基于多項式的二維PSD非線性校正算法研究

張基明

(中國船舶重工集團公司第七一三研究所，河南 鄭州 450015)

0 引 言

某型發(fā)射裝置導(dǎo)軌直線度是該裝置的關(guān)鍵指標(biāo)之一，總裝過程中，可利用基于PSD的準(zhǔn)直激光線位置檢測裝置對導(dǎo)軌直線度進行校準(zhǔn)。由于位置敏感探測器PSD光敏面上電阻率的非均勻性，導(dǎo)致了PSD輸出位置標(biāo)注產(chǎn)生非線性誤差[1]。由于制造工藝的不同，PSD的非線性誤差大小不同，根據(jù)PSD的非線性程度不同，通常把PSD的光敏面人為地劃分成A區(qū)和B區(qū)[2]。如圖1所示，A區(qū)為中心區(qū)，其線性度好，測量誤差小；B區(qū)為邊緣區(qū)，其非線性誤差較大，測量誤差也較大。誤差較大不能滿足發(fā)射裝置導(dǎo)軌直線度校準(zhǔn)要求，因此需要對準(zhǔn)直激光線位置檢測裝置進行標(biāo)定來提高測量精度。一般采用硬件補償或軟件方法對PSD的非線性進行校正，來提高測量精度。

圖1 PSD的A區(qū)和B區(qū)Fig. 1 Regions A and B of PSD

硬件補償非線性校正，主要在信號處理部分加入硬件校正環(huán)節(jié)，該方法電路設(shè)計復(fù)雜，實現(xiàn)困難且不具有通用性。基于硬件方法的不足，隨著現(xiàn)代計算機、微處理器運算速度越來越快，利用軟件實現(xiàn)非線性校準(zhǔn)受到很多學(xué)者的青睞。常用的非線性校準(zhǔn)校正方法主要有：查表法、反函數(shù)法、曲線擬合法、分段內(nèi)插法、雙一次、雙二次插值法及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[3–5]。查表法需要存儲大量數(shù)據(jù)，精度要求越高，查找時間就越長[6]。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)按照均方差的梯度下降方向收斂，會有局部極小值問題的存在；學(xué)習(xí)算法的收斂速度慢，且收斂速度與初始權(quán)的選擇有關(guān)；新加入的樣本會影響到已選好的樣本[7]。

本文根據(jù)PSD傳感器輸出數(shù)據(jù)的特點，提出利用二元多項式校正PSD的非線性。采用精度遠(yuǎn)大于待測裝置的二維平移臺獲取被測位置坐標(biāo)真值，根據(jù)PSD位置檢測裝置輸出的坐標(biāo)位置與二維平移臺上讀取的標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)位置之間的對應(yīng)關(guān)系進行校準(zhǔn)，并取得較好的校正效果。

1 多項式校正非線性算法

工藝上用于制作PSD材料的非均勻性往往呈現(xiàn)出一種緩慢的梯度變化，PSD表面的電阻率也相應(yīng)地呈現(xiàn)出了緩慢的梯度變化。因此，整個PSD表面上光斑的位置誤差函數(shù)也為一梯度曲面。將此函數(shù)離散化后，得到一系列網(wǎng)格點陣上的誤差值，利用曲線擬合的方法找出誤差函數(shù)，非網(wǎng)格點上的誤差值可由誤差函數(shù)計算得到。利用測量值減去誤差值即可得到PSD測量的光斑位置的逼近值。

由PSD的原理可知，PSD在x，y方向上的非線性誤差是相對獨立的，對PSD光敏面上每一點測量值有x方向上的誤差值：，y方向上的誤差值。通過上述原始數(shù)據(jù)測量方法可得到二維平移臺測得的標(biāo)準(zhǔn)值以及與其相對應(yīng)的PSD的輸出值，從而可計算出PSD表面網(wǎng)格點陣上每點的誤差值Ex(xi,yj),Ey(xi,yj)，即

式中：xi，yj為PSD的輸出位置坐標(biāo)值；xi0，yj0為二維平移臺測得的標(biāo)準(zhǔn)位置坐標(biāo)值；Ex(xi,yj),Ey(xi,yj)是關(guān)于x，y的二元多項式。根據(jù)非線性特點，可以選擇二次、三次、四次……等多項式進行擬合，實驗中，分別對二次、三次、四次多項式進行擬合實驗。

二次多項式為：

三次多項式為：

四次多項式為：

多項式擬合主要是其系數(shù)的計算，以三次多項式為例說明多項式系數(shù)的計算方法。利用測得的n組位置坐標(biāo)并根據(jù)式（1）與式（2）計算出，把位置坐標(biāo)代入式（5）與式（6）可得2n組方程。

令

則可得方程組AX=B，這是一個超靜定方程組。利用最小二乘法[8]求解方程組中的系數(shù)得：

把求得的系數(shù)代入式（5）與式（6）即可得到測量值與標(biāo)準(zhǔn)值的誤差:

再用測量值減去誤差即可計算出PSD實際的輸出位置值：

式中：XR，YR為校正后的實際位置值；Xout，Yout為PSD測量的輸出位置值；?x ，?y為通過擬合多項式Ex(x,y)，Ey(x,y)計算出的位置誤差。

利用VC編寫程序?qū)崿F(xiàn)算法，具體程序?qū)嶒灢襟E如下：

1）編寫打開文件程序，從文件中讀取PSD位置檢測裝置測量的位置坐標(biāo)，即讀取用來校正的原始數(shù)據(jù)存儲在數(shù)組中。

2）根據(jù)二維平移臺測量的數(shù)據(jù)與PSD輸出的位置坐標(biāo)，利用式（1）與式（2）分別計算出Δx，Δy。

3）利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算出每個坐標(biāo)對應(yīng)方程的冪次項。

4）利用CMatrix類計算矩陣A與矩陣B，通過矩陣的運算求得矩陣X。

5）利用式（11）與式（12）對每一個位置坐標(biāo)進行修正，求出修正后的均方差，最后把校正后的結(jié)果輸出到文件中。

2 二維PSD標(biāo)定系統(tǒng)

二維PSD標(biāo)定系統(tǒng)由二維平移臺、激光發(fā)射裝置、導(dǎo)軌、待測裝置組成。選擇標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)軌，利用經(jīng)緯儀校準(zhǔn)其直線度。在導(dǎo)軌的一端把二維平移臺垂直固定在標(biāo)準(zhǔn)長導(dǎo)軌上，把激光發(fā)射裝置固定在二維平移臺上。在導(dǎo)軌的另一端固定位置檢測裝置，并使PSD表面與導(dǎo)軌垂直，從而保證了激光光斑能夠垂直打在PSD表面上。

2.1 二維平移臺選擇

標(biāo)定系統(tǒng)中選擇上海正信光學(xué)儀器有限公司的二維平移臺，其結(jié)構(gòu)設(shè)計緊湊，在小的體積內(nèi)實現(xiàn)兩軸平移調(diào)整，并且兩軸正交精度高，左右手成對設(shè)計，兩軸的測微頭安裝在同一個水平面上，方便操作。該平移臺行程15 mm，最小刻度0.01 mm，靈敏度0.002 mm，完全能夠滿足校準(zhǔn)本設(shè)備0.01 mm的精度要求。其結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

2.2 光源選擇

在準(zhǔn)直激光線位置檢測系統(tǒng)中，由于激光具有高亮度、高單色性、高方向性等特點，設(shè)計中選用半導(dǎo)體激光器作為光源。半導(dǎo)體激光器是以一定的半導(dǎo)體材料做工作物質(zhì)而產(chǎn)生受刺激發(fā)射作用的器件，其工作原理是通過一定的激勵方式，利用半導(dǎo)體物質(zhì)在能帶間躍遷發(fā)光，用半導(dǎo)體晶體的解理面形成2個平行反射鏡面作為反射鏡，組成諧振腔，使光振蕩、反饋、產(chǎn)生光的輻射放大，輸出激光。

圖2 二維平移臺結(jié)構(gòu)圖Fig. 2 Structure diagram of two-dimensional translation table

根據(jù)二維PSD的頻譜響應(yīng)特性可知PSD對930 nm波長的光響應(yīng)靈敏度最大，但由于可見光波長范圍為350 ~ 770 nm之間，波長930 nm的光為不可見光，考慮到實際測量時的方便性，在實際應(yīng)用時選用波長630 nm的可見紅色激光作為激光源。其光斑直徑2 mm，功率5 mW。

2.3 PSD的選擇

根據(jù)實際測量需求，在所設(shè)計的檢測裝置中采用二維枕型PSD-1515型PSD，該PSD具有位置分辨率高、光譜響應(yīng)寬、響應(yīng)速度快、位置和光強同時測量、不受光斑的約束、可靠性高等特點，在工業(yè)工程領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。具體可應(yīng)用在光學(xué)位置和角度的探測、光學(xué)遙測系統(tǒng)、位移和振動測量、激光對中和準(zhǔn)直、距離測試、人類運動姿態(tài)分析等領(lǐng)域。枕型PSD的結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 枕型PSD結(jié)構(gòu)Fig. 3 Occipital PSD structure

PSD-1515具體參數(shù)：有效光敏區(qū)為15 mm*15 mm，分辨率1 μm，響應(yīng)時間1 μs，響應(yīng)光譜范圍380 ~1 100 nm，反偏電壓為6 V。

3 原始數(shù)據(jù)測量方法

1）首先調(diào)整二維平移臺使得光斑打在PSD中心位置，即令位置檢測裝置輸出坐標(biāo)為（0，0）位置。

2）移動二維平移臺，向左移動3 mm，向下移動3 mm，使得光斑打在PSD左下角，標(biāo)準(zhǔn)位置坐標(biāo)（–3，–3）。

3）固定二維平移臺左右方向位置不動，上下方向移動二維平移臺帶動激光發(fā)射器移動，每移動0.5 mm記錄一次測量結(jié)果。測量13組數(shù)據(jù)，即位置坐標(biāo)為（–3，3）。

4）向右移動二維平移臺0.5 mm，然后上下移動二維平移臺同樣每隔0.5 mm記錄一次結(jié)果，直到位置坐標(biāo)為（–2.5，–3）為止。

5）重復(fù)上述過程，測量整個PSD平面，直到光斑位置坐標(biāo)（3，3）時結(jié)束，這樣可測得169個點坐標(biāo)。

4 非線性校正實驗結(jié)果分析

實驗中測得12組數(shù)據(jù)，利用Matlab畫出位置坐標(biāo)在平面中的點圖，每組實驗數(shù)據(jù)都有相似的特點，其中一組數(shù)據(jù)點圖如圖4所示。通過點圖分析PSD光斑的非線性呈現(xiàn)一定規(guī)律：點圖分布呈中心對稱，四個象限的誤差具有相似特性，并且在PSD的中心區(qū)域（即坐標(biāo)為（0，0）位置附近的區(qū)域）其誤差較小，距離中心區(qū)域越大，其非線性越大，測試數(shù)據(jù)符合PSD的特性，即中心區(qū)域的A區(qū)線性度好，距離中心區(qū)域遠(yuǎn)的B區(qū)線性度差的特點。由于測試數(shù)據(jù)是每隔0.5 mm的測量結(jié)果，其理想位置應(yīng)該都是坐標(biāo)虛線的交點處，根據(jù)點圖分布可看出PSD的非線性呈現(xiàn)平滑的曲線，因此采用多項式擬合。

圖4 原始實驗數(shù)據(jù)點圖Fig. 4 Original experimental data point diagram

利用二次多項式校正后的數(shù)據(jù)結(jié)果畫出的數(shù)據(jù)點圖如圖5所示。

圖5 二次多項式校正結(jié)果Fig. 5 Quadratic polynomial correction result

從圖4中可看出，利用二次多項式對PSD進行非線性校正其效果不好，非線性誤差仍然很大。通過計算可得校正后的均方差x方向均方差為0.093 6，y方向均方差為0.096 2。均方差仍很大，不能滿足裝置精度要求。

利用三次多項式校正后的數(shù)據(jù)結(jié)果畫出的點圖如圖6所示。從圖中可看出校正后的數(shù)據(jù)其非線性明顯得到修正。中心區(qū)域的最大誤差小于0.01 mm，最外層的校正效果還不是很理想，這符合PSD的特性，即中心區(qū)域線性度好，距離中心區(qū)域越遠(yuǎn)其非線性度越大。其校正后均方差分別為：x=0.015 8，y=0.015 5。其均方差已經(jīng)很小，能夠滿足裝置測量精度要求。

利用四次多項式校正后數(shù)據(jù)位置點圖如圖7所示。

從圖7可以看出其校正效果較好，比較圖6與圖7，可得出利用三次多項式與四次多項式校正的結(jié)果相似。利用四次多項式校正后的均方差分別為x=0.015 7，y=0.015 4，其均方差與三次校正后的均方差相近，其非線性校正效果沒有得到更好的改善。

圖6 三次多項式校正結(jié)果Fig. 6 Cubic polynomial correction result

圖7 四次多項式校正結(jié)果Fig. 7 Quartic polynomial correction result

根據(jù)多項式系數(shù)分析，x方向偏差校正多項式中x冪次項前的系數(shù)較大，因此x方向偏差主要由x坐標(biāo)值決定，y方向同理。分析四次多項式中四次項前的系數(shù)，x方向偏差校正多項式中四次項系數(shù)分別為：–0.000 094，–0.000 061，–0.000 052，–0.000 049，–0.000 039，y方向偏差校正多項式中四次項系數(shù)分別為：–0.000 041，0.000 001，–0.000 034，0.000 051，–0.000 045，其系數(shù)都很小，對非線性校正作用很小。由此可推出高于四次的多項式其校正效果相似，因此，設(shè)計中采用三次多項式校正PSD的非線性。

為了驗證校正后的效果，在PSD光敏面多個不同位置測量數(shù)據(jù)進行校正，其中在位置為0，±0.6 mm，±1.2 mm，±1.8 mm，±2.4 mm，±3.0 mm處測得的一組數(shù)據(jù)如圖8所示。

利用式(11)與式(12)求出偏差，校正后的結(jié)果如圖9所示。

校正后的均方差為：x方向0.018 5，y方向0.011 7。從圖9可看出，中心校正結(jié)果較好，利用中心區(qū)域進行發(fā)射裝置導(dǎo)軌直線度校準(zhǔn)可滿足測量要求。

圖8 原始數(shù)據(jù)點圖Fig. 8 Original data point diagram

圖9 校正后的結(jié)果Fig. 9 Corrected result