一類具有人口流動(dòng)的SEIR傳染病模型的全局穩(wěn)定性分析

張麗娟，王福昌，莊需芹，靳志同

(防災(zāi)科技學(xué)院,河北 三河 065201)

0 引言

數(shù)學(xué)模型作為研究傳染病流行的規(guī)律方面起了很重要的作用，近年來(lái)，出現(xiàn)較多的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用于流行病學(xué)的研究。對(duì)于動(dòng)力學(xué)模型的研究，也有很多成果出現(xiàn)，但是對(duì)流動(dòng)人口對(duì)傳染病的傳播規(guī)律的影響，目前研究的相當(dāng)少，成果也很少見[1]。Brauer等關(guān)于SIS模型有了一些結(jié)果[2]；Michael等建立了帶流動(dòng)人口的SEI模型并進(jìn)行了討論[3]。本文主要綜合考慮了H1N1流感的傳播特征,討論了帶流動(dòng)人口和潛伏期和標(biāo)準(zhǔn)傳染率的傳染病的傳播特征。并采用LaSalle不變?cè)?，和Liapunuove方法討論了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定條件，給出了閘值R0。

1 模型建立

將某人群分為易感者S(t),潛伏者E(t),染病者I(t)和移除者R(t),總?cè)丝跒镹(t), 在整個(gè)研究過(guò)程中加入了流動(dòng)人口A(t)作為影響因素，因?yàn)閷?duì)于H1N1流感來(lái)說(shuō), 流動(dòng)人口在傳染過(guò)程中的作用至關(guān)重要,并成為傳播過(guò)程中至關(guān)重要的因素。帶人口流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析流程見以下的框圖：

假設(shè)所有移入者均為易感者，對(duì)與H1N1流感來(lái)說(shuō)則認(rèn)為對(duì)于某一地區(qū)來(lái)說(shuō)，由于對(duì)外來(lái)人口的防控措施比較好，感染者均被隔離處理。圖中A為常數(shù)流動(dòng)人口，γ為恢復(fù)率，d為自然死亡率，α為因病死亡率，ε為潛伏期到染病期的轉(zhuǎn)化率，采用標(biāo)準(zhǔn)感染率。由傳染過(guò)程圖得到微分方程為：

(1)

上式的加和為N=S+E+I+R,得到

N′=A-dN-αI

(2)

(3)

2 平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性

定理1：(1)若R0≤1，則P0是唯一的平衡點(diǎn)，并且它是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的；

證明：令：L=εE+(ε+d)I則有：

3 地方病平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性

接下來(lái)簡(jiǎn)要證明地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，采用的方法是Smith[5],Li,Muldowney[6],Meng Fan,Michael Y. Li[7]的基本理論。

定理2：若R0>1，則唯一的地方病平衡點(diǎn)P*是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

在證明此定理之前，先看一個(gè)引理。

所以對(duì)于任何一經(jīng)過(guò)λS=γ的解在有限時(shí)間內(nèi)會(huì)一直在直線上方，

二階Jacobian第二加性復(fù)合矩陣J[2]為

(4)

(5)

由(1)得：

(6)

(7)

4 結(jié)論