帶有死區(qū)環(huán)節(jié)的電動舵機(jī)魯棒控制技術(shù)*

李宗星，張銳

(北京電子工程總體研究所，北京 100854)

0 引言

電動舵機(jī)因其具有結(jié)構(gòu)簡單、工藝性好、可靠性高、使用維護(hù)方便、成本低廉的特點，在導(dǎo)彈武器系統(tǒng)中應(yīng)用逐漸增多。特別是近些年來，電動舵機(jī)的性能又有了很大的提高，所以受到了工程技術(shù)人員更加廣泛的關(guān)注。

死區(qū)特性是電動舵機(jī)中常見的一種非線性環(huán)節(jié)。通常，將系統(tǒng)當(dāng)中輸入值無法進(jìn)行響應(yīng)的區(qū)域定義為死區(qū)[1-3]。電動舵機(jī)中死區(qū)的存在會影響舵機(jī)的響應(yīng)特性和控制精度。在死區(qū)特性并不明顯或者死區(qū)范圍很小時，將死區(qū)環(huán)節(jié)近似處理成線性環(huán)節(jié)，在某些工程應(yīng)用上是可行的[4-7]。但是，隨著導(dǎo)彈武器系統(tǒng)對于控制精度要求的逐漸提高，對電動舵機(jī)的響應(yīng)特性和控制精度的要求也逐漸提高，這種近似處理的方法會縮小系統(tǒng)正常工作的范圍，并且使系統(tǒng)性能顯著下降，嚴(yán)重時甚至?xí)斐上到y(tǒng)的控制失敗[1]。

魯棒控制是在滑模控制方法的基礎(chǔ)上改進(jìn)發(fā)展來的，它通過加大控制輸入，對系統(tǒng)中的擾動及不確定動態(tài)進(jìn)行有效抑制，并且避免了滑?？刂飘a(chǎn)生的抖振的不利影響[8-15]。近年來，在工程領(lǐng)域中，魯棒控制方法有著廣泛的應(yīng)用，文獻(xiàn)[8]中提出了一種作用于機(jī)床的魯棒控制方法，對系統(tǒng)中的擾動及不確定動態(tài)有較好的抑制作用。本文中將電動舵機(jī)的死區(qū)環(huán)節(jié)處理為線性環(huán)節(jié)與擾動的結(jié)合，設(shè)計魯棒控制器，最后通過仿真與PD控制比較，驗證該控制方法的有效性。

1 系統(tǒng)模型及分析

1.1 電動舵機(jī)模型

將電動舵機(jī)的模型整理并適當(dāng)簡化，簡化后的電動舵機(jī)系統(tǒng)示意圖如圖1所示，其為一個單輸入單輸出系統(tǒng)。

圖1中，y為舵面偏轉(zhuǎn)角，yd為輸入指令，u為PD控制器輸出，w(u)為死區(qū)環(huán)節(jié)輸出。圖中虛框部分為線性環(huán)節(jié)，包括：控制器輸出電流到電機(jī)控制電壓的轉(zhuǎn)換模塊、電機(jī)環(huán)節(jié)(輸入為電機(jī)控制電壓，輸出為電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度)、電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度與舵面偏轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)換模塊。其中，Ua為控制器輸出電流到電機(jī)控制電壓的傳遞系數(shù)，Km為電樞電流到電機(jī)力矩的傳遞系數(shù)，Ke為電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度到電樞反電勢的傳遞系數(shù)，N為電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度(弧度制)到舵面偏轉(zhuǎn)角速度(角度制)的傳遞系數(shù)，La為電樞繞組的電感(H)，Ra為電樞繞組的電阻(Ω)，J為活動部分折算到舵面轉(zhuǎn)軸上的慣性矩(m4)。

死區(qū)模型如圖2所示。

其數(shù)學(xué)表達(dá)模型如下：

(1)

圖1中虛框所示線性部分可進(jìn)一步整理成式(2)中傳遞函數(shù)，其中各符號參數(shù)取值如表1所示。

(2)

1.2 電動舵機(jī)PD控制器分析

當(dāng)死區(qū)區(qū)間為[0,0]時，即無死區(qū)時，對圖1所示的電動舵機(jī)性能進(jìn)行分析。此時，系統(tǒng)的奈奎斯特曲線和階躍響應(yīng)曲線分別如圖3，4所示。

由圖3可知，奈奎斯特曲線不包圍(-1,j0)，且開環(huán)傳遞函數(shù)的正實部極點個數(shù)為0。由奈式穩(wěn)定判據(jù)可知，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。由圖4可知，系統(tǒng)超調(diào)量σ%=5%，調(diào)節(jié)時間ts=0.039 2 s，上升時間tr=0.007 2 s?？梢姰?dāng)不考慮死區(qū)特性時，在當(dāng)前控制參數(shù)下電動舵機(jī)系統(tǒng)工作性能良好。

下面分析不同死區(qū)特性對該電動舵機(jī)跟蹤指令的影響。由于仿真結(jié)果不僅與死區(qū)特性本身有關(guān)，也受輸入指令的影響，所以為便于分析，本文僅比較輸入指令為階躍指令和幅值為1頻率為10 Hz的正弦指令時的結(jié)果。

令系統(tǒng)初始狀態(tài)均為0。輸入指令為yd=sin(20πt)。死區(qū)分別取為[0,0]，[-0.05,0.05]，[-0.5,0.5]時，仿真結(jié)果如圖5～7所示。

圖1 電動舵機(jī)模型Fig.1 Electromechanical actuator model

圖2 死區(qū)模型Fig.2 Dead zone model

表1 系統(tǒng)參數(shù)Table 1 System parameters

圖3 奈奎斯特圖Fig.3 Nyquist diagram

顯然，死區(qū)環(huán)節(jié)的存在會對PD控制器的控制效果產(chǎn)生影響。在圖5中，無死區(qū)時，最大跟蹤誤差為0.081 6°，系統(tǒng)輸出可以有效跟蹤輸入指令。在圖6中，死區(qū)區(qū)間為[-0.05,0.05]時，最大跟蹤誤差為0.115 4°，系統(tǒng)輸出與輸入指令之間也是基本重合。在圖7中，死區(qū)區(qū)間為[-0.5,0.5]時，系統(tǒng)輸出與輸入指令之間出現(xiàn)較大偏差，最大跟蹤誤差達(dá)到0.431 2°，峰值處時間延遲為0.012 9 s，此時認(rèn)為在給定正弦指令yd=sin(20πt)下系統(tǒng)輸出不能有效跟蹤輸入指令。

圖4 階躍響應(yīng)曲線Fig.4 Step response

圖5 PD控制結(jié)果(無死區(qū)時)Fig.5 Result of PD controller (without dead zone)

圖6 PD控制結(jié)果(死區(qū)為[-0.05,0.05])Fig.6 Result of PD controller (with dead zone[-0.05,0.05])

圖7 PD控制結(jié)果(死區(qū)為[-0.5,0.5])Fig.7 Result of PD controller (with dead zone [-0.5,0.5])

進(jìn)一步量化比較不同死區(qū)特性對系統(tǒng)的影響，結(jié)果見表2。

由表2可見，死區(qū)特性對超調(diào)量和跟蹤誤差有較大影響。死區(qū)范圍較小時，系統(tǒng)超調(diào)量呈增大趨勢(由無死區(qū)時的5.01%增大到死區(qū)為[-0.05,0.05]時的9.94%)。當(dāng)死區(qū)范圍增大到一定程度時，系統(tǒng)超調(diào)量會減小，并逐漸接近于0(死區(qū)為[-0.5,0.5]時，超調(diào)量已下降到0.67%)。可以將死區(qū)環(huán)節(jié)理解成一種特殊的變增益環(huán)節(jié)，死區(qū)區(qū)間越大，增益越小。再將系統(tǒng)近似簡化為二階系統(tǒng)分析(下文設(shè)計魯棒控制器時會詳細(xì)介紹)，計算其阻尼比，可得變化趨勢為先減后增，則超調(diào)量為先增后減。隨著死區(qū)范圍的增大，跟蹤誤差也會不斷增大(階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差絕對值由無死區(qū)時的0增大到死區(qū)為[-0.5,0.5]時的0.328 6°，正弦指令下跟蹤誤差上限由無死區(qū)時的0.081 6°增大到死區(qū)為[-0.5,0.5]時的0.431 2°)。

因此，在死區(qū)范圍較小時，可以將其近似處理為線性環(huán)節(jié)，并進(jìn)行控制器的設(shè)計。此時，系統(tǒng)跟蹤誤差較小，可忽略死區(qū)帶來的影響。但是，當(dāng)死區(qū)范圍較大時，采用近似方法處理的結(jié)果會使閉環(huán)系統(tǒng)的輸出與輸入指令之間產(chǎn)生較大的偏差，嚴(yán)重影響了控制效果。本文中認(rèn)為在階躍指令和正弦指令yd=sin(20πt)下，死區(qū)區(qū)間超過[-0.2,0.2]時不能近似處理，此時階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差0.097 1°，正弦指令跟蹤誤差絕對值范圍為[0,0.223 8]。針對這種情況，在對電動舵機(jī)進(jìn)行設(shè)計時需要考慮死區(qū)環(huán)節(jié)的作用。

2 電動舵機(jī)魯棒控制器設(shè)計

以上的仿真分析表明，當(dāng)存在死區(qū)時，為確保電動舵機(jī)的控制精度和響應(yīng)特性，在設(shè)計電動舵機(jī)時需要將死區(qū)特性的影響考慮進(jìn)來。下面介紹的一種魯棒控制方法中，將死區(qū)的作用分解為了線性增益與擾動的合成，再設(shè)計控制器對擾動進(jìn)行抑制。本文將這種方法引入到電動舵機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計中。

2.1 滑動變換及其性質(zhì)

考慮如下n階系統(tǒng)：

(3)

在狀態(tài)空間中定義如下變換：

(4)

定義滑動平面如下：

Q={p|p=0 }.

表2 PD控制結(jié)果Table 2 Result of PD controller

定理1對于式(4)所定義的滑動變換，信號p(t)與e(t)之間具有以下性質(zhì)[1]：

2.2 模型簡化處理

考慮到圖1所示電動舵機(jī)系統(tǒng)中La，J均為小量，故可先將三階傳遞函數(shù)簡化為二階傳遞函數(shù)，再設(shè)計電動舵機(jī)控制器(仿真驗證時仍基于三階模型進(jìn)行)。簡化后線性部分傳遞函數(shù)如下：

(5)

死區(qū)環(huán)節(jié)可處理為線性環(huán)節(jié)與擾動的合成，處理后死區(qū)環(huán)節(jié)模型為

w(u)=u+σ,

(6)

注意該擾動上下界為已知，即|σ|≤Δ。

2.3 魯棒控制器設(shè)計

將圖1所示電動舵機(jī)系統(tǒng)模型寫成如下形式：

(7)

設(shè)計魯棒控制器如下：

(8)

式中：k為正常數(shù)；kr(p)為p的函數(shù)。

將式(8)代入(7)得

-kp-kr(p)p-σ.

(9)

定理2當(dāng)魯棒控制項u2的第2項滿足如下條件時，系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)達(dá)到邊界層。

(10)

式中:ε為正的設(shè)計參數(shù)。

證定義李雅普諾夫函數(shù)如下

(11)

對式(11)求導(dǎo)，并將式(9)和式(10)代入得

(12)

求解式(12)得

(13)

將式(11)代入式(13)得

(14)

顯然，系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)達(dá)到邊界層。

定理3下面給出一種滿足式(10)的kr(p)的取值

(15)

(16)

(17)

即p{-kr(p)p-σ}≤0<ε成立。

2.4 仿真結(jié)果及分析

魯棒控制器參數(shù)設(shè)計為a1=100，k=0.02，ε=0.05。系統(tǒng)初始狀態(tài)均為0。死區(qū)范圍為[-0.5,0.5]。輸入指令為yd=sin(20πt)。注意仿真時使用模型為未簡化模型，即線性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為式(2)。仿真結(jié)果如圖8,9所示。

進(jìn)一步量化比較魯棒控制結(jié)果與PD控制結(jié)果見表3。

圖8 魯棒控制結(jié)果Fig.8 Result of robust controller

圖9 魯棒控制跟蹤誤差Fig.9 Tracking error of robust controller

由表3可見，死區(qū)區(qū)間為[-0.5,0.5]時，魯棒控制器超調(diào)量為0，階躍指令下穩(wěn)態(tài)誤差僅為PD控制器的4.4%，正弦指令下跟蹤誤差絕對值上限減小至PD控制器的3.8%，峰值處時間延遲減小至PD控制器的1.55%。顯然，魯棒控制器優(yōu)勢明顯。

通過本文的研究可以得出以下幾點結(jié)論：

(1) 在存在較大范圍死區(qū)時(死區(qū)區(qū)間超過[-0.2,0.2])，本文將死區(qū)環(huán)節(jié)分解為線性環(huán)節(jié)和擾動，并設(shè)計由式(8)和式(15)構(gòu)成的魯棒控制器。該控制方法與PD控制方法相比，控制效果有明顯提高(超調(diào)量為0，跟蹤誤差明顯減小)，能夠?qū)崿F(xiàn)對輸入指令的有效跟蹤。

(2) 在進(jìn)行控制器的設(shè)計時，電動舵機(jī)模型的簡化處理是可行的。考慮工程實際中，電動舵機(jī)的工作頻率范圍可以解釋簡化處理可行的原因。

表3 PD控制結(jié)果與魯棒控制結(jié)果Table 3 Results of PD controller and robust controller

3 結(jié)束語

本文針對死區(qū)特性造成的系統(tǒng)輸出偏離輸入指令的問題，采用將死區(qū)環(huán)節(jié)分解并設(shè)計魯棒控制器的方法，提高了系統(tǒng)的控制精度，實現(xiàn)了對輸入指令的有效跟蹤。但是，通過前面的數(shù)據(jù)對比，也發(fā)現(xiàn)了魯棒控制方法對于系統(tǒng)的改善主要在于跟蹤誤差的減小，而如何提高響應(yīng)的快速性還需要進(jìn)一步分析研究。

魯棒控制方法的應(yīng)用不僅僅限于對死區(qū)環(huán)節(jié)的處理，同樣可以擴(kuò)展到摩擦、齒隙等非線性環(huán)節(jié)的處理上。在本文中對死區(qū)環(huán)節(jié)的處理是將其分解為線性環(huán)節(jié)與擾動的結(jié)合，這種思路對摩擦、齒隙等非線性環(huán)節(jié)的處理同樣可行。

在實際工程應(yīng)用中，舵機(jī)系統(tǒng)也存在外界擾動和參數(shù)攝動。在對外界擾動和參數(shù)攝動的模型具有一定了解的前提下，也可將其與系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)處理得到的擾動部分一起處理，并用魯棒控制方法進(jìn)行抑制。