淺談初中幾何中的60°

廣東省中山市第一中學(xué) 張曉會(huì)

幾何題要求學(xué)生具有較強(qiáng)的綜合運(yùn)用能力、邏輯推理能力和計(jì)算能力，因此不少中學(xué)生對(duì)此是“心有余而力不足”。對(duì)于幾何題切入點(diǎn)的選取，則直接關(guān)系到解題能否順利進(jìn)行下去。對(duì)于幾何題中的“60°”這一條件相信大家都不陌生，本文將就這一條件的應(yīng)用做出一點(diǎn)小小的歸納，下面進(jìn)行舉例說(shuō)明。

一、利用60°解直角三角形

例1 如圖1，圓內(nèi)接四邊形ABCD中∠A=60°，∠B=90°，AD=3，CD=2，求BC的長(zhǎng)。

圖1

解：如圖1，延長(zhǎng)AB和DC交于點(diǎn)E，

∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∠B=90°，∴∠D=180°-∠B=90°，

∵∠A=60°，∴∠E=30°，

二、利用60°構(gòu)造等邊三角形

1.60°結(jié)合旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形

例2 如圖2，已知等邊三角形ABC，點(diǎn)P在三角形內(nèi)部，已知PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB。

圖2

解：把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCQ，連接PQ，如圖2。

易得∠PBQ=60°，BP=BQ，

∴△BPQ是等邊三角形，

∴PQ=PB=8，

又 PC=10，CQ=6，

在△PQC中，PQ2+QC2=PC2，

∴△PQC是直角三角形，∠PQC=90°

∴∠BQC=60°+90°=150°，

∴∠APB=∠BQC=150°。

2.60°結(jié)合平移構(gòu)造等邊三角形

圖3

例3 如圖3，AB=CD=1,AB與CD交于點(diǎn)O，∠BOD=60°，求證AC+BD≥1。

證明：如圖3，過(guò)B作AC的平行線，過(guò)C作AB的平行線，所作兩條線交于B1，

則ABB1C是平行四邊形。

∴BB1=AC,CB1=AB=CD。

又∵∠DCB1=∠DOB=60°，

∴△DCB1是等邊三角形，

∴DB1=CB1=CD=1。

在△BDB1中，BB1+BD≥DB1（當(dāng)B在線段DB1上時(shí)等號(hào)成立），

∴AC+BD≥1。

3.60°結(jié)合割補(bǔ)構(gòu)造等邊三角形

圖4

例4 如圖4，在△ABC中，AB=AC，當(dāng)∠ABD=∠ACD=60°時(shí)，猜想AB與BD+CD的數(shù)量關(guān)系并證明。

解：AB=BD+CD,證明如下：

如圖4，延長(zhǎng)BD至E，使BE=AB，連接AE，CE，

∵∠ABD=60°，

∴△ABE是等邊三角形，

∴AE=AB，∠AEB=60°。

∵AB=AC，

∴AC=AE，∴∠ACE=∠AEC，

∵∠ACD=60°，

∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，即∠DCE=∠DEC，

∴DE=CD，

∴BE=BD+DE=BD+CD，

∴AB=BD+CD。

以上僅是個(gè)人提供的幾種比較常見的方法，有心人將會(huì)在幾何的世界里發(fā)現(xiàn)更多60°的妙用，也可以類比發(fā)現(xiàn)特殊角度30°（解直角三角形、找其余角構(gòu)造等邊三角形）和45°（解直角三角形、構(gòu)造等腰直角三角形）并構(gòu)建自己的知識(shí)體系，這對(duì)于數(shù)學(xué)這一學(xué)科的學(xué)習(xí)、探索將大有益處。