楊輝三角融入二項式定理的教學(xué)實踐及反思

李華坤

二項式定理是數(shù)學(xué)計算方塊中處于舉足輕重的位置，長期以來，針對它的初中教學(xué)，仍然還存在一些問題不盡人意。首先是否展開二項式乘方展開式的教學(xué)，因為這部分的內(nèi)容在人教版八年級數(shù)學(xué)上冊113頁，屬于閱讀與思考的內(nèi)容，部分老師留給學(xué)生自學(xué)，沒有正式教學(xué)。其次二項式乘方展開式情景的創(chuàng)設(shè)，大多只注重怎么套用楊輝三角，例如，直接告訴學(xué)生楊輝三角是我們確定二項式展開式的各項系數(shù)，沒有真正深入楊輝三角的學(xué)習(xí)以及應(yīng)用，難以讓學(xué)生觸及楊輝三角本質(zhì)，使隨后按定義寫出二項式展開式的教學(xué)，有從天而降的感覺。有的老師試圖矯正這一弊端，通過（a+b）n，當(dāng)n=1，2，3......，從而得出二項式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律，進而分析其中與楊輝三角的聯(lián)系，但知情者明白，這僅是教師利用二項式乘方展開式玩的一個游戲而已，學(xué)生卻必生“為什么要和楊輝三角扯上關(guān)系”的困惑，卻往往不符合大多學(xué)生的思維起點，除了生拉硬拽，幾乎別無它途。整個教學(xué)過程不夠連貫，不能一氣呵成。

針對這些問題，對二項式定理教學(xué)進行了大膽的改進，即采用課本113頁的閱讀，引入楊輝三角，然后充分調(diào)動楊輝三角的直覺，合理建立與二項式乘方展開式的聯(lián)系，并反復(fù)利用多項式乘以多項式法則，順利解決了楊輝三角與二項式定理生拉硬拽的問題，取得理想的教學(xué)效果，并為教學(xué)奠定了堅實基礎(chǔ)。

一、楊輝三角融入二項式定理的教學(xué)實踐

1.創(chuàng)設(shè)情景——提出問題

初中生已經(jīng)對（a+b）0，（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3有豐富的計算經(jīng)驗，那么（a+b）n又如何寫出它的展開式呢？引導(dǎo)學(xué)生討論之后，教師將上述問題歸結(jié)為系數(shù)和次數(shù)問題，由此引入楊輝三角課題。

2.意義建構(gòu)——感知楊輝三角

楊輝三角兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)為它的上方（左右）兩數(shù)之和。事實上，這個三角形給出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序）的系數(shù)規(guī)律。例如，此三角形中第3行的3個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)著（a+b）2=a2+2ab+b2展開式中的各項的系數(shù);第4行的4個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中各項的系數(shù)，等等[1]。

初中數(shù)學(xué)不需要太深入去理解二項式每個系數(shù)的計算方法，但是我們二項式系數(shù)是在楊輝三角的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，我們必須知道楊輝三角在二項式計算所起的作用，楊輝三角能幫助我們確定二項式展開式的各項的系數(shù)。

3.形成理論——建立定義

如何正確寫出二項式展開式？

楊輝三角已經(jīng)幫助我們確定展開式的各項系數(shù)，a的次數(shù)從第一項開始次數(shù)為二項式的最高次數(shù)，然后下一項次數(shù)依次減少1，直到次數(shù)為0.然而b的次數(shù)從第一項開始為0，然后下一項次數(shù)依次增加1，直到次數(shù)為二項式的最高次數(shù)，這樣我們就能很快速正確寫出二項式展開式。

4.鞏固定義——深化楊輝三角

討論：

你能利用楊輝三角（圖3），正確寫出（a+b）6的展開式嗎？

（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

5.培養(yǎng)學(xué)生情感、態(tài)度和價值觀

楊輝對幻方的研究源于一個小故事。當(dāng)時楊輝是臺州的地方官，一次外出巡游，碰到一孩童擋道，楊輝問明原因方知是一孩童在地I 做一道數(shù)學(xué)算題，楊輝一聽來了興趣，下轎來到孩童旁問是什么算題。原來，這個孩童在算一位老先生出的一道趣題：把1到9的數(shù)字分行排列，不論豎著加、橫著加，還是斜著加，結(jié)果都等于15。楊輝看到這個算題， 時想起來他在西漢學(xué)者戴德編纂的《大戴禮》一書中也見過。楊輝想到這兒，和孩童一起算了起來，直到午后，兩人終于將算式擺出來了。

后來，楊輝隨孩童來到老先生家里，與老先生談?wù)撈饠?shù)學(xué)問題來。老先生說：“北周的甄彎注《數(shù)術(shù)記遺》一書中寫過‘九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央?！睏钶x聽了，這與自己與孩童擺出來的完全一樣。便問老先生：“你可知這個九宮圖是如何造出來的？”老先生說不知道。

楊輝回到家中，反復(fù)琢磨。一天，他終于發(fā)現(xiàn)一條規(guī)律，并總結(jié)成四句話：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出”。就是說：先把l～9九個數(shù)依次斜排，再把上l下9兩數(shù)對調(diào)，左7右3兩數(shù)對調(diào)，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，這樣三階幻方就填好了。

楊輝研究出三階幻方（也叫絡(luò)書或九宮圖）的構(gòu)造方法后，又系統(tǒng)的研究了四階幻方至十階幻方。在這幾種幻方中，楊輝只給出了三階、四階幻方構(gòu)造方法的說明，四階以上幻方，楊輝只畫出圖形而未留下作法。但他所畫的五階、六階乃至十階幻方全都準(zhǔn)確無誤，可見他已經(jīng)掌握了高階幻方的構(gòu)成規(guī)律。

二、文化融入教學(xué)后的反思

英國科學(xué)史家丹皮爾（W.C.Dampier）曾經(jīng)說過：“再沒有什么故事能比科學(xué)思想發(fā)展的故事更有魅力了”。數(shù)學(xué)是歷史最悠久的人類知識領(lǐng)域之一：從遠古屈指計數(shù)到現(xiàn)代高速電子計算機的發(fā)明;從量地測天到抽象嚴(yán)密的公理化體系，在五千余年的數(shù)學(xué)歷史長河中，重大數(shù)學(xué)思想的誕生與發(fā)展，確實構(gòu)成了科學(xué)史上最富有理性魅力的題材。

當(dāng)然，僅僅具有魅力并不能成為開設(shè)一門課程的充分理由。數(shù)學(xué)史無論對于深刻認(rèn)識作為科學(xué)的數(shù)學(xué)本身，還是全面了解整個人類文明的發(fā)展都具有重要意義。因此，可以說不了解數(shù)學(xué)史就不可能全面了解數(shù)學(xué)科學(xué)。

楊輝三角經(jīng)歷接近一千年時間數(shù)學(xué)家的努力，利用巧妙的方法，獲得精彩的成果。教學(xué)中僅一節(jié)課就完成知識學(xué)習(xí)任務(wù)，但還有許多有教育意義的內(nèi)容都由于初中數(shù)學(xué)不作要求，所以留到高中數(shù)學(xué)作為一篇章節(jié)進行深入學(xué)習(xí)。課本中的字斟句酌的敘述，未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過程中的斗爭、挫折，以及在建立一個可觀的結(jié)構(gòu)之前，數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱苦漫長的道路。而學(xué)生一旦認(rèn)識到這些，他將不僅獲得真知灼見，還將獲得頑強地探究問題的勇氣。