況，只以“探究圓的面積的計(jì)算公式”為學(xué)習(xí)目標(biāo)，給予學(xué)生足夠的時(shí)間與空間——50分鐘，引導(dǎo)他們經(jīng)歷了三個(gè)層次的探究。由于時(shí)間充足，學(xué)生一邊思考，一邊嘗試，有諸多發(fā)現(xiàn)：為什么有些不能轉(zhuǎn)化成三角形或梯形？為什么不能轉(zhuǎn)化成正方形？……這是他們操作、觀察后感悟的結(jié)果。這樣，在推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式的同時(shí)，他們的探究能力得到了提升，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得到了豐富。

思考三：要把數(shù)學(xué)思想的滲透與活動(dòng)結(jié)合起來。

數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果;是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，具有抽象性、內(nèi)隱性?？梢姡瑪?shù)學(xué)思想不能灌輸，需要滲透，要與具體的活動(dòng)結(jié)合起來，使得學(xué)生能在活動(dòng)過程中感知和感悟，并逐步構(gòu)建。在“圓的面積”一課中，主要呈現(xiàn)兩個(gè)數(shù)學(xué)思想：極限思想與轉(zhuǎn)化思想。

極限思想的滲透。極限思想需要以直觀的實(shí)物為觀察對(duì)象，并借助想象加以理解。學(xué)生通過觀察把圓平均分成4份、8份、12份、16份、32份后拼成的近似的平行四邊形后，能夠發(fā)現(xiàn)“分的份數(shù)越多，越接近平行四邊形”。此時(shí)教師再引導(dǎo)學(xué)生想象：“如果一直這樣分下去會(huì)怎樣？”學(xué)生立足直觀、借助想象，很容易就感悟到極限思想。

轉(zhuǎn)化思想的滲透?！稗D(zhuǎn)化”不但是重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種非常有效的學(xué)習(xí)方法。在此之前，學(xué)生在學(xué)習(xí)平面圖形的面積、理解小數(shù)乘除法的算理時(shí)，已多次感悟了這一思想。在本課中，學(xué)生借助操作和經(jīng)驗(yàn)，不但順利地把圓轉(zhuǎn)化成了已學(xué)過的平面圖形，成功地進(jìn)行了面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，還“創(chuàng)造性”地選取圓的一部分進(jìn)行推導(dǎo)，這是他們對(duì)“轉(zhuǎn)化”思想的理解達(dá)到一定高度的結(jié)果。

（責(zé)編 金 鈴）