“對(duì)應(yīng)”的觀點(diǎn)來(lái)看動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題

湖北省武漢市梅苑中學(xué) 趙 耀

初中階段經(jīng)常會(huì)探究一些動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，很多學(xué)生不會(huì)思考，覺(jué)得找不到方法，其實(shí)，如果引導(dǎo)得當(dāng)，學(xué)生學(xué)的得法，軌跡問(wèn)題能很好地激發(fā)學(xué)生的興趣。下面通過(guò)幾個(gè)例題具體講解。

一、直線型軌跡問(wèn)題

例：如圖1，已知點(diǎn)A 坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)M（m，0）為x 軸上一動(dòng)點(diǎn)。

（1）將點(diǎn)M繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)N，求點(diǎn)N 的軌跡。

（2）將點(diǎn)A繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)D，求點(diǎn)D 的軌跡。

兩問(wèn)都是軌跡問(wèn)題，在函數(shù)中，自變量x 和因變量y 之間有一個(gè)固定的對(duì)應(yīng)法則f，滿足一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。本題中，M 點(diǎn)位置如果確定，則N 點(diǎn)的位置也隨之確定，M 和N 之間的位置也滿足一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以不妨用映射的觀點(diǎn)來(lái)看本題，M 點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動(dòng)，而對(duì)應(yīng)法則f 就是M 到N 的變換關(guān)系（如圖2）：繞點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。所以把M 看成主動(dòng)點(diǎn)，N 點(diǎn)隨著M 運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，N 點(diǎn)看成從動(dòng)點(diǎn)，主動(dòng)點(diǎn)M 所在直線，即x 軸繞點(diǎn)A 逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°的直線，就是從動(dòng)點(diǎn)N 所在的直線的軌跡。那只需要找到M 點(diǎn)所在直線上的一個(gè)特殊點(diǎn)，如原點(diǎn)O，繞點(diǎn)A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到B（2，2），所以N點(diǎn)在經(jīng)過(guò)B 點(diǎn)，與x 軸垂直的直線x=2 上。證明如下：如圖3，作AB ⊥AO，且AB=AO，連接BN，AN，可證△AOM ≌△ABN，得∠ABN=∠AOM=90°。因?yàn)锽 為定點(diǎn)，BN ⊥AB，所以N 點(diǎn)在經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，又與AB 垂直的直線x=2 上移動(dòng)。

圖3

第1 問(wèn)中構(gòu)造了旋轉(zhuǎn)中的全等，第2 問(wèn)中，由映射的觀點(diǎn)（如圖4），M 點(diǎn)位置確定，D 點(diǎn)位置也唯一確定，主動(dòng)點(diǎn)為M 在x 軸上運(yùn)動(dòng)，要找從動(dòng)點(diǎn)D 的運(yùn)動(dòng)軌跡，此時(shí)對(duì)應(yīng)法則f 為繞點(diǎn)M 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，但M 點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，不易得出，由∠MAD=45°，，可以把對(duì)應(yīng)法則f 轉(zhuǎn)化為M 點(diǎn)繞定點(diǎn)A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，再把MA 擴(kuò)大倍，到AD，就可以找到從動(dòng)點(diǎn)D 點(diǎn)的位置，主動(dòng)點(diǎn)M 所在直線，即x 軸繞點(diǎn)A 逆時(shí)針轉(zhuǎn)45°，再以A 為位似中心，以1 ∶的比例進(jìn)行位似變換的直線，就是從動(dòng)點(diǎn)D 所在的直線的軌跡。那么可以找M 點(diǎn)所在直線上的一個(gè)特殊點(diǎn)，不妨找原點(diǎn)O，繞A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，并以A 為位似中心，位似變換得到的點(diǎn)C，就是從動(dòng)點(diǎn)D 所在直線所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)。證明如下：如圖5，在x 軸上取OC=OA，連接AC，則△OAC 為等腰直角三角形，∠OAC=45°，此時(shí)△AMD ∽△AOC，可證△AMO ∽△ADC，得到∠ACD=90°，∠OCD=45°。因?yàn)镃 為定點(diǎn)，∠OCD=45°，所以D 點(diǎn)在經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，0），并與x 軸夾角為45 度的直線y=x-2 上運(yùn)動(dòng)。

圖4

圖5

二、弧形軌跡問(wèn)題

例2：如圖6，⊙O 中，以AB 為直徑，點(diǎn)C 為⊙O 上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)A，AC 為邊構(gòu)造平行四邊形ACDO，求點(diǎn)D 的軌跡。

圖6

圖7

圖8

例3：如圖7，AB 為 圓O 的弦，∠AOB=120°，AB=點(diǎn)C 為圓O 上一動(dòng)點(diǎn)，D 為AC 中點(diǎn)，當(dāng)C 在圓O 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求D點(diǎn)軌跡。

例4：如圖8，點(diǎn)C 是半圓AB 上一動(dòng)點(diǎn)，以BC 為邊作正方形BCDE。（1）求E 點(diǎn)軌跡；（2）求D 點(diǎn)軌跡。

圖9

圖10

例2 從映射的觀點(diǎn)來(lái)看（如圖9，圖10），主動(dòng)點(diǎn)C 到從動(dòng)點(diǎn)D 的映射f 是向右平移AO 個(gè)單位，則主動(dòng)點(diǎn)所在的圓也向右平移AO個(gè)單位就是從動(dòng)點(diǎn)D 所在的圓的軌跡。例3 從映射的觀點(diǎn)來(lái)看（如圖11，圖12），主動(dòng)點(diǎn)C 到從動(dòng)點(diǎn)D 的映射f 是以A 為位似中心的位似變換，位似比為2 ∶1，則主動(dòng)點(diǎn)C 所在的圓的圓心O 也是以A為位似中心，位似比為2 ∶1 的位似變換，圓心為AO 的中點(diǎn)E，即從動(dòng)點(diǎn)D 在以E 為圓心，DE 為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)。例4 第（1）問(wèn)，從映射的觀點(diǎn)來(lái)看（如圖13），主動(dòng)點(diǎn)C 到從動(dòng)點(diǎn)E 的映射f 是繞B 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則主動(dòng)點(diǎn)C 所在的半圓也繞B 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°就是從動(dòng)點(diǎn)E 所在的圓的軌跡；第（2）問(wèn)中，主動(dòng)點(diǎn)C 到從動(dòng)點(diǎn)D的映射f 是繞定點(diǎn)B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，再擴(kuò)大倍，則主動(dòng)點(diǎn)C 所在的半圓圓心O也繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，同時(shí)BO 擴(kuò)大倍所到的點(diǎn)N，就是從動(dòng)點(diǎn)D 所在的圓的圓心，如圖14，15。

圖11

圖12

圖13

圖14

圖15

三題都是弧形軌跡問(wèn)題，結(jié)合平移、旋轉(zhuǎn)、位似的知識(shí)，找到從動(dòng)點(diǎn)的軌跡。

上面幾題有不同的背景，不管是直線型還是弧線型，通過(guò)找到主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)之間的變換關(guān)系，引用映射的觀點(diǎn)，主動(dòng)點(diǎn)的位置與從動(dòng)點(diǎn)的位置也滿足一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，點(diǎn)動(dòng)成線，從而找到從動(dòng)點(diǎn)的軌跡，看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題中隱含著平移、旋轉(zhuǎn)、位似等多種圖形變換，小小動(dòng)點(diǎn)，其樂(lè)無(wú)窮！