基于問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)化教學(xué)的實(shí)踐與思考

[摘 要]問題驅(qū)動以提好問題為前提，方式有以大帶小、以點(diǎn)帶面、以實(shí)帶虛等?；趩栴}驅(qū)動的數(shù)學(xué)化教學(xué)，是從“準(zhǔn)點(diǎn)的時刻表”過渡到“外出的指南針”，是從“一成不變的傳遞”轉(zhuǎn)變成“個性表達(dá)與共性建構(gòu)的相映生輝”，是從“深入剖析的鞏固新知”漸進(jìn)為“自我反思的感悟提升”。教學(xué)應(yīng)以凝練和實(shí)施教學(xué)設(shè)計(jì)為抓手，做到問題情境注重?cái)?shù)學(xué)含量，過程經(jīng)歷指向模型建構(gòu)，思維訓(xùn)練遵循發(fā)展規(guī)律，最終，理論與實(shí)踐辯證統(tǒng)一，共同作用促使教學(xué)相長。

[關(guān)鍵詞]問題驅(qū)動;數(shù)學(xué)化;教學(xué)實(shí)踐;教學(xué)設(shè)計(jì)

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0001-03

課改，就是改課，而要想改變課堂中教與學(xué)的行走方式，首先就要改變我們教師的思想。邂逅“數(shù)學(xué)化”思想，源于《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》這本書，這一思想是荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾首次提出的。簡單來說，數(shù)學(xué)化就是“數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過程”。隨著研究的不斷深入，“數(shù)學(xué)化”教學(xué)的實(shí)施前提應(yīng)時而變，即從“生態(tài)課堂”到“有效經(jīng)歷”，再到現(xiàn)在的“問題驅(qū)動”，越來越聚焦教學(xué)本質(zhì)，接地氣且方便操作。“思變則通，通則生智?！痹凇盎趩栴}驅(qū)動的數(shù)學(xué)化教學(xué)”的主張下，教學(xué)行為悄然改變，教學(xué)效果明顯改善。

一、問題驅(qū)動：以“提好問題”為前提

要想教得好，需要問得巧。這里的“巧”至少包含兩個層面：首先是弄清楚教學(xué)內(nèi)容，把準(zhǔn)知識性的核心問題，梳理思維性的基本問題，即確認(rèn)“教什么”;其次是對教學(xué)內(nèi)容的再加工，使問題產(chǎn)生最大效益，即確認(rèn)“如何教”。也就是說，“問得巧”既要能“提出好的數(shù)學(xué)問題”，還要能用這些“啟發(fā)性的、本原性的、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)的、在教學(xué)中起統(tǒng)領(lǐng)作用的問題”驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)。

1.整合情境，以大帶小

例題承載著碎片化的知識，“一步一景”催生“一題一得”。 “順利地教”并不一定能實(shí)現(xiàn)“有效地學(xué)”。教師的“關(guān)懷備至”，往往是“牽引”過度，學(xué)生的“即時回答”，很多時候只是“思考簡單”，這些直接導(dǎo)致學(xué)生失去自主探究和自由發(fā)展的可能。這種境界較低、格局較小的教學(xué)，我們稱之為“小問題”教學(xué)?！按髥栴}”的“大”主要涉及這四個方面：學(xué)科本身的大問題;教學(xué)方式的大問題;教學(xué)行為背后的教育大問題;學(xué)科發(fā)展性傾向的大問題。這四個方面只有和諧統(tǒng)一，才能共同服務(wù)于學(xué)生思維的發(fā)展。

以“認(rèn)識負(fù)數(shù)” 的教學(xué)為例，可設(shè)計(jì)“大問題”：“用合適的方式把你知道的負(fù)數(shù)表示出來?！薄柏?fù)數(shù)的意義是什么？”“怎樣在數(shù)軸上表示負(fù)數(shù)？”……以驅(qū)動數(shù)學(xué)化教學(xué)。首先，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)用已有的經(jīng)驗(yàn)理解問題，并掌握正負(fù)數(shù)的讀法和寫法;接著，梳理創(chuàng)造負(fù)數(shù)的途徑，即“人為創(chuàng)造”和“生活約定”，并在不同中找相同，發(fā)現(xiàn)“相反意義”的數(shù)量可以用負(fù)數(shù)表示，觸摸負(fù)數(shù)的本質(zhì);最后，在將負(fù)數(shù)與正整數(shù)的對比中，確認(rèn)負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置，豐富數(shù)的認(rèn)知。顯然，整合情境后的“以大帶小”，能夠助推學(xué)生建構(gòu)知識和拔節(jié)生長。

2.統(tǒng)攝全局，以點(diǎn)帶面

有些數(shù)學(xué)知識板塊特征明顯，學(xué)生思考和解決問題的過程“異構(gòu)同質(zhì)”。對于這種屬性的知識，教師可以從“點(diǎn)”入手，深入挖掘，并以此統(tǒng)攝全局，過渡到“面”。因?yàn)檎n堂教學(xué)時間有限，教師很難做到“面面俱到”，而通過聚焦典型例子，能夠?qū)⒊橄蟮乃伎寄Ｐ晚樌w移到不同的情境中，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生“一通百通”。

以“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”的教學(xué)為例，可緊扣“不變量思想和等量代換”的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，設(shè)計(jì)完整的“智慧鏈”來統(tǒng)攝教學(xué)全局：“是怎樣轉(zhuǎn)化的 ？（外觀其形） ”“為什么可以這樣轉(zhuǎn)化？ （內(nèi)辨其理） ”“一定是這樣轉(zhuǎn)化嗎 ？（內(nèi)外平衡拓其思） ”在具體實(shí)施時，引導(dǎo)學(xué)生聚焦“曹沖稱象”，提煉等量轉(zhuǎn)化，感知轉(zhuǎn)化的思考路徑;聚焦“面積比較”，提煉等面積轉(zhuǎn)化，掌握轉(zhuǎn)化的方向和方法;聚焦“整理回顧”，提煉“等周長”轉(zhuǎn)化、“等計(jì)算結(jié)果”轉(zhuǎn)化等，內(nèi)化轉(zhuǎn)化生智的模型和價值。顯然，問題情境在變化，但是驅(qū)動教學(xué)的“動點(diǎn)”沒有改變，因?yàn)檫@個“動點(diǎn)”能反映典型問題，能直達(dá)轉(zhuǎn)化本質(zhì)，還能演繹智慧路徑。

3.貫通前后，以實(shí)帶虛

教師既要“務(wù)實(shí)地教”，還要引導(dǎo)學(xué)生“務(wù)虛地學(xué)”。這里的“務(wù)虛”是指“從具體實(shí)際出發(fā)，又要離開感性的具體，舍棄具體事物的特殊性，抽象出事物的普遍本質(zhì)和一般規(guī)律”。顯然，只有“務(wù)實(shí)”地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“關(guān)鍵步子”，才能引發(fā)學(xué)生“務(wù)虛”地體驗(yàn)和感悟，形成必要的、能帶走的“關(guān)鍵能力”。

以“認(rèn)識面積”的教學(xué)為例，教師通過“定標(biāo)準(zhǔn)、去測量、得結(jié)果”三個板塊，驅(qū)動學(xué)生主動建構(gòu)面積的概念。首先，用操作活動引發(fā)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感知表征的豐富性和結(jié)果的不確定性，產(chǎn)生統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的需求;接著，引導(dǎo)學(xué)生嘗試使用“標(biāo)準(zhǔn)”初步測量面積，體會“面積”其本質(zhì)上是“面”的積累，從而感知面的大小與數(shù)出的結(jié)果之間的對應(yīng)關(guān)系;最后，鎖定“標(biāo)準(zhǔn)大小”和“數(shù)量多少”這兩個關(guān)鍵因素，解決相關(guān)的實(shí)際問題。教學(xué)中還要引導(dǎo)學(xué)生將面積與長度、時間和質(zhì)量等計(jì)量單位放在一起觀察、對比和感悟，明確凡是計(jì)量多少的需要，都要經(jīng)歷“三個階段”和鎖定“兩個關(guān)鍵”。顯然，這樣的問題架構(gòu)，有助于實(shí)現(xiàn)“虛實(shí)相生”，并且“生生不息”。

二、數(shù)學(xué)化：以“和諧共生”為核心

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)化有兩種，一類是橫向數(shù)學(xué)化，即把生活世界引向符號世界;另一類是縱向數(shù)學(xué)化，即在符號世界里，符號生成、重塑和被使用。換句話說，前者將生活引向數(shù)學(xué)，“生活味”濃一些，后者是數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展，“數(shù)學(xué)味”濃一些。相對而言，小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，兩種味道應(yīng)兼而有之，并且能因需側(cè)重、和諧共生。

1.起點(diǎn)和諧：生活問題或數(shù)學(xué)問題

數(shù)學(xué)化注重“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程”，即要想成功實(shí)施數(shù)學(xué)化，只有考慮了學(xué)生的基礎(chǔ)，后續(xù)的組織、抽象和建模才具有針對性和實(shí)效性。這里的學(xué)生基礎(chǔ)有“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”和“生活基礎(chǔ)”之分。“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”與學(xué)生受教育的程度有關(guān)，主要是通過學(xué)習(xí)已經(jīng)獲得的知識技能、思考方法和數(shù)學(xué)思想等。“生活基礎(chǔ)”與學(xué)生生活的環(huán)境質(zhì)量有關(guān)，主要是指學(xué)生在生活世界里沉淀的經(jīng)驗(yàn)、技能和價值觀等，盡管這些經(jīng)驗(yàn)不深刻，技能不精湛，價值觀也不穩(wěn)定，但作為“等待發(fā)掘的礦藏”，不可小覷，更不能忽視。因此，數(shù)學(xué)化的起點(diǎn)既可以是生活問題，也可以是數(shù)學(xué)問題，還可以是兩者的優(yōu)化組合。進(jìn)一步說，只要貼近學(xué)生生活實(shí)際，能夠引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突、激發(fā)學(xué)生積極參與、有利于學(xué)生發(fā)展的問題，都可以作為數(shù)學(xué)化的起點(diǎn)。

2.過程和諧：觀察比較或需求創(chuàng)造

弗賴登塔爾提倡“再創(chuàng)造”，希望學(xué)生能像數(shù)學(xué)家一樣思考，能將知識“從無到有”地創(chuàng)造出來，實(shí)現(xiàn)有效的數(shù)學(xué)化。因?yàn)橹R的屬性不同，所以“再創(chuàng)造”的路徑也就有了差異。比如“長方體的體積”，這個知識點(diǎn)反映的是體積大小與長方體內(nèi)部元素（長、寬和高的長度）之間相互依賴與制約的關(guān)系，其基本屬性是對客觀規(guī)律的描述，知識是“確定的”。認(rèn)識這種知識的基本方法是“發(fā)現(xiàn)”，也就是通過觀察并比較諸多不同對象，從中發(fā)現(xiàn)共性，這樣的共性就成為具有一定普遍意義的規(guī)律。又如“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”，就是源于語言表達(dá)、量的測量和數(shù)的運(yùn)算三方面的需要而被發(fā)明出來的，什么樣子都有可能，知識是“不確定的”。像這一類知識，其本質(zhì)屬性是人的“發(fā)明”，通常是因人的主觀“需求”而出現(xiàn)的。顯然，發(fā)現(xiàn)的過程核心環(huán)節(jié)是“觀察與比較”，發(fā)明的過程重在“需求與創(chuàng)造”。因此，在踐行“再創(chuàng)造”的理念時，不能空喊口號，不能以偏概全，而要實(shí)事求是地研究知識屬性、選擇合適路徑。畢竟只有合適的，才是最好的。

3.終點(diǎn)和諧：引向生活或引向數(shù)學(xué)

終點(diǎn)只是為了休整，目的是更好地再次出發(fā)。但有一點(diǎn)可以肯定：“學(xué)以致用”不能止步于練習(xí)題，這樣的“終點(diǎn)”行為只是遷移模仿、機(jī)械復(fù)制，而且沒完沒了，極易“終結(jié)”學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。從聯(lián)系的角度看，起點(diǎn)和終點(diǎn)本身就是認(rèn)知回路的重要節(jié)點(diǎn)，看似外在分離，其實(shí)內(nèi)在統(tǒng)一，因此，數(shù)學(xué)化終點(diǎn)也可以引向生活或引向數(shù)學(xué)。比如“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”，最后將轉(zhuǎn)化策略引向生活，創(chuàng)造出“司馬光砸缸”（人離開水→水離開人）、埃舍爾鑲嵌圖形 （簡單圖形→藝術(shù)作品，引導(dǎo)學(xué)生感知轉(zhuǎn)化的魅力和價值，培養(yǎng)學(xué)生自覺地把數(shù)學(xué)應(yīng)用于日常生活的態(tài)度）、哥尼斯堡七橋問題 （生活問題→數(shù)學(xué)模型）……又如“平行四邊形的面積”，設(shè)置“通過轉(zhuǎn)化成規(guī)則的長方形，順利解決了平行四邊形的面積計(jì)算，那么要計(jì)算三角形的面積又該如何轉(zhuǎn)化呢？兩者面積計(jì)算之間有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢？”問題，激發(fā)學(xué)生探究的欲望和興趣，引導(dǎo)學(xué)生感受知識的關(guān)聯(lián)性和差異性。當(dāng)然，引向哪里并不絕對，主要考量是否能夠助推學(xué)生有所思、有所悟和有所得，這才是和諧共生的關(guān)鍵。

顯然，現(xiàn)實(shí)的教學(xué)需要兩種數(shù)學(xué)化動態(tài)平衡和辯證統(tǒng)一。尤其是“當(dāng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識儲備不足時，‘生活味是學(xué)生理解和掌握知識的‘調(diào)味劑;當(dāng)學(xué)生已經(jīng)儲備了足夠的基礎(chǔ)知識，能夠用數(shù)學(xué)的思維來理解和掌握數(shù)學(xué)知識時，‘生活味就要淡一點(diǎn)”。 換句話說，只有兩種數(shù)學(xué)化結(jié)伴而行、共同作用，才能幫助學(xué)生有效“經(jīng)歷”。但是，我們也要清醒地認(rèn)識到，隨著年級的增長，“數(shù)學(xué)味”會逐漸濃于“生活味”，這是數(shù)學(xué)學(xué)科的特質(zhì)所決定的，也是對生活數(shù)學(xué)化的回歸和超越。

三、教學(xué)實(shí)踐：以“教學(xué)設(shè)計(jì)”為抓手

好的問題，能為思維搭建“腳手架”，為教學(xué)制訂“路線圖”。這要求教師能夠把握教材、整合情境和提煉知識，屬于“靜態(tài)規(guī)劃”。但是，教學(xué)還要以“好問題”為引領(lǐng)，實(shí)施有效的數(shù)學(xué)化，屬于“動態(tài)經(jīng)歷”。而教學(xué)實(shí)踐則需要動靜結(jié)合，并最終凝練成教學(xué)設(shè)計(jì)，觀照教育教學(xué)的現(xiàn)場。

1.問題情境注重?cái)?shù)學(xué)含量

無論是生活的問題情境，還是數(shù)學(xué)的問題情境，它們的作用主要是激發(fā)興趣、引發(fā)困惑和觸發(fā)思考，它們恰似肥沃的土壤，為數(shù)學(xué)問題的生長提供了良好的環(huán)境。對于一節(jié)課而言，問題的情境可以不一樣，但是從情境中提煉出來的“數(shù)學(xué)”是一樣的，情境創(chuàng)設(shè)服務(wù)于問題生成，這個功能和作用不能本末倒置。如教學(xué)“可能性”時，可設(shè)計(jì)“摸球”和“摸撲克牌”的問題情境，游戲中摸什么不是重點(diǎn)，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生感知“確定事件”和“不確定事件”，會用“可能”“一定”和“不可能”來描述概率事件，并且基于問題情境中數(shù)量的多少，把握可能性大小的本質(zhì)。

2.過程經(jīng)歷指向模型建構(gòu)

過程經(jīng)歷的豐富性是為了建構(gòu)模型的深刻性。精密的傳授，往往導(dǎo)致學(xué)生“努力說服自己從教學(xué)中獲得特定的知識與技能，盡量控制大腦（個性的）去適應(yīng)教師‘精心準(zhǔn)備的問題情境，去尋求與教師一致的理解”，看起來快捷和高效，其實(shí)被動和無趣。比如“認(rèn)識分?jǐn)?shù)的初步”，首先創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造分?jǐn)?shù)的內(nèi)需，然后引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷生態(tài)的表征問題的過程，通過對比、歸納，抽象出分?jǐn)?shù)的模型。雖然學(xué)生的“再創(chuàng)造”相對粗糙，但這是最真實(shí)的存在。教學(xué)要做的是捕捉學(xué)生表達(dá)中蘊(yùn)含的關(guān)鍵信息，逐步將“個性表達(dá)”提煉成“共性建構(gòu)”。顯然，這樣的學(xué)習(xí)立足學(xué)生實(shí)際，過程有溫度又不失深度。當(dāng)然，在這個過程中，教師要精準(zhǔn)指導(dǎo)、合理調(diào)控和有序推進(jìn)，可以放手，但絕不能放任。

3.思維訓(xùn)練遵循發(fā)展階段性

顧泠沅教授認(rèn)為，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化一般要經(jīng)歷三個階段，即實(shí)物操作、表象操作和符號操作。表象操作作為中間環(huán)節(jié)，助推實(shí)物操作順勢過渡到符號操作，以突破形式化的難關(guān)。與此對應(yīng)，三種階段還匹配三種數(shù)學(xué)思維，即直覺思維、表象思維、邏輯思維，以適應(yīng)各個階段的需要。比如“9加幾的進(jìn)位加”，可創(chuàng)設(shè)數(shù)蘋果的情境，先讓學(xué)生用自己的方式，一個一個地?cái)?shù)，或者從9往后數(shù)，這屬于直覺的思考;接著，引導(dǎo)學(xué)生觀察盒子的特點(diǎn)（每盒放10個），催生學(xué)生拆分和合并的需求，得到9+1=10和10+3=13，并通過對比發(fā)現(xiàn)“湊整十”的優(yōu)勢;然后，脫離具體實(shí)物，通過圈畫圖形，遷移知識，進(jìn)入對表象的思考;最后，脫離圖形，順利運(yùn)用“湊十法”計(jì)算，實(shí)現(xiàn)“9加幾的進(jìn)位加”的形式化。當(dāng)然，在有序推進(jìn)的過程中，如果后一階段難以突破，仍舊可以回頭，從較低思維層次入手，以幫助學(xué)生理解和建構(gòu)。

綜上所述，相比傳統(tǒng)教學(xué)，基于問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)化教學(xué)，是從“準(zhǔn)點(diǎn)的時刻表”過渡到“外出的指南針”，是從“一成不變的傳遞”轉(zhuǎn)變成“個性表達(dá)與共性建構(gòu)的相映生輝”，是從“深入剖析的鞏固新知”漸進(jìn)為“自我反思的感悟提升”。也就是說，教學(xué)不再是簡單地解決問題，而是借助問題解決驅(qū)動“再創(chuàng)造”過程，以體驗(yàn)的豐富助推建構(gòu)的深刻，使學(xué)習(xí)變得有生長、有意思和有道理，最終實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 黃愛華，張文質(zhì). 大問題“教學(xué)的形與神” [M].南京：江蘇教育出版社，2013.

[2] 丁洪，洪薈春.緊扣問題本質(zhì)，驅(qū)動自主建構(gòu)：“解決問題的策略 （轉(zhuǎn)化） ”磨課實(shí)踐與思考[J].小學(xué)教學(xué)參考，2018（20）：13-15.

[3] 弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[4] 郜舒竹.小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

[本文系南通市“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃2016年度青年專項(xiàng)課題“基于問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)化過程的研究”階段性成果（課題編號：QN2016012）。]

（責(zé)編 童 夏）